Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Hoạt động khởi động: Có hai đường tròn chia một hình chữ nhật thành các miền như hình bên. Hãy đặt mỗi thẻ số sau đây vào miền thích hợp trên hình chữ nhật và giải thích cách làm.

Trả lời:

Trong các số đã cho, ta có:

Các số là bội của 3 là: 75; 78; 90; 120; 231.

Các số là bội của 5 là: 65; 75; 90; 100; 120.

Các số không là bội của 3 cũng không là bội của 5 là: 82 và 94.

Khi đó ta điền được vào miền tương ứng như sau:

1. Hợp và giao của tập hợp

Hoạt động khám phá 1: Bảng sau đây cho biết kết quả vòng phỏng vấn tuyển dụng vào một công ty (dấu “+” là đạt, dấu “-” là không đạt):

a) Xác định tập hợp A gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn, tập hợp B gồm các ứng viên đạt yêu cầu về mặt ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp C gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ.

c) Xác định tập hợp D gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ.

Trả lời:

Thực hành 1: Xác định tập hợp A ∪ B và A ∩ B, biết:

a) A = {a; b; c; d; e}, B = {a; e; i; u};

b) A = {x ∈ ℝ| x2 + 2x – 3 = 0}, B = {x ∈ ℝ | |x| = 1}.

Trả lời:

a. A ∪ B = {a; b; c; d; e; i; u}

A ∩ B = {a; e}

b. A ∪ B = {-3; -1; 1}

A ∩ B = {1}

Thực hành 2: Cho A = {(x; y)| x, y ∈ ℝ , 3x – y = 9}, B =  {(x; y)| x, y ∈ ℝ , x – y = 1}. Hãy xác định A ∩ B.

Trả lời:

Ta có: A ∩ B = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, x – y = 1 và 3x – y = 9}.

Nghĩa là tập hợp A ∩ B gồm các cặp (x; y) với x, y ∈ ℝ thỏa mãn hệ phương trình 

$\{\begin{array}{c}x-y=1\\ 3x-y=9\end{array}$

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-y=1\\ 3x-y=9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=4\\ y=3\end{array}$

Do đó A ∩ B = {(4; 3)}.

Vậy A ∩ B = {(4; 3)}.

Vận dụng: Tại vòng chung kết của một trò chơi truyền hình, có 100 khán giải tại trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B. Biết rẳng có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 60 khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh này. Có bao nhiêu khán giá đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả không tham gia bình chọn?

Trả lời:

2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

Hoạt động khám phá 2: Trở lại bảng thông tin về kết quả phỏng vấn tuyển dụng ở hoạt động khám phá 1.

a) Xác định tập hợp E gồm những ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp F gồm những ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn.

Trả lời:

a) Các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ là a2 và a7.

Vậy E = {a2; a7}.

b) Các ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn là: a3; a4; a9.

Vậy F = {a3; a4; a9}.

Thực hành 3: Cho các tập hợp E = {x ∈ ℕ | x < 8}, A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}.

Xác định các tập hợp sau đây:

a) A\B, B\A và (A\B) ∩ (B\A);

b) CE(A ∩ B) và (CEA) ∪ (CEB);

c)  CE(A ∪ B) và (CEA) ∩ (CEB).

Trả lời:

a. A\B = {0; 1; 2}          B\A = {5}         (A\B) ∩ (B\A) = Ø

b. CE(A∩B) = {0; 1; 3; 5; 6; 7}

(CEA) ∪ (CEB) = {0; 1; 2; 5; 6; 7}

c. CE(A∪B) = {6; 7}

(CEA) ∩ (CEB) = {6; 7}

Thực hành 4: Xác định các tập hợp sau đây:

a) (1; 3) ∪ [-2; 2];

b) $\left(-\infty ;1\right)\cap \left[0;\pi \right]$;

c) $\left[\frac{1}{2};3\right)\backslash \left(1;+\infty \right);$

d) $C_R\left[-1;+\infty \right)$

Trả lời:

a) Ta có trục số:

Vậy (1; 3) ∪ [-2; 2] = (1; 2].

b) Ta có trục số:

Vậy  $\left(-\infty ;1\right)\cap \left[0;\pi \right]$ = [0; 1).

c)

Vậy $\left[\frac{1}{2};3\right)\backslash \left(1;+\infty \right)=\left[\frac{1}{2};1\right]$

d) Ta có trục số sau:

Vậy $C_R\left[-1;+\infty \right)=\left(-\infty ;-1\right)$

$Bài\; tập$

Bài tập 1: Xác định các tập hợp A ∪ B và A ∩ B với:

a) A = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, B = {lục; lam; chàm; tím};

b) A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác cân.

Trả lời:

Bài tập 2: Xác định tập hợp A ∩ B  trong mỗi trường hợp sau:

a) A = {x ∈ ℝ | x2 – 2 = 0}, B = {x ∈ ℝ | 2x – 1 < 0};

b) A = {(x; y)| x, y ∈ ℝ , y = 2x – 1}, B = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, y = - x + 5};

c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.

Trả lời:

a) Xét phương trình: x2 – 2 = 0 $\iff [\begin{array}{c}x=-\sqrt{2}\\ x=\sqrt{2}\end{array}$

$\Rightarrow A=\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}$

Xét bất phương trình 2x – 1 < 0 ⇔ x < $\frac{1}{2}$

$\Rightarrow B=\left\{x\in R|x<\frac{1}{2}\right\}$

Ta có  $-\sqrt{2}<\frac{1}{2}$ và  $\sqrt{2}>\frac{1}{2}$ nên $-\sqrt{2}\in B,\sqrt{2}\notin B$

Do đó A ∩ B = $\left\{-\sqrt{2}\right\}$

Vậy A ∩ B = $\left\{-\sqrt{2}\right\}$

b) Ta có: A ∩ B = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, y = 2x – 1, y = -x + 5}

Các cặp (x; y) thuộc tập hợp A ∩ B thỏa mãn y = 2x – 1, y = -x + 5 (x, y ∈ ℝ )

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x – 1 = -x + 5

⇔ 2x + x = 5 + 1

⇔ 3x = 6

⇔ x = 2

⇒ y = - 2 + 5 = 3

Do đó A ∩ B  = {(2; 3)}.

Vậy A ∩ B  = {(2; 3)}.

c) Hình thoi không là hình chữ nhật và hình chữ nhật cũng không là hình thoi. Nhưng hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

Do đó A ∩ B là tập hợp các hình vuông.

Vậy A ∩ B là tập các hình vuông.

Bài tập 3: Cho E = {x ∈ ℕ | x < 10}, A = {x ∈ E| x là bội của 3}, B = {x ∈ E| x là ước của 6}. Xác định các tập hợp A\B, B\A, CEA, CEB, CE(A∪B), CE(A∩B).

Trả lời:

Bài tập 4: Cho A và B là hai tập hợp bất kì. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.

a) A và A∪B;

b) A và A∩B.

Trả lời:

A ⊂ (A ∪ B)

(A ∩ B) ⊂ A

Bài tập 5: Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích học môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H:

a) có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?

b) có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?

Trả lời:

Ta có sơ đồ ven:

a) Gọi A là tập hợp học sinh của lớp 10H thích học môn Toán, B là tập hợp học sinh của lớp 10H thích học môn Tiếng Anh.

Theo giả thiết, n(A) = 20, n(B) = 16, n(A∩B) = 12.

Nhận thấy rằng, nếu tính tổng n(A) + n(B) thì ta được số học sinh lớp 10H thích môn Toán hoặc Tiếng Anh, nhưng số bạn thích cả hai môn được tính hai lần. Do đó, số bạn học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh là:

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) = 20 + 16 – 12 = 24.

Vậy lớp 10H có 24 học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh.

b) Số học sinh của lớp 10H không thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh là:

35 – 24 = 11 (học sinh).

Vậy có 11 học sinh của lớp 10H không thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh.