Hoạt động khởi động: Đường thẳng d: y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền (không tính đường thẳng d) như hình bên. Dùng các nhãn dưới đây đặt vào miền phù hợp để đặt tên cho miền đó.
Trả lời:
Sau bài học này ta sẽ giải bài toán đặt ra bên trên như sau:
Xét với điểm O(0; 0). Ta thấy O ∉ d và vì 0 < 0 + 1 nên cặp số (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình y < x + 1.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y < x + 1 là nửa mặt phẳng không kể bờ d, có chứa gốc O.
Miền nghiệm của bất phương trình y > x + 1 là nửa mặt phẳng còn lại không chứa đường thẳng d và không chứa gốc O.
Vậy vị trí đúng của các dãn nhãn là :
1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hoạt động khám phá 1: Bạn Nam để dành được 700 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, Nam đã ủng hộ x tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng, y tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng từ tiền để dành của mình.
a) Biểu diễn tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ theo x và y
b) Giải thích tại sao lại có bất đẳng thức 20x + 50y ≤ 700.
Trả lời:
a. 20x + 50y.
b. 20x + 50y là tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ. Vì Nam để dành được 700 nghìn đồng nên tổng số tiền Nam ủng hộ chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 700 nghìn.
Thực hành 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) 2x – 3y + 1 ≤ 0;
b) x – 3y + 1 ≥ 0;
c) y – 5 > 0;
d) x – y2 + 1 > 0
Trả lời:
Các bất phương trình a), b), c) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình d) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa y2
2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hoạt động khám phá 2: Trường hợp nào sau đây thỏa mãn tình huống nêu trong hoạt động khám phá 1.
Trường hợp 1: Nam ủng hộ 2 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn và 3 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.
Trường hợp 2: Nam ủng hộ 15 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 10 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.
Trả lời:
Theo hoạt động khám phá 1: Số tiền Nam ủng hộ là 20x + 50y (nghìn đồng), số tiền này không vượt quá 700 nghìn đồng, vậy nên ta có bất phương trình 20x + 50y ≤ 700.
⇔ 20x + 50y – 700 ≤ 0 với x là số tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và y là số tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.
Vì thế để kiểm tra các trường hợp trên có thỏa mãn hay không thì ta phải kiểm tra xem số tờ tiền 20 nghìn đồng và 50 nghìn đồng tương ứng với các cặp (x; y) có thỏa mãn bất phương trình 20x + 50y – 700 ≤ 0 hay không.
Trường hợp 1: Nam ủng hộ 2 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 3 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng. Khi đó ta có: x = 2; y = 3.
Vì 20 . 2 + 50 . 3 – 700 = - 510 < 0 nên x = 2; y = 3 thỏa mãn bất phương trình trên.
Trường hợp 2 : Nam ủng hộ 15 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 10 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng. Khi đó x = 15; y = 10.
Vì 20 . 15 + 50 . 10 – 700 = 100 > 0 nên x = 15; y = 10 không thỏa mãn bất phương trình trên.
Vậy trường hợp 1 thỏa mãn tình huống trong hoạt động khám phá 1.
Thực hành 2: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0.
a) (9 ; 1)
b) (2 ; 6)
c) (0 ; – 4)
Trả lời:
a. Vì 4. 9 - 7. 1 - 28 = 1 > 0 nên (9; 1) là nghiệm của bất phương trình.
b. Vì 4. 2 + 7. 6 - 28 = 22 > 0 nên (2; 6) là nghiệm của bất phương trình.
c. Vì 4. 0 - 7. (-4) - 28 0 nên (0; - 4) là nghiệm của bất phương trình.
Vận dụng 1: Cho biết mỗi 100 g thịt bò chứa khoảng 26,1 g protein, một quả trứng nặng 44 g chứa khoảng 5,7 g protein (nguồn: https://www.vinmec.com). Giả sử có một người mỗi ngày cần không quá 60 g protein. Gọi số gam thịt bò và số quả trứng mà người đó ăn trong một ngày lần lượt là x và y.
a) Lập bất phương trình theo x, y diễn tả giới hạn về lượng protein trong khẩu phần ăn hằng ngày của người đó.
b) Dùng bất phương trình ở câu a) để trả lời hai câu hỏi sau:
- Nếu người đó ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì có phù hợp không?
- Nếu người đó ăn 200 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì có phù hợp không?
Trả lời:
3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hoạt động khám phá 3: Cho bất phương trình 2x – y + 1 < 0
a) Vẽ đường thẳng y = 2x + 1
b) Các cặp số (–2;0), (0; 0), (1; 1) có là nghiệm của bất phương trình đã cho không?
Trả lời:
a) Đường thẳng y = 2x + 1 đi qua hai điểm A(0; 1) và B (;0)
b)
- Vì 2. (– 2) – 0 + 1 = –3 < 0 nên cặp số (–2; 0) là nghiệm của bất phương trình 2x – y + 1 < 0.
- Vì 2. 0 – 0 + 1 = 1 > 0 nên cặp số (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình 2x – y + 1 < 0.
- Vì 2. 1 – 1 + 1 = 2 > 0 nên cặp số (1; 1) không là nghiệm của bất phương trình 2x – y + 1 < 0.
Vậy cặp số (-2; 0) là nghiệm của bất phương trình 2x – y +1 < 0.
Thực hành 3: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau :
a) 2x + y – 2 ≤ 0
b) x – y – 2 ≥ 0
Trả lời:
a. Vẽ đường thẳng d: 2x + y - 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; 2) và B(1; 0).
Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O
b. Vẽ đường thẳng d': x - y - 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; -2) và B(2; 0).
Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy O
Vận dụng 2: Biểu diễn miền nghiệm của hai bất phương trình sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
a) y ≥ 2
b) x ≤ 4.
Trả lời:
a) Từ y ≥ 2 suy ra y – 2 ≥ 0.
Vẽ đường thẳng ∆ : y – 2 = 0 (đường thẳng đi qua A(0 ; 2) và song song với Ox).
Xét gốc tọa độ O(0 ; 0).
Ta thấy O ∉ ∆ và 0 – 2 = –2 < 0.
Suy ra (0 ; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình y – 2 ≥ 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y – 2 ≥ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ ∆, không chứa điểm O (là miền tô màu đỏ trong hình 1).
b) Tương tự, từ x ≤ 4 suy ra bất phương trình x – 4 ≤ 0.
Vẽ đường thẳng ∆’ : x – 4 = 0 (đường thẳng đi qua B(4 ; 0) và song song với Oy).
Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆’ và 0 – 4 = –4 < 0.
Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x – 4 ≤ 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – 4 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ ∆’, có chứa điểm O (là miền tô màu vàng trong hình 1).
Bài tập
Bài tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x - 2y + 6 > 0.
a) (0 ; 0) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho không ?
b) Chỉ ra ba cặp số (x ; y) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
c) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Trả lời:
a) Với cặp (0 ; 0) ta có : 0 – 2.0 + 6 = 6 > 0 nên (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy (0 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình x - 2y + 6 > 0.
b)
+ Lấy cặp số (1 ; 0) ta có 1 – 2.0 + 6 = 7 > 0 nên cặp số (1 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình x - 2y + 6 > 0.
+ Lấy cặp số (0 ; 1) ta có 0 – 2.1 + 6 = 4 > 0 nên cặp số (0 ; 1) là một nghiệm của bất phương trình x - 2y + 6 > 0.
+ Lấy cặp số (-1 ; -1) ta có –1 – 2. (–1) + 6 = 7 > 0 nên cặp số (-1 ; -1) là một nghiệm của bất phương trình x - 2y + 6 > 0.
Vậy ta có ba cặp số (1 ; 0) ; (0 ; 1) ; (-1 ; -1) đều là nghiệm của bất phương trình x - 2y + 6 > 0.
c) Vẽ đường thẳng ∆ : x – 2y + 6 = 0 đi qua hai điểm A(0; 3); B(-6; 0).
Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆ và (0 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình
x - 2y + 6 > 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x - 2y + 6 > 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ ∆, chứa điểm O (là miền được tô màu trong hình sau).
Bài tập 2: Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
a) – x + y + 2 > 0
b) y + 2 ≥ 0
c ) – x + 2 ≤ 0.
Trả lời:
a. Vẽ đường thẳng d: -x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(2; 0) và B(0; -2).
Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy, O
b. Vẽ đường thẳng f: y + 2 = 0 đi qua điểm A(0; -2) và song song với Ox.
Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy, O
c. Vẽ đường thẳng t: -x + 2 = 0 đi qua điểm B(2; 0) và song song với Oy.
Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy, O
Bài tập 3: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ oxy
a) – x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)
b) 3(x – 1 ) + 4(y – 2) < 5x – 3.
Trả lời:
a) Ta có: – x + 2 + 2(y – 2 ) < 2(1 – x)
⇔ – x + 2 + 2(y – 2 ) – 2(1 – x) < 0
⇔ – x + 2 + 2y – 4 – 2 + 2x < 0
⇔ x + 2y – 4 < 0
Ta sẽ biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 4 < 0.
Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 4 = 0 đi qua điểm A(0; 2) và B (4 ; 0).
Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆ và 0 + 2.0 – 4 = – 4 < 0.
Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x + 2y – 4 < 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ ∆, chứa điểm O (là miền tô màu trong hình sau).
b) Ta có: 3(x – 1 ) + 4(y – 2) < 5x – 3
⇔ 3x – 3 + 4y – 8 – 5x + 3 < 0
⇔ – 2x + 4y – 8 < 0
⇔ – x + 2y – 4 < 0
Ta sẽ biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y – 4 < 0
Vẽ đường thẳng ∆’ : – x + 2y – 4 = 0 đi qua điểm A(0; 2) và B (– 4 ; 0).
Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆’ và – 0 + 2. 0 – 4 = – 4 < 0.
Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình – x + 2y – 4 < 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình –x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ ∆’, chứa điểm O (là miền tô màu trong hình sau).
Bài tập 4: Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần 30 g bột cam, còn một lít nước cam loại II cần 20 g bột cam. Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha chế được. Biết rằng Cúc chỉ có thể dùng không quá 100 g bột cam. Hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
Trả lời:
Vì x, y là là số lít nước cam loại I và II pha chế được nên x ≥ 0 và y ≥ 0.
Số gam bột cam cần dùng để pha chế x lít nước cam loại I là : 30x (g).
Số gam bột cam cần dùng để pha chế y lít nước cam loại II là : 20y (g).
Số gam bột cam Cúc cần dùng để pha hai loại nước cam là : 30x + 20y (g).
Vì số bột cam Cúc có thể dùng không quá 100 g nên ta có bất phương trình : 30x + 20y ≤ 100 hay 3x + 2y ≤ 10.
Vậy ta có ba bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được là:
x ≥ 0;
y ≥ 0;
3x + 2y – 10 ≤ 0.
Biểu diễn miền nghiệm của ba bất phương trình trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy ta được:
+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Ox, kể cả bờ Ox, (là miền không tô màu vàng trong hình 2).
+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục Oy, kể cả bờ Oy, (là miền không tô màu xanh trong hình 2).
+ Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y – 10 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, chứa điểm O (là miền không tô màu tím trong hình 2).
Bài tập 5: Miền không gạch chéo (không kể bờ d) trong mỗi hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào ?
Trả lời:
