Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Hoạt động khám phá 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính ${\mathrm{IDC^\backslash widehat\{IDC\}IDC}}^{}$.

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AB}$.

Trả lời:

Thực hành 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right),\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right),\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right),\left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}\right)$,$\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right)$.

Trả lời:

Tam giác ABC đều có H là trung điểm BC nên AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.

+ Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=60°$ (tam giác ABC đều).

+ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC về phía C, lấy điểm D sao cho AD = BC.

Khi đó ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Suy ra: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}$.

Lại có: $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}=60°$ (AD // BC, hai góc so le trong)

Nên $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=60°+60°=120°$.

Do đó: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

+ Do AH vuông góc với BC nên $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$, do đó $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)=90°$.

+ Do hai vectơ $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}\right)=0°$.

+ Do hai vectơ $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right)=180°$.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 2: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có cường độ 10N kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$, biết rằng góc giữa vectơ $\overrightarrow{F}$ và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\overrightarrow{F}$, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$).

Trả lời:

A = |F⃗ |.|d⃗ |.cos45∘ = 10. 100.cos45∘ = 5002–√ (J)

Thực hành 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

Trả lời:

Thực hành 3: Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Trả lời:

Ta có: $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=8,\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=12\sqrt{2}$.

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

Suy ra: $cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{12\sqrt{2}}{3.8}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=45°$.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

Vận dụng 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow{F}$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Trả lời:

A = 20. 50. cos0∘ = 1000 (J)

3. Tính chất của tích vô hướng

Thực hành 4: Cho hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2;{\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2;\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

b) Cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j},\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và tính góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Trả lời:

Vận dụng 2: Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết ${\mathrm{OSO^\backslash widehat\{OSO\}OSO}}^{}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\overrightarrow{{\mu }_1}$ và $\overrightarrow{{\mu }_2}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của $\overrightarrow{\mu }$.

Trả lời:

Theo bài ra ta có: $\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|=\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|=1,6;\left(\overrightarrow{{\mu }_1},\overrightarrow{{\mu }_2}\right)=OSO^\backslash widehat\{OSO\}OSO=120°$.

Do đó: $\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}=\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|.\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|.cos\left(\overrightarrow{{\mu }_1},\overrightarrow{{\mu }_2}\right)$ = 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.

Vì $\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$ nên để tính độ dài của $\overrightarrow{\mu }$, ta tính độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$.

Ta có:  ${\left(\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right)}^2={\overrightarrow{{\mu }_1}}^2+2\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}+{\overrightarrow{{\mu }_2}}^2={\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|}^2+2\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}+{\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|}^2$

= 1,62 + 2 . (– 1,28) + 1,62 = 2,56

Suy ra ${\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|}^2={\left(\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right)}^2=2,56\Rightarrow \left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|=1,6$.

Vậy $\left|\overrightarrow{\mu }\right|=\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|=1,6$.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$.

Trả lời:

Bài tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}$;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$.

Trả lời:

Bài tập 3: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Trả lời:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=0°$.

Do đó: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$$=a.b.cos0°=ab$.

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=180°$.

Do đó: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=a.b.cos180°=-ab$.

Bài tập 4: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{O}^2-O{A}^2$.

Trả lời:

Ta có: MA→. MB→ = (MO→ + OA→)(MO→ + OB→)

= MO→2 + MO→(OA→ + OB→) + OA→. OB→ 

= MO→2 + 0⃗  + OA→. OB→ (vì O là trung điểm của AB nên OA→ + OB→ = 0⃗ )

= MO2 + OA.OB.cos180∘ = MO2 - OA2 

Vậy MA→. MB→ = MO2 - OA2

Bài tập 5: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\overrightarrow{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Trả lời:

Bài tập 6: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Trả lời:

Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Theo bài ra ta có: $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=4,\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-6$.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

Suy ra: $cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-6}{3.4}=\frac{-1}{2}$. 

Vậy $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$.