Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương II

Bài tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) -2x + y - 1 ≤ 0;

b) -x + 2y > 0;

c) x – 5y < 2

d) -3x + y + 2 ≤ 0;

e) 3(x – 1) + 4(y – 2 ) < 5x – 3.

Trả lời:

a) Vẽ đường thẳng a: -2x + y - 1 = 0 đi qua hai điểm A(0; 1) và B($-\frac{1}{2}$; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ;0). Ta thấy O ∉ a và -2.0 + 0 - 1 = -1 ≤ 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình -2x + y - 1 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -2x + y - 1 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ a, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

b) Vẽ đường thẳng b: - x + 2y = 0 đi qua hai điểm O(0; 0) và B(2 ;1).

Xét điểm C(0 ; 1). Ta thấy C ∉ b và  - 0 + 2.1 = 2 >  0.

Suy ra (0 ; 1) là nghiệm của bất phương trình - x + 2y > 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình - x + 2y > 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ b, có chứa điểm C(0 ; 1)  (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

c) Ta có : x – 5y < 2  ⇔ x – 5y –  2 < 0

Vẽ đường thẳng c: x - 5y -  2 = 0  đi qua hai điểm A(0; $\frac{-2}{5}$) và B(2 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ c và  0 – 5.0 – 2  = - 2 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x – 5y –  2 < 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – 5y –  2 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ c, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

d) Vẽ đường thẳng d: -3x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; -2) và B($\frac{2}{3}$; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ d và -3.0 + 0 + 2 = 2 >  0.

Suy ra (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, không chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

e) 3(x – 1) + 4(y – 2 ) < 5x – 3.

⇔ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3

⇔ 3x – 3 + 4y – 8 – 5x + 3 < 0

⇔ - 2x + 4y – 8 < 0

. ⇔ - x + 2y – 4 < 0.

Vẽ đường thẳng e: - x + 2y – 4 = 0.đi qua hai điểm A(0; 2) và B(-4 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ;0). Ta thấy O ∉ e và - 0 + 2. 0 - 4 = - 4 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình - x + 2y – 4 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình - x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ e, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

Bài tập 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

$\{\begin{array}{c}x-2y>0\\ x+3y<3.\end{array}$

Trả lời:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miền không tô màu( không kể bờ) là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài tập 3: Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất ? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.

Trả lời:

Gọi x (kg) là khối lượng sản phẩm A, y (kg) là khối lượng sản phẩm B mà công ty sản xuất.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 2x (kg).

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là y (kg).

Tổng nguyên liệu loại I cần dùng là 2x + y (kg).

Mặt khác, số nguyên liệu dự trữ loại I là 8 kg, nên ta có bất phương trình : 2x + y ≤ 8.

Tương tự,

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 4x (kg).

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 4y (kg).

Tổng nguyên liệu loại II cần dùng là 4x + 4y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại II là 24 kg, nên ta có bất phương trình : 4x + 4y ≤ 24, tức là x + y ≤ 6.

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là x (kg).

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 2y (kg).

Tổng nguyên liệu loại III cần dùng là x + 2y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại III là 8 kg, nên ta có bất phương trình : x + 2y ≤ 8.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau :

$\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 8\\ \begin{array}{c}x+y\le 6\\ x+2y\le 8\end{array}\end{array}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (0 ; 4) ; B( $\frac{8}{3}$; $\frac{8}{3}$) ; C(4 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta có:

Tiền lãi thu được từ x kg sản phẩm loại A là : 30x (triệu đồng) .

Tiền lãi thu được từ y kg sản phẩm loại B là : 50y (triệu đồng).

Khi đó F = 30x + 50y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 30.0 +50.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 4) : F = 30 . 0 + 50 . 4 = 200 ;

Tại B( $\frac{8}{3}$; $\frac{8}{3}$) : F = 30 . $\frac{8}{3}$ + 50 . $\frac{8}{3}$ = $\frac{640}{3}\approx 213$

Tại C(4 ; 0) : F = 30 . 4 + 50 . 0 =120.

F đạt lớn nhất bằng 213 tại B($\frac{8}{3}$ ; $\frac{8}{3}$).

Vậy công ty nên sản xuất  $\frac{8}{3}$kg sản phẩm loại A và $\frac{8}{3}$ kg sản phẩm loại B để thu về tiền lãi lớn nhất.

Bài tập 4: Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ : Tủ loại A chiếm 3 m2 sàn, loại này có sức chứa 12 m3 và có giá 7,5 triệu đồng ; tủ loại B chiếm 6 m2 sàn, loại này có sức chứa 18 m3 và có giá 5 triệu. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là 60 m2 mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có thể được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Trả lời:

Gọi x là số tủ loại A, y là số tủ loại B cần mua.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x+6y≤607,5x+5y≤60x≥0y≥0 <=> ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x+2y≤2003x+2y≤24x≥0y≥0

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên trục tọa độ Oxy ta được như sau:

Ta có B là giao điểm của hai đường thẳng x + 2y = 20 và 3x + 2y = 24 nên B(2;9)

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với các đỉnh O(0;0 ); A(0; 10); B(2; 9); C(8; 0)

Gọi F là thể tích đựng hồ sơ (m3), ta được: F = 12x + 18y.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

+ Tại O(0; 0): F = 0

+ Tại A(0; 10): F = 12. 0 + 18. 10 = 180

+ Tại B(2; 9): F = 12. 2 + 18. 9 = 186

+ Tại C(8; 0): F = 12. 8 + 18. 0 = 96

F đạt giá trị lớn nhất là 186m3 tại B(2; 9).

Vậy để có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất, công ty cần mua 2 tủ đựng loại A và 9 tủ đựng loại B.

Bài tập 5: Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với 1kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Trả lời:

Gọi x (hũ) là số hũ tương cà loại A, y (hũ) là số hũ tương cà loại B.

Hiển nhiên ta có x ≥ 0, y ≥ 0 và x ∈ ℕ.

Để làm x hũ tương cà loại A cần 10x (kg) cà chua và x (kg) hành tây.

Để làm y hũ tương cà loại B cần 5y (kg) cà chua và 0,25y (kg) hành tây.

Khi đó tổng khối lượng cà chua cần dùng là : 10x + 5y (kg) ; tổng khối lượng hành tây cần dùng là x + 0,25  (kg).

Do nông trại chỉ thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây nên ta có các bất phương trình sau :

10x + 5y ≤ 180, tức là 2x + y ≤ 36.

 Và x + 0,25y  ≤ 15.

Mặt khác, số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên ta có bất phương trình x ≥ 3,5y.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau: $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 36\\ \begin{array}{c}x+0,25y\le 15\\ x\ge 3,5y\end{array}\end{array}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta có hình sau:

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác OAB (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (14 ; 4) ; B(15 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị : nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ x hũ tương cà loại A là: 200x (nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ y hũ tương cà loại B là: 150y (nghìn đồng).

Tổng số tiền lãi là 200x + 150y (nghìn đồng). Tức là F = 200x + 150y.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác OAB :

Tại O (0 ; 0) : F = 200.0 + 150.0 = 0;

Tại A (14 ; 4) : F= 200. 14  + 150. 4  = 3 400 ;

Tại  B(15 ; 0): F = 200.15 + 150.0 = 3 000;

F đạt giá trị lớn nhất là 3 400  tại A (14 ; 4).

Vậy để nông trại có nhiều tiền lãi nhất thì nông trại phải sản xuất 14 hũ loại A và 4 hũ loại B.

Bài tập 6: Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày; máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Trả lời:

Gọi x (tấn) là khối lượng sản phẩm X mà xưởng sản xuất ra trong một ngày; y(tấn) là khối lượng sản phẩm Y mà xưởng sản xuất ra trong một ngày.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy A trong một ngày là 6x + 2y (giờ).

Do máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày nên ta có bất phương trình :

6x + 2y ≤ 12, hay 3x + y ≤ 6.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy B trong 2x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy B trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy B trong một ngày là 2x + 2y (giờ).

Do máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày nên ta có bất phương trình : 2x + 2y ≤ 8, hay x + y  ≤ 4.

Vậy ta có hệ bất phương trình :

$\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+y\le 6\\ x+y\le 4\end{array}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (2 ; 0) ; B(1 ; 3) ; C(0 ; 4).

Gọi F (triệu đồng) là số tiền lãi thu được.

Với x tấn sản phẩm X thì số tiền lãi là 10x (triệu đồng) ; với y tấn sản phẩm  Y thì số tiền lãi là 8y (triệu đồng). Tổng số tiền lãi là 10x + 8y (triệu đồng).

Do đó F =10x + 8y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0): F = 10.0 + 8.0 = 0;

Tại A (2 ; 0): F= 10.2 + 8.0 = 20 ;

Tại  B(1 ; 3): F = 10.1 + 8.3 = 34;

Tại  C(0 ; 4): F = 10.0 + 8.4 = 32.

F đạt giá trị lớn nhất là 34 tại B(1 ; 3) 

Vậy để tổng số tiền lãi cao nhất thì xưởng phải sản xuất 1 tấn sản phẩm X và 3 tấn sản phẩm Y.