Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hàm số bậc hai

Hoạt động khởi động: Các hàm số này có chung đặc điểm gì?

y = ax2;

y = a(x – m)(x – n);

y = ax2 + bx;

y = a(x – h)2 + k;

y = ax2 + bx + c.

Trả lời:

Ta có:

y = a(x – m)(x – n) = ax2 – a(m + n)x + a.m.n.

y = a(x – h)2 + k = ax2 – 2ahx + ah2 + k.

Các hàm số đã cho đều là các hàm số bậc hai.

1. Hàm số bậc hai

Hoạt động khám phá 1: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?

a) y = 2x(x – 3);

b) y = x(x2 + 2) – 5;

c) y = -5(x + 1)(x – 4).

Trả lời:

Thực hành 1: Hàm số nào trong các hàm số đã cho ở hoạt động khám phá 1 là hàm số bậc hai?

Trả lời:

Hàm số a. y = 2x2 - 6x và hàm số c. y = -5x2 + 15x + 20 là hàm số bậc hai.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

Hoạt động khám phá 2: 

a) Xét hàm số: y = f(x) = x2 – 8x + 19 = (x – 4)2 + 3 có bảng giá trị:

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 1).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị của hàm số y = x2 trên Hình 1.

b) Tương tự, xét hàm số: y = g(x) = - x2 + 8x – 13 = - (x – 4)2 + 3 có bảng giá trị:

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 2).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số y = - x2 trên Hình 2.

Trả lời:

a) Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D là đường cong màu đỏ trên hình vẽ:

Nhận xét:

Về hình dáng của đường cong màu đỏ giống với hình dáng của đường cong màu xanh là một đường cong parabol.

- Có đỉnh là điểm S với hoành độ là 4 và tung độ là 3.

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 4 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).

- Bề lõm của đồ thị hướng lên trên.

b) ) Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D là đường cong màu cam trên hình vẽ:

Nhận xét:

Về hình dáng của đường cong màu cam giống với hình dáng của đường cong màu tím là một đường cong parabol.

- Có đỉnh là điểm S với hoành độ là 4 và tung độ là 3.

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 4 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).

- Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới.

Thực hành 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x + 3 rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số ở ví dụ 2a. Nếu nhận xét về hai đồ thị này.

Trả lời:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = x2 - 4x + 3 là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ xS = 2, tung độ yS = -1;

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

+ Phương trình x2 - 4x + 3 = 0 có hai ngiệm phân biết x1 = 1 và x2 = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (3; 0).

Ta được đồ thị như sau:

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Hoạt động khám phá 3: Từ đồ thị của hàm số bậc hai cho ở hai hình sau, tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trong mỗi trường hợp.

Trả lời:

Thực hành 3: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = 2x2 – 6x + 11. Hàm số có thể đạt giá trị bằng – 1 không? Tại sao?

Trả lời:

Xét hàm số y = 2x2 – 6x + 11, có: a = 2 > 0 và ∆ = (-6)2 – 4.2.11 = 36 – 88 = -52.

Đỉnh S có hoành độ x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2.2}=\frac{3}{2}$  và tung độ y = $\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-\left(-52\right)}{4.2}=\frac{13}{2}$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là  $\frac{13}{2}$ tại x = $\frac{3}{2}$. Do đó hàm số không thể đạt giá trị bằng -1.

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Vận dụng: Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được cho là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên).

a) Vận tốc xuất phát của cầu là 12m/s.

b) Vị trí phát cầu cách mặt đất là 1,3m.

Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông được cho trong Hình 11.

Trả lời:

a. Với g = 9,8m/s2, góc phát cầu α = 30∘, vận tốc ban đầu v0 = 12m/s, y0 = 0,7 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = −4,9108x2 + 3√3x + 0,7 (với x ≥ 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

−4,9108x2 + 3√3x + 0,7 = 0 ta được x1 ≈ -1,11 và x2 ≈ 13,84.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84m > chiều dài sân 13,4m nên lần phát cầu không hợp lệ vì cầu rơi ra ngoài đường biên phía bên sân đồi phương.

b. Với g = 9,8m/s2, góc phát cầu α = 30∘, vận tốc ban đầu v0 = 8m/s, y0 = 1,3 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = −4,948x2 + 3√3x + 1,3 (với x ≥ 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

−4,948x2 + 3√3x + 1,3 = 0 ta được x1 ≈ -1,73 và x2 ≈ 7,38.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,38m.

Với giả thiết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4m thì vị trí cầu rơi cách lưới 3,38m, vẫn trong đường biên phía bên sân đối phương. Do đó, lần phát cầu này là hợp lệ.

Bài tập

Bài tập 1: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) y = 9x2 + 5x + 4;

b) y = 3x3 + 2x + 1;

c) y = -4(x + 2)3 + 2(2x3 + 1) + 5;

d) y = 5x2 +  $\sqrt{x}$ + 2.

Trả lời:

Bài tập 2: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai.

a) y = mx4 + (m + 1)x2 + x + 3;

b) y = (m – 2)x3 + (m – 1)x2 + 5.

Trả lời:

a) Để hàm số y = mx4 + (m + 1)x2 + x + 3 là hàm bậc hai thì hệ số của x4 phải bằng 0 và hệ số của x2 phải khác không tức là: $\{\begin{array}{c}m=0\\ m+1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=0\\ m\ne -1\end{array}\iff m=0$

Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b) Để hàm số y = (m – 2)x3 + (m – 1)x2 + 5 là hàm số bậc hai thì hệ số của x3 phải bằng 0 và hệ số của x2 phải khác không tức là: $\{\begin{array}{c}m-2=0\\ m-1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=2\\ m\ne 1\end{array}\iff m=2$

Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

Bài tập 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y = x2 + 2x + 3. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Trả lời:

Đỉnh S có tọa độ: xS = −b′a = -1; yS = - 12−1.31 = 2

Hay S(-1; 2)

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = -1.

Bài tập 4: Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c có f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5.

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Trả lời:

Ta có:

f(0) = a.02 + b.0 + c = 1 ⇔ c = 1.

f(1) = a.12 + b.1 + c = 2 ⇔  a + b + c = 2.

f(2) = a.22 + b.2 + c = 5 ⇔  4a + 2b + c = 5.

Khi đó, ta có hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{c}c=1\\ a+b+c=2\\ 4a+2b+c=5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}c=1\\ a+b=1\\ 4a+2b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}c=1\\ a+b=1\\ 2a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}c=1\\ a=1\\ b=0\end{array}$

Vậy a = 1, b = 0 và c = 1.

b) Với a = 1, b = 0 và c = 1 thì ta có hàm số: y = x2 + 1.

Xét hàm số bậc hai: y = x2 + 1, có:

Đỉnh S có tọa độ xs = $\frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2.1}=0$, ys = 02 + 1 = 1. Hay S(0; 1).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0  nên ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0. Do đó tập giá trị của hàm số là [1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Bài tập 5: Cho hàm số y = 2x2 + x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Trả lời:

Đỉnh S có tọa độ: xS = −b2a = −14; yS = −(b2−4ac)4a = −(12−4.2.m)4.2 = −1+8m8

Hay S(−14; −1+8m8)

Vì hàm số bậc hai có a = 2 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 ⇔ −1+8m8 = 5 ⇔ m = 418

Vậy m = 418

Bài tập 6: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x2 + 4x – 1;

b) y = -x2 + 2x + 3;

c) y = -3x2 + 6x;

d) y = 2x2 – 5.

Trả lời:

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = 2x2 + 4x – 1 là một parabol (P):

- Có đỉnh S với hoành độ xS = -1, tung độ yS = -3;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Ngoài ra, phương trình 2x2 + 4x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = $\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$  và x2 = $\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$  nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ $\left(\frac{-2+\sqrt{6}}{2};0\right)$  và $\left(\frac{-2-\sqrt{6}}{2};0\right)$.

Ta được đồ thị hàm số như sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -x2 + 2x + 3 là một parabol (P):

- Có đỉnh S với hoành độ xS = 1, tung độ yS = 4;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ngoài ra, phương trình -x2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 3 và x2 = -1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (3; 0) và (-1; 0).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -3x2 + 6x là một parabol (P):

- Có đỉnh S với hoành độ xS = 1, tung độ yS = 3;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 0).

Ngoài ra, phương trình -3x2 + 6x = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 0 và x2 = 2 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (0; 0) và (2; 0).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = 2x2 – 5 là một parabol (P):

- Có đỉnh S với hoành độ xS = 0, tung độ yS = -5;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 0 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -5).

Ngoài ra, phương trình 2x2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 =  $\sqrt{\frac{5}{2}}$ và x2 = $-\sqrt{\frac{5}{2}}$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ ($\sqrt{\frac{5}{2}}$; 0) và ($-\sqrt{\frac{5}{2}}$; 0).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

Bài tập 7: Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.

(P1): y = - 2x2 – 4x + 2;

(P2): y = 3x2 – 6x + 5;

(P3): y = 4x2 – 8x + 7;

(P4): y = -3x2 – 6x + 1.

Trả lời:

Bài tập 8: Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Trả lời:

Gọi hàm số đồ thị bậc hai cần tìm có dạng y = ax2 + bx  + c

Từ Hình 13 ta thấy, đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1; 0); (4; 0); (1,5; 6,25) nên ta có hệ phương trình sau:

⎧⎩⎨⎪⎪a−b+c=016a+4b+c=02,25a+1,5b+c=−6,25 ⇔ ⎧⎩⎨⎪⎪a=1b=−3c=−4

Vậy hàm số bậc hai cần tìm có dạng y = x2 - 3x - 4

Bài tập 9: Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

- Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

- Nhịp cầu dài 30m.

- Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Trả lời:

Hình dây văng có dạng parabol, nên ta có hình vẽ sau:

Độ dài của dây cáp tương ứng với tung độ của các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’.

Dây dài nhất tương ứng với điểm A và A’ trên đồ thị. Khi đó A(-15; 5) và A’(15; 5).

Dây ngắn nhất trên đồ thị tương ứng với điểm L trên đồ thị. Khi đó L(0; 0,8).

Gọi hàm số đi qua các điểm này có dạng y = ax2 + bx + c.

Ta có hàm số đi qua A(-15; 5) nên thay x = -15 và y = 5 ta có: 225a – 15b + c = 5;

Ta có hàm số đi qua A(15; 5) nên thay x = 15 và y = 5 ta có: 225a + 15b + c = 5;

Ta có hàm số đi qua điểm L(0; 0,8) nên thay x = 0 và y = 0,8 ta có: c = 0,8;

Khi đó ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}225a-15b+c=5\\ 225a+15b+c=5\\ c=0,8\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=\frac{7}{375}\\ b=0\\ c=0,8\end{array}$

Suy ra ta có hàm số y = $\frac{7}{375}$x2 + 0,8.

Hàm số có trục đối xứng là x = 0 hay chính là trục tung. Do đó các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K đối xứng với các điểm A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, H’, I’, K’ qua trục tung. Vì thế các điểm này có cùng tung độ.

Vì nhịp cầu dài 30 m nên khoảng cách giữa các dây cáp là: 30: 20 = 1,5 m.

Do đó hoành độ các điểm K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’ lần lượt là:

xK’ = 1,5 ⇒ yK’ = 0,842 ⇒ K’(1,5; 0,842). Do đó độ dài dây cáp ở điểm K và K’ là 0,842.

xI’ = 3 ⇒ yI’ = 0,968 ⇒ I’(3; 0,968). Do đó độ dài dây cáp ở điểm I và I’ là 0,968.

xH’ = 4,5 ⇒ yH’ = 1,178 ⇒ H’(4,5; 1,178). Do đó độ dài dây cáp ở điểm H và H’ là 1,178.

xG’ = 6 ⇒ yG’ = 1,472 ⇒ G’(6; 1,472). Do đó độ dài dây cáp ở điểm G và G’ là 1,472.

xF’ = 7,5 ⇒ yF’ = 1,85 ⇒ F’(7,5; 1,85). Do đó độ dài dây cáp ở điểm F và F’ là 1,85.

xE’ = 9 ⇒ yE’ = 2,312 ⇒ E’(9; 2,312). Do đó độ dài dây cáp ở điểm E và E’ là 2,312.

xD’ = 10,5 ⇒ yD’ = 2,858 ⇒ D’(10,5; 2,858). Do đó độ dài dây cáp ở điểm D và D’ là 2,858.

xC’ = 12 ⇒ yC’ = 3,488 ⇒ C’(12; 3,488). Do đó độ dài dây cáp ở điểm H’ là 3,488.

xB’ = 13,5 ⇒ yB’ = 4,202 ⇒ B’(13,5; 4,202). Do đó độ dài dây cáp ở điểm B và B’ là 4,202.

xA’ = 15 ⇒ yA’ = 5 ⇒ A’(15,5). Do đó độ dài dây cáp ở điểm A và A’ là 5.

Vì cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cap để neo cố định nên tổng độ dài các dây cáp là:

0,8 + 2.(0,842 + 0,968 + 1,178 + 1,472 + 1,85 + 2,312 + 2,858 + 3,488 + 4,202 + 5) = 49,14.

Do cần tìm tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định và cần hai mặt thành cầu nên chiều dài dây cáp cần sử dụng là:

2.49,14.105% = 103,194 (m).

Vậy tổng độ dài dây cáp cần dùng 103,194 m.