Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Khái niệm vectơ

1. Định nghĩa vectơ

Hoạt động khám phá 1: Trong thông báo: Có một con tàu chở 500 tấn hàng từ cảng A đến cảng B cách nhau 500 km.

Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:

- Khối lượng của hàng: 500 tấn.

- Độ dịch chuyển của tàu: 500 km từ A đến B.

Trả lời:

Sự khác biệt giữa hai đại lượng đã cho là:

- Khối lượng của hàng là đại lượng chỉ có độ lớn vì hàng trên tàu có khối lượng 500 tấn. Ta gọi đại lượng dạng này là đại lượng vô hướng.

- Độ dịch chuyển của tàu là đại lượng bao gồm cả độ lớn và hướng vì con tàu có độ dịch chuyển dài 500 km theo hướng từ A đến B.

Ta gọi đại lượng dạng này là đại lượng có hướng.

Thực hành 1: Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CH},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{HA}$ trong Ví dụ 1.

Trả lời:

• Vectơ CH→ có điểm đầu là C, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng CH.
• Vectơ CB→ có điểm đầu là C, điểm cuối là B và có giá là đường thẳng CB.
• Vectơ HA→ có điểm đầu là H, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng HA.

Ta có: CH = 1; CB = 2 và AH = 3–√ ⇒ |CH→| = 1; |CB→| = 2; |HA→| = 3–√

Thực hành 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , hai đường chéo cắt nhau tại O (Hình 5). Tìm độ dài của các vectơ  $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AO}$.

Trả lời:

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hoạt động khám phá 2: Bạn có nhận xét gì về giá của các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, ${PQ}^{}$ và $\overrightarrow{RS}$ trong Hình 6?

Trả lời:

+ Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là đường thẳng CD.

Quan sát Hình 6 ta thấy hai đường thẳng AB, CD là trùng nhau.

Do đó giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là trùng nhau.

+ Giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$ là đường thẳng PQ, giá của vectơ $\overrightarrow{RS}$ là đường thẳng RS.

Quan sát Hình 6 ta thấy hai đường thẳng PQ và RS song song với nhau.

Do đó giá của hai vectơ $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{RS}$ là song song với nhau.

Thực hành 3: Quan sát Hình 8 và gọi tên các vectơ:

a) Cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$;

b) Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$;

c) Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Trả lời:

a. Cùng phương với vectơ x⃗  là: y⃗ , w⃗ , z⃗ 

b. Cùng hướng với vectơ a⃗  là: b⃗ 

c. Ngược hướng với vectơ u⃗  là: v⃗ 

Thực hành 4: Khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ 

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Trả lời:

3. Vectơ bằng nhau - Vectơ đối nhau

Hoạt động khám phá 3: Cho hình bình hành ABCD (Hình 10), hãy so sánh độ dài và hướng của hai vectơ:

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$;

b) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$.                                                    

Trả lời:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: AB // DC và AB = DC; AD // CB và AD = CB.

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ có giá lần lượt là đường thẳng AB và đường thẳng DC song song với nhau và có cùng hướng đi từ trái sang phải.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Hơn nữa, $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$ (do AB = CD).

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ có giá song song với nhau và có hướng ngược nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng.

Hơn nữa, $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|$ (do AD = CB).

Thực hành 5: Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (Hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{EF}$.

b) Tìm các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{EC}$.

Trả lời:

a. Các vectơ bằng vectơ EF→ là: CD→, DB→.

b. Các vectơ đối của vectơ EC→ là: EA→, CE→, DF→.

4. Vectơ không

Thực hành 6: Tìm độ dài của các vectơ  $\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EE},\overrightarrow{EM},\overrightarrow{MM},\overrightarrow{FF}$ trong Ví dụ 5.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: 

a) Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:

- Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng.

- Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc.

b) Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ?

Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc.

Trả lời:

a) Sự khác biệt giữa hai đại lượng đã cho là:

- Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng, đại lượng này là một đại lượng vô hướng vì nó chỉ số tiền nên nó chỉ có độ lớn.

- Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc, đại lượng này là một đại lượng có hướng vì nó có đề cập đến độ lớn và hướng.

b) Trong các đại lượng đã cho, các đại lượng lực, độ dịch chuyển, vận tốc là các đại lượng có hướng, chúng bao gồm cả độ lớn và hướng nên các đại lượng đó cần được biểu diễn bởi vectơ.

Bài tập 2: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và DC (Hình 15). Điểm M nằm trên đoạn DC.

a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{DM}$.

Trả lời:

a. Các vectơ cùng hướng với vectơ AB→ là: DM→, MC→, DC→.

b. Các vectơ ngược hướng với vectơ DM→ là: MD→, CM→, CD→, BA→.

Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a (Hình 16).

a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Tìm trong hình hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$.

Trả lời:

Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Trả lời:

+) Giả sử ABCD là hình bình hành. Khi đó AB // DC và AB = DC.

Vì AB // DC nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Từ hình vẽ dễ thấy $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Vì AB = DC nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$.

Vậy  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

+) Giả sử  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng và  $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$.

Từ $\overrightarrow{AB}$ và $\left|\overrightarrow{DC}\right|$ cùng hướng suy ra chúng cùng phương, hay AB // DC.

Từ $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$ suy ra AB = DC.

Vậy ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Bài tập 5: Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong Hình 17.

Trả lời:

• Các cặp vectơ cùng hướng với nhau là: a⃗  và b⃗ , u⃗  và v⃗ .
• Các cặp vectơ ngược hướng với nhau là: x⃗  và y⃗ .
• Các cặp vectơ bằng nhau là: u⃗  = v⃗ 
  

Bài tập 6: Gọi O là tâm hình lục giác đều ABCDEF.

a) Tìm các vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$.

b) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Trả lời:

Bài tập 7: Tìm các lực cùng hướng và ngược hướng trong số các lực đẩy được biểu diễn bằng các vectơ trong Hình 18.

Trả lời:

+) Trong Hình 18 a), hai lực đẩy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng (hai lực có giá song song và hai bạn tác động lực lên bàn đẩy về cùng 1 hướng).

+) Trong Hình  18b), hai lực đẩy $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$ ngược hướng (hai lực có giá song song và hai bạn tác động lực lên bàn đẩy ngược hướng nhau).