Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Hàm số và đồ thị

Hoạt động khởi động: Nhiệt độ có mối liên hệ gì với thời gian?

Trả lời:

- Thời gian thay đổi thì nhiệt độ thay đổi.

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

Hoạt động khám phá 1: Bản tin dự báo thời tiết cho biết nhiệt độ ở một số thời điểm trong ngày 01/5/2021 tại Thành phố Hồ Chí Minh đã được ghi lại thành bảng kèm với biểu đồ bên.

Sử dụng bảng hoặc biểu đồ, hãy:

a) Viết tập hợp các mốc giờ đã có dự báo nhiệt độ.

b) Viết tập hợp các số đo nhiệt độ đã dự báo.

c) Cho biết nhiệt độ dự báo tại Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc 7 giờ sáng ngày 01/5/2021

Trả lời:

Thực hành 1: Một thiết bị đã ghi lại vận tốc v (mét/giây) ở thời điểm t (giây) của một vật chuyển động như trong bảng sau:

Vì sao bảng này biểu thị một hàm số ? Tìm tập xác định của hàm số này.

Trả lời:

Dựa vào bảng ta thấy, với mỗi một mốc thời gian (t) ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của vận tốc (v). Do đó v là hàm số của t.

Tập xác định của hàm số là: D = {0,5; 1; 1,2; 1,8; 2,5}.

Thực hành 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) f(x) =  $\sqrt{2x+7}$

b) f(x) = $\frac{x+4}{x^2-3x+2}$

Trả lời:

a. Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi 2x + 7 ≥ 0 <=> x ≥ −72

Vậy tập xác định của hàm số này là D = [−72; +∞)

b. Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi x^{2} - 3x + 2 ≠ 0 <=> (x - 1)(x - 2) ≠ 0 <=> x ≠ 1 và x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số này là D = R\{1; 2}

Vận dụng: Ở góc của miếng đất hình chữ nhật, người ta làm một bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn với bán kính r (Hình 2). Bán kính bồn hoa có kích thước từ 0,5m đến 3m.

a) Viết công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r và tìm tập xác định của hàm số này.

b) Bán kính bồn hoa bằng bao nhiêu thì nó có diện tích là $0,5\pi m^2$  ?

Trả lời:

a) Vì bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn nên diện tích bồn hoa là: $S=\frac{\pi r^2}{4}\left(m^2\right)$

Do đó ta được công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r là:

$S=\frac{\pi r^2}{4}$ với 0,5 ≤ r ≤ 3.

Khi đó, tập xác định của hàm số là D = [0,5; 3].

Vậy công thức hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo r là $S=\frac{\pi r^2}{4}$ với D = [0,5; 3].

b) Thay S = 0,5π vào biểu công thức hàm số trên, ta được:

$0,5\pi =\frac{\pi r^2}{4}\iff r^2=2\iff [\begin{array}{c}r=\sqrt{2}\\ r=-\sqrt{2}\end{array}$

Mà r ∈ D nên  $r=\sqrt{2}$ (thỏa mãn) và $r=-\sqrt{2}$ (không thỏa mãn).

Vậy với $r=\sqrt{2}$  m thì bồn hoa có diện tích là 0,5π m2.

2. Đồ thị hàm số

Hoạt động khám phá 2: Xét hàm số f(x) cho bởi bảng sau:

a) Tìm tập xác định D của hàm số trên.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ tất cả các điểm có tọa độ (x; y) với x ∈ D và y = f(x).

Trả lời:

a. Tập xác định của hàm số là D = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}

b. 

Thực hành 3: Vẽ đồ thị hàm số f(x) = 3x + 8

Trả lời:

Hàm số y = f(x) = 3x + 8 có tập xác định D = ℝ

Với x = 0 thì y = f(0) = 3.0 + 8 = 8, ta được điểm A(0; 8).

Với x = -1 thì y = f(-1) = 3.(-1) + 8 = 5, ta được điểm B(-1; 5).

Đồ thị hàm số f(x) = 3x + 8 là đường thẳng đi qua các điểm A(0; 8) và B(-1;5).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Hoạt động khám phá 3: Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) = $x^2$ rồi so sánh f(x1) và f(x2) (với x1 < x2) trong từng trường hợp sau:

Trả lời:

Thực hành 4:

a) Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số có đồ thị sau:

b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 5x2 trên khoảng (2; 5).

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là D = [-3; 7].

Quan sát trên đồ thị hàm số, ta thấy:

Trên khoảng (-3; 1) đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1).

Trên khoảng (1; 3) đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Trên khoảng (3; 7) đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (3; 7).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1) và (3; 7); nghịch biến trên khoảng (1; 3).

b) Hàm số y = f(x) = 5x2 xác định trên ℝ nên hàm số xác định trên khoảng (2; 5).

Lấy x1, x2 ∈ (2; 5) thỏa mãn x1 < x2, ta có:

f(x1) – f(x2) = 5x12 – 5x22 = 5(x12 – x22) = 5(x1 – x2)(x1 + x2) .

Vì x1, x2 ∈ (2; 5) nên x1 + x2 > 0 và vì  x1 < x2  nên x1 – x2 < 0

Do đó 5(x1 – x2)(x1 + x2) < 0 suy ra f(x1) – f(x2) < 0 hay f(x1) < f(x2).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; 5).

Bài tập

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) f(x) = $\sqrt{-5x+3}$;

b) f(x) = $2+\frac{1}{x+3}$ ;

Trả lời:

a. Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi -5x + 3 ≥ 0 <=> x ≤ 35

Vậy tập xác định của hàm số là D = (-∞; 35)

b. Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi x + 3 ≠ <=> x ≠ -3

Vậy tập xác định của hàm số là D = R\{-3}

Bài tập 2: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số có đồ thị như Hình 10.

Trả lời:

Bài tập 3: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) f(x) = -5x + 2

b) f(x) = $-x^2$

Trả lời:

a)

Tập xác định D = ℝ

Lấy x1 , x2 là hai số thực tùy ý thỏa mãn x1 < x2, ta có:

f(x1) – f(x2) = (-5x1 + 2) –  (-5x2 + 2) = -5x1 + 2 + 5x2 – 2 =  -5x1 + 5x2 = 5(x2 – x1)

Vì x1 < x2 ⇒ 5(x2 – x1) > 0 ⇒ f(x1) – f(x2) > 0 hay f(x1) > f(x2).

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên  ℝ

b)

Tập xác định D = ℝ

Lấy x1 , x2 là hai số thực tùy ý thỏa mãn x1 < x2, ta có:

f(x1) – f(x2) = - x12 – (-x22) = x22 - x12 =  (x2 – x1)(x2 + x1)

+) Với x1, x2 ∈ (-∞; 0) và x1 < x2, khi đó: x1 + x2 < 0 và x2 – x1 > 0

Do đó, f(x1) – f(x2) < 0 ⇒ f(x1) < f(x2),, nên hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

+) Với x1,  x2 ∈ (-∞; 0) và x1 < x2, khi đó: x1 + x2 > 0 và x2 – x1 > 0

Do đó, f(x1) – f(x2) > 0 ⇒ f(x1) > f(x2) nên hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Vậy hàm số f(x) = -x2 đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Bài tập 4: Vẽ đồ thị hàm số f(x) = |x|, biết rằng hàm số này còn được viết như sau:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}xkhix\ge 0\\ -xkhix<0\end{array}$

Trả lời:

Với x ≥ 0, đồ thị hàm số y = x là phần đường thẳng đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và A(2; 2) nằm phía bên phải trục tung.

Với x < 0, đồ thị hàm số y = -x là phần đường thẳng đi qua hai điểm B(-2; 2) và C(-4; 4) nằm phía bên trái trục tung.

Bài tập 5: Tìm tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị hàm số:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-1khix<0\\ 1khix>0\end{array}$

Trả lời:

Với x = 0 thì f(x) không xác định. Do đó, tập xác định của hàm số là $D=R\backslash \text{{}0\}$

Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số thì giá trị của f(x) chỉ có 1 và  - 1.

Do đó tập giá trị của hàm số là {-1; 1}.

Với x = -4 < 0 thì f(-4) = -1;

Với x = -2 < 0 thì f(-2) = -1;

Với x = -1 < 0 thì f(-1) = -1;

Với x = $-\frac{1}{2}$  < 0 thì $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ = -1;

Với x = $\frac{1}{2}$  > 0 thì $f\left(\frac{1}{2}\right)$ = 1;

Với x = 1 > 0 thì f(1) = 1;

Với x = 2 > 0 thì f(2) = 1;

Với x = 4 > 0 thì f(4) = 1.

Đồ thị hàm số gồm hai phần đường thẳng, một đường thẳng đi qua các điểm các điểm (-4; -1), (-2; -1), (-1; -1), $\left(-\frac{1}{2};-1\right)$, một đường thẳng đi qua các điểm $\left(\frac{1}{2};1\right)$; (1; 1), (2; 1), (4; 1). Ta có đồ thị hàm số f(x) như sau:

Bài tập 6: Một hãng taxi có bảng giá như sau:

a) Xem số tiền đi taxi là một hàm số phụ thuộc số kilômét di chuyển, hãy viết công thức của các hàm số dựa trên thông tin từ bảng giá đã cho theo từng yêu cầu:

i) Hàm số f(x) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển x km bằng xe taxi 4 chỗ.

ii) Hàm số g(x) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển x km bằng xe taxi 7 chỗ.

b) Nếu cần đặt xe taxi cho 30 hành khách, nên đặt toàn bộ xe 4 chỗ hay xe 7 chỗ thì có lợi hơn ?

Trả lời:

a)

i) Khi di chuyển bằng xe taxi 4 chỗ:

Nếu x ≤ 0,5 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000x (nghìn đồng).

Nếu 0,5 < x < 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 14 500(x – 0,5) = 14 500x – 1 750 (nghìn đồng).

Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 14 500(31 – 0,5) + 11 600(x – 31) = 11 600x + 88 150 (nghìn đồng).

Vậy hàm số f(x) được xác định như sau:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}11000xkhix\le 0,5\\ 14500x-1750khi0<x<31\\ 11600x+88150khix\ge 31\end{array}$

ii) Khi di chuyển bằng xe taxi 7 chỗ:

Nếu x ≤ 0,5 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000x (nghìn đồng).

Nếu 0,5 < x < 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 15 500(x – 0,5) = 15 500x – 2 250 (nghìn đồng).

Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 15 500(31 – 0,5) + 13 600(x – 31) = 13 600x + 56 650 (nghìn đồng).

Vậy hàm số g(x) được xác định như sau:

$g\left(x\right)=\{\begin{array}{c}11000xkhix\le 0,5\\ 15500x-2250khi0<x<31\\ 13600x+56650khix\ge 31\end{array}$

b) Có tất cả 30 hành khách nếu đặt xe 4 chỗ thì cần 8 xe, còn nếu đặt xe 7 chỗ thì cần 5 xe.

Với x ≤ 0,5, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.11 000x = 88 000x (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.11 000x = 55 000x (nghìn đồng).

Vì 55 000 < 88 000 nên 55 000x < 88 000x.

Do đó nếu quãng đường di chuyển nhỏ hơn 0,5km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Với 0,5 < x < 31, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(14 500x – 1 750) = 116 000x – 14 000 (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(15 500x – 2 250) = 77 500x – 11 250 (nghìn đồng).

Ta có: 44 000 < 116 000x – 14 000 < 3 582 000 và 27 500 < 77 500x – 11 250 < 2 391 250.

Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn 0,5km và nhỏ hơn 31km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Với x ≥ 31, ta có:

 Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(11 600x + 88 150) = 92 800x + 705 200 (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(13 600x + 56 650) = 68 000x + 183 250 (nghìn đồng).

Ta có: 92 800x + 705 200 ≥ 68 000x + 183 250 .

Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn 0,5km và nhỏ hơn 31km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Vậy nếu đặt xe taxi cho 30 hành khách thì nên đặt toàn bộ xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Bài tập 7: Đố vui.

Số 2 đã trải qua hành trình thú vị và bị biến đổi sau khi đi qua chiếc hộp đen.

Bác thợ máy đã giải mã hộp đen cho một số x bất kì như sau:

Bên trong hộp đen là một đoạn chương trình được cài đặt sẵn. Ta xem đoạn chương trình này như một hàm số f(x). Hãy viết biểu thức của f(x) để mô tả sự biến đổi đã tác động lên x.

Trả lời: