Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn

Khởi động: Quan sát máy cắt sắt đang hoạt động (Hình 32), ta thấy các mảnh vụn sắt chuyển động và văng ra theo phương tiếp tuyến với đường tròn mép đĩa cắt.

Tiếp tuyến của đường tròn có tính chất và được nhận biết như thế nào?

Trả lời:

- Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

I. Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Hoạt động 1: Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Gọi H là hình chiếu của tâm O trên đường thẳng a (Hình 33).

a) So sánh khoảng cách OH từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R.

b) Điểm H có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

c) Điểm H có phải là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R) hay không?

d) Đường thẳng a có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 1: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm C. Chứng minh AO2 + BC2 = BO2 + AC2.

Trả lời:

Vì đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm C nên OC ⊥ AC tại C.

Xét ∆OAC vuông tại C, ta có: AO2 = AC2 + CO2 (định lí Pythagore).

Suy ra CO2 = AO2 – AC2.

Xét ∆OBC vuông tại C, ta có: BO2 = BC2 + CO2 (định lí Pythagore).

Suy ra CO2 = BO2 – BC2.

Do đó AO2 – AC2 = BO2 – BC2

Hay AO2 + BC2 = BO2 + AC2.

Hoạt động 2: Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R) thỏa mãn đường thẳng a đi qua điểm H thuộc đường tròn (O; R) và a ⊥ OH (Hình 35).

a) So sánh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a và bán kính R.

b) Giả sử N là điểm thuộc đường thẳng a và N khác H. So sánh ON và R. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

c) Đường thẳng a có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) hay không?

Trả lời:

a) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a và bán kính R bằng nhau.

b) Xét vuông tại H. ON là cạnh huyền

ON > OH hay ON > R.

c) Đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

Luyện tập, vận dụng 2: Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm I. Gọi d là tiếp tuyến của (O; R) tại điểm I. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O’; R’).

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 3: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O’). Chứng minh đường thẳng O’B là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Trả lời:

Vì hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B nên OA = OB và O’A = O’B.

Xét ∆OAO’ và ∆OBO’ có:

OA = OB; O’A = O’B; OO’ là cạnh chung

Do đó ∆OAO’ = ∆OBO’ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{OA{O}^{\prime }}=\widehat{OB{O}^{\prime }}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác, OA là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên OA ⊥ AO’ tại A hay $\widehat{OA{O}^{\prime }}=90°.$

Do đó $\widehat{OB{O}^{\prime }}=90°,$ hay OB ⊥ BO’ tại B nên O’B là tiếp tuyến của đường tròn (O).

II. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Hoạt động 3: Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M (Hình 38).

a) Các tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không?

b) Hai đoạn thẳng MA và MB có bằng nhau hay không?

c) Tia MO có phải là tia phân giác của góc AMB hay không?

d) Tia OM có phải tia phân giác của góc AOB hay không?

Trả lời:

a) 

b) 

c) 

d) 

Luyện tập, vận dụng 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Biết $\widehat{AMB}=120°.$ Chứng minh AB = R.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Ròng rọc là một loại máy cơ đơn giản có rãnh và có thể quay quanh một trục, được sử dụng rộng rãi trong công việc nâng lên và hạ xuống vật nặng trong cuộc sống. Trong Hình 41a, có một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc.

Giả sử ròng rọc được minh họa bởi đường tròn (O), sợi dây vắt qua ròng rọc được minh họa bởi nửa đường tròn MtN và hai tiếp tuyến Ma, Nb của đường tròn (O) (Hình 41b). Chứng minh Ma // Nb.

Trả lời:

Do Ma, Nb là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M nên Ma ⊥ OM tại M và Nb ⊥ ON tại N.

Mà MtN là nửa đường tròn nên MN là đường kính đi qua tâm O.

Do đó Ma ⊥ MN và Nb ⊥ MN, suy ra Ma // Nb.

Bài tập 2: Cho đường tròn (O) và dây AB. Điểm M nằm ngoài đường tròn (O) thỏa mãn điểm B nằm trong góc MAO và ${\mathrm{MAB^\backslash widehat\{MAB\}MAB}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}.$ Chứng minh đường thẳng MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Trả lời:

OA = OB 

Xét 

2 + 2= 180

 + = 90

 = 90

Vậy MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài tập 3: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.

Trả lời:

Bài tập 4: Một người quan sát đặt mắt ở vị trí A có độ cao cách mực nước biển là AB = 5 m. Cắt bề mặt Trái Đất bởi một mặt phẳng đi qua điểm A và tâm Trái Đất thì phần chung giữa chúng là một đường tròn lớn tâm O. Tầm quan sát tối đa từ vị trí A là đoạn thẳng AC, trong đó C là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với đường tròn (O) (minh họa như Hình 42). Tính độ dài của đoạn thẳng AC (theo đơn vị kilômét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết bán kính Trái Đất là OB = OC ≈ 6 400 km.

(Nguồn: Toán 9 – Tập một, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017)

Trả lời:

Theo bài, ta có: AB = 5 m = 0,005 km.

Khi đó, OA = OB + AB ≈ 6 400 + 0,005 = 6 400,005 (km).

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AC ⊥ OC tại C, hay ${\mathrm{OAC^\backslash widehat\{OAC\}OAC}}^{}=90°.$

Do đó ∆OAC vuông tại C.

Theo định lí Pythagore, ta có:

OA2 = OC2 + AC2

Suy ra AC2 = OA2 – OC2 ≈ 6 400,0052 – 6 4002 = 64,000025.

Do đó $AC=\sqrt{64,000025}\approx 8,0\text{(km).}$

Vậy AC ≈ 8,0 km.

Bài tập 5: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và các đường thẳng m, n, p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A, B, C (Hình 43).

Chứng minh:

a) AD + BE = DE;

b) $COD^\backslash widehat\{COD\}COD=\frac{1}{2}{\mathrm{COA^\backslash widehat\{COA\}COA}}^{}$ và ${\mathrm{COE^\backslash widehat\{COE\}COE}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{COB^\backslash widehat\{COB\}COB}}^{}.$

c) Tam giác ODE vuông.

d) $\frac{OD\cdot OE}{DE}=R.$

Trả lời:

a) Đường thẳng m, n, p tiếp xúc đường tròn tại A, B, C

AD = CD; CE = BE

 (đpcm)

b) DA, DC là tiếp tuyến của đường tròn nên DO là đường phân giác của 

Vậy 

EB, EC là tiếp tuyến của đường tròn nên EO là đường phân giác của 

Vậy 

c) Ta có 

Mà  = 

 = 

2 + 2 = 180

 +  = 90

 = 90

Vậy ODE vuông tại O 

 d) Ta có OD.OE = OC.OD (Hệ thức trong tam giác vuông); OC = R

Vậy .