Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương III

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = 4x2 – 1;

b) $y=\frac{1}{x^2+1};$

c) $y=2+\frac{1}{x}.$

Trả lời:

Bài tập 2: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau đây là một hàm số bậc hai:

a) y = (1 – 3m)x2 + 3;

b) y = (4m – 1)(x – 7)2;

c) y = 2(x2 + 1) + 11 – m.

Trả lời:

a. y = (1 - 3m)x2 + 3

Để hàm số trên là hàm số bậc hai ⇔ 1 - 3m ≠ 0 ⇔ m ≠ 13 

Vậy m ≠ 13 

b. y = (4m - 1)(x−7)2 = (4m - 1)(x2 - 14x + 49) = (4m - 1)x2 - (56m - 14)x + 49(m - 1)

Để hàm số trên là hàm số bậc hai ⇔ 4m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 14 

c. y = 2(x2 + 1) + 11 - m = 2x2 + 13 - m

Để hàm số trên là hàm số bậc hai ⇔ 2 ≠ 0 (luôn đúng)

Vậy hàm số trên là hàm số bậc hai ∀ m ∈R.

Bài tập 3: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = x2 – 4x + 3;

b) y = - x2 – 4x + 5;

c) y = x2 – 4x + 5;

d) y = -x2 – 2x – 1.

Trả lời:

a) y = x2 – 4x + 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x2 – 4x + 3 là một parabol (P1):

- Có đỉnh S với hoành độ xS = 2, tung độ yS = -1;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ngoài ra, phương trình x2 – 4x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (3; 0).

Ta có đồ thị sau:

b) y = - x2 – 4x + 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = – x2 – 4x + 5 là một parabol:

- Có đỉnh S với hoành độ xS = -2, tung độ yS = 9;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ngoài ra, phương trình – x2 – 4x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = -5 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (-5; 0).

Ta có đồ thị sau:

c) y = x2 – 4x + 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x2 – 4x + 5 là một parabol:

- Có đỉnh S với hoành độ xS = 2, tung độ yS = 1;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ngoài ra, phương trình x2 – 4x + 5 = 0 vô nghiệm nên đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Ta có đồ thị sau:

d) y = -x2 – 2x – 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = -x2 – 2x – 1 là một parabol:

- Có đỉnh S với hoành độ xS = -1, tung độ yS = 0;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Ngoài ra, phương trình -x2 – 2x – 1 = 0 có nghiệm x = - 1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (-1; 0).

Bài tập 4: Một vận động viên chạy xe đạp trong 1 giờ 30 phút đầu với vận tốc trung bình là 42km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ 15 phút và tiếp tục đạp xe 2 giờ liền với vận tốc 30km/h.

a) Hãy biểu thị quãng đường s (tính bằng ki lô mét) mà người này đi được sau t phút bằng một hàm số.

b) Vẽ đồ thị biểu diễn hàm số s theo t.

Trả lời:

a. Ta có: t1 = 1 giờ 30 phút = 90 phút; v1 = 42km/h = 0,7 km/phút

              t2 = 15 phút; v2 = 0

              t3 = 2 giờ = 120 phút; v3 = 30km/h = 0,5 km/phút

Hàm số biểu thị quãng đường s (tính bằng kilomet) mà người này đi được sau t phút là:

b. Đồ thị hàm số S(t):

Bài tập 5: Biết rằng hàm số y = 2x2 + mx + n giảm trên khoảng (-∞; 1), tăng trên khoảng (1; + ∞) và có tập giá trị là [9; +∞). Xác định giá trị của m và n.

Trả lời:

Ta có giảm trên khoảng (-∞; 1), tăng trên khoảng (1; + ∞) và có tập giá trị là [9; +∞) nên điểm đỉnh S có tọa độ (1; 9).

Do đó xS = $-\frac{b}{2a}=1\iff -\frac{m}{2.2}=1\iff m=-4$

Và yS = 2.12 + m.1 + n = 9 ⇔ 2 + (-4) + n = 9 ⇔ n = 11.

Vậy với m= -4 và n = 11 thì hàm số đã cho thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài tập 6: Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm. Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn vả nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước).

Chiếc cầu trong Hình 1 có bộ phận chống đỡ dạng parabol. Một người thực hiện một cú nhảy bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn. Người này cần trang bị sợi dây an toàn dài bao nhiêu mét? Biết rằng chiều dài của sợi dây đó bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước.

Trả lời:

Bài tập 7: Giả sử một máy bay cứu trợ đang bay theo phương ngang và bắt đầu thả hàng từ độ cao 80m, lúc đó máy bay đang bay với vận tốc 50m/s. Để thùng hàng hỗ trợ rơi trúng vị trí được chọn, máy bay cần thả hàng ở vị trí nào? Biết rằng nếu chọn gốc tọa độ là hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả, thì tọa độ của hàng cứu trợ được cho bởi hệ sau:

$\{\begin{array}{c}x=v_{0}t\\ y=h-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$

Trong đó, v0 là vận tốc ban đầu và h là độ cao tính từ khi hàng rời máy bay.

Lưu ý: Chuyển động này được xem là chuyển động ném ngang.

Trả lời:

Gọi A là vị trí bắt đầu thả hàng, C là vị trí được chọn để nhận thùng hàng hỗ trợ.

Ta có O là hình chiếu của A trên mặt đất nên ta có hình vẽ sau:

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}_C=v_{0}t\\ y_C=h-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$ với h = 80m, g = 9,8m/s2, v0 = 50m/s.

Do C ở mặt đất nên tung độ của C là yC = 0. Khi đó ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}_C=50.t\\ 0=80-\frac{1}{2}.9,8.t^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_C=50.t\\ 0=80-\frac{1}{2}.9,8.t^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_C\approx 202,03\\ t=\frac{20\sqrt{2}}{7}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_C\approx 202,03\\ y_C=0\end{array}$

Vậy vị trí được chọn để nhận thùng hàng hỗ trợ có tọa độ là (202,03; 0).