Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương V - Giải SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài tập 1: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

b) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Trả lời:

a) Gọi Δ1, Δ2, Δ3 lần lượt là giá của ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ .

+ Vectơ $\vec{a}$ cùng phương với vectơ $\vec{c}$ ⇒Δ1 // Δ3 và Δ1 ≡ Δ3;

+ Vectơ $\vec{b}$ cùng phương với vectơ $\vec{c}$ ⇒ Δ2 // Δ3 và Δ2 ≡ Δ3;

Do đó: Δ1 // Δ2 và Δ2 ≡ Δ2.

Vậy vectơ $\vec{a}$ cùng phương với vectơ $\vec{b}$ (theo định nghĩa).

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng ngược hướng với $\vec{c}$ .

Suy ra $\vec{a}, \vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ .

Theo câu a suy ra vectơ $\vec{a}$ cùng phương với vectơ $\vec{b}$ .

Do đó, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Mà hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều ngược hướng với $\vec{c}$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Vậy khẳng định b) đúng.

Bài tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{A C}, \vec{B D}$ .

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a \sqrt{10}}{2}$ .

Trả lời:

Bài tập 3: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ; $\vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D}$ ; $\vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

Trả lời:

Giải bài tập cuối chương V trang 102

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: p⃗ = AB→ + AD→ = AC→

⇒ |p⃗ | = |AC→| = AB2+AD2+2.AB.AD.cosBADˆ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ =

a2+a2+2.a.a.cos60∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=3–√a

Ta có: u⃗ = AB→ - AD→ = DB→

⇒ |u⃗ | = |DB→| = BD = a

Ta có: v⃗ = 2AB→ - AC→ = AB→ - AC→ + AB→ = CB→ + AB→ = DA→ + AB→ = DB→

⇒ |v⃗ | = |DB→| = BD = a.

Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\vec{C E} = \vec{A N}$ (Hình 1).

Bài 4 trang 102 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

a) Tìm tổng của các vectơ $\vec{N C}$ và $\vec{M C}$ ; $\vec{A M}$ và $\vec{C D}$ ; $\vec{A D}$ và $\vec{N C}$ .

b) Tìm các vectơ hiệu: $\vec{N C} - \vec{M C}; \vec{A C} - \vec{B C}; \vec{A B} - \vec{M E}$ .

c) Chứng minh $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Trả lời:

Bài 4 trang 102 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

a) Vì ABCD là hình bình hành nên BC // = AD.

M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên BM = MC = $\frac{1}{2}$ BC; AN = ND = $\frac{1}{2}$ AD

Mà $\vec{C E} = \vec{A N}$ nên CE //= AN.

Do đó: BM = MC = AN = ND = CE (1).

Hai vectơ $\vec{A N}$ và $\vec{M C}$ cùng hướng (do AN // MC và cùng hướng đi từ trái qua phải) và $|\vec{M C}| = |\vec{A N}|$ nên $\vec{A N} = \vec{M C}$ .

Khi đó ta có AMCN là hình bình hành nên $\vec{A M} = \vec{N C}$ .

Do đó: $\vec{N C} + \vec{M C} = \vec{A M} + \vec{M C} = \vec{A C}$

$\vec{A M} + \vec{C D} = \vec{N C} + \vec{C D} = \vec{N D}$

Lại có: ME = MC + CE; AD = AN + ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra ME = AD, mà ME // AD nên AMED là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{A M} + \vec{A D} = \vec{A E}$ .

Do đó ta có: $\vec{A D} + \vec{N C} = \vec{A D} + \vec{A M} = \vec{A E}$ .

b) Vì $\vec{A M} = \vec{N C}$ và $\vec{M C} = \vec{A N}$ nên $\vec{N C} - \vec{M C} = \vec{A M} - \vec{A N} = \vec{N M}$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{B C} = \vec{A D}$ và $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Do đó ta có: $\vec{A C} - \vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{D C} = \vec{A B}$ .

Vì AMED là hình bình hành nên $\vec{M E} = \vec{A D}$ .

Do đó ta có: $\vec{A B} - \vec{M E} = \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}$ .

c) Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Do AMCN là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A M} + \vec{A N}$ .

Từ đó suy ra: $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Bài tập 5: Cho $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ;

b) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ .

Trả lời:

a. Ta có: |a⃗ +b⃗ |2 = |a⃗ |2 + |b⃗ |2 + 2|a⃗ |. |b⃗ |.cos(a⃗ , b⃗ )

(|a⃗ |+|b⃗ |)2 = |a⃗ |2 + |b⃗ |2 + 2|a⃗ |. |b⃗ |

Để |a⃗ + b⃗ | = |a⃗ | + |b⃗ | thì 2|a⃗ |. |b⃗ |.cos(a⃗ , b⃗ ) = 2|a⃗ |. |b⃗ | ⇔ cos(a⃗ , b⃗ ) = 1 ⇔ (a⃗ , b⃗ ) = 0∘

Vậy trong trường hợp a⃗ = kb⃗ (k > 0) (hay a⃗ cùng hướng với b⃗ thì |a⃗ + b⃗ | = |a⃗ | + |b⃗ |.

b. Ta có: |a⃗ +b⃗ |2 = (a⃗ +b⃗ )2 = a⃗ 2 + 2a⃗ .b⃗ + b⃗ 2

|a⃗ −b⃗ |2 = (a⃗ −b⃗ )2 = a⃗ 2 - 2a⃗ .b⃗ + b⃗ 2

Để |a⃗ + b⃗ | = |a⃗ - b⃗ | thì 2a⃗ .b⃗ = 0

Vậy trong trường hợp a⃗ . b⃗ = 0 (tức là a⃗ ⊥ b⃗ ) thì |a⃗ + b⃗ | = |a⃗ - b⃗ |.

Bài tập 6: Cho $|\vec{a} + \vec{b}| = 0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Trả lời:

Bài tập 7: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\vec{A B} = \vec{C D}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Trả lời:

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng vectơ AB = vectơ CD khi và chỉ khi trung điểm

+) Có $\vec{A B} = \vec{C D}$ , cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{J B} + \vec{J C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A J} = \vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}$

$\vec{I J} = \vec{I D} + \vec{D J} = \vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J}$

Suy ra: $\vec{I J} + \vec{I J} = (\vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}) + (\vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J})$

$= (\vec{I A} + \vec{I D}) + (\vec{A B} + \vec{D C}) + (\vec{B J} + \vec{C J})$

$= \vec{0} + (\vec{A B} + \vec{D C}) - (\vec{J B} + \vec{J C})$

$= (\vec{A B} + \vec{D C}) - \vec{0} = \vec{A B} + \vec{D C}$

Do đó: $\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{I J}$ (1)

Mà $\vec{A B} = \vec{C D}$ nên $\vec{A B} + \vec{D C} = \vec{C D} + \vec{D C} = \vec{C C} = \vec{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{I J} = \vec{0}$

Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.

Do đó: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{A B} = \vec{A I} + \vec{I B}; \vec{C D} = \vec{C I} + \vec{I D}$

Suy ra: $\vec{A B} - \vec{C D} = (\vec{A I} + \vec{I B}) - (\vec{C I} + \vec{I D}) = (\vec{I B} + \vec{I C}) - (\vec{I A} + \vec{I D}) = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} = \vec{C D}$

Bài tập 8: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = \vec{0}$ .

Trả lời:

Giải bài tập cuối chương V trang 102

Ta có: ABIJ là hình bình hành nên AJ→ = −IB→ ⇒ AJ→ + IB→ = 0⃗

BCPQ là hình bình hành nên BQ→ = −PC→ ⇒ BQ→ + PC→ = 0⃗

CARS là hình bình hành nên RA→ = −CS→ ⇒ RA→ + CS→ = 0⃗

Ta có: RJ→ + IQ→ + PS→

= RA→ + AJ→ + IB→ + BQ→ + PC→ + CS→ 4

= (RA→ + CS→) + (AJ→ + IB→) + (BQ→ + PC→)

= 0⃗ + 0⃗ + 0⃗ = 0⃗

Vậy RJ→ + IQ→ + PS→ = 0⃗

Bài tập 9: Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Bài 9 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Trả lời:

Bài tập 10: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ .

Trả lời:

Tam giác ABC đều nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 °$ .

Bài 10 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

$\vec{M K} + \vec{M G} = \vec{M A}; \vec{M H} + \vec{M J} = \vec{M B}; \vec{M I} + \vec{M L} = \vec{M C}$ (1)

Ta có: MH // AB $\Rightarrow \hat{M H L} = \hat{B} = 60 °$ (đồng vị)

ML // AC $\Rightarrow \hat{M L H} = \hat{C} = 60 °$ (đồng vị)

Tam giác MHL có $\hat{M H L} = \hat{M L H} = 60 °$ nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: $\vec{M H} + \vec{M L} = 2 \vec{M D}$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\vec{M K} + \vec{M J} = 2 \vec{M F}; \vec{M G} + \vec{M I} = 2 \vec{M E}$ .

Do đó: $2 \vec{M D} + 2 \vec{M E} + 2 \vec{M F} = \vec{M H} + \vec{M L} + \vec{M G} + \vec{M I} + \vec{M K} + \vec{M J}$

$= (\vec{M K} + \vec{M G}) + (\vec{M H} + \vec{M J}) + (\vec{M I} + \vec{M L})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}$

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

Do đó: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = 3 \vec{M O}$

Suy ra $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$

Bài tập 11: Một xe goòng được kéo bởi một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\vec{F}$ và $\vec{A B}$ là 30° và $\vec{F}$ được phân tích thành 2 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\vec{F}, \vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Bài 11 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Trả lời:

Ta có: F1 = F. sin30∘ = 50. sin30∘ = 25(N)

F2 = F.cos30∘ = 50.cos30∘ = 253–√ (N)

Công sinh bởi lực F⃗ là: A = |F⃗ .|AB→|.cos30∘ = 50. 200. cos30∘ = 50003–√ (J)

Công sinh bởi lực F1→ là: A1 = |F1→.|AB→|.cos90∘ = 0 (J)

Công sinh bởi lực F2→ là: A2 = |F2→.|AB→|.cos0∘ = 253–√. 200. 1 = 50003–√(J)

Bài tập 12: Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ .

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Bài 12 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Trả lời: