Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Hoạt động khởi động: Sau khi đã thu thập dữ liệu về lượng nước sinh hoạt trong một tháng của từng hộ gia đình ở hai khu vực dân cư, bác Vinh muốn đánh giá xem hộ gia đình ở khu vực nào dùng hết nhiều nước sinh hoạt hơn. Theo bạn bác Vinh nên làm thế nào?

Trả lời:

- Để so sánh hai số liệu đã cho thì ta sẽ sử dụng số trung bình cộng để đánh giá xem hộ gia đình ở khu vực nào dùng hết nhiều nước sinh hoạt hơn.

1. Số trung bình

Hoạt động khám phá 1: Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10, còn các bạn Tổ 2 là 10; 6; 9; 9; 8; 9. Theo em, tổ nào có kết quả kiểm tra tốt hơn? Tại sao?

Trả lời:

Vận dụng 1: Thời gian chạy 100 mét (đơn vị: giây) của các bạn học sinh ở hai nhóm A và B được ghi lại ở bảng sau:

Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?

Trả lời:

• Số giây trung bình nhóm A chạy được là: 18(12,2 + 13,5 + 12,7 + 13,1 + 12,5 + 12,9 + 13,2 + 12,8) = 12,8625 (s)
• Số giây trung bình nhóm B chạy được là: 15(12,1 + 13,4 + 13,2 + 12,9 + 13,7) = 13,06 (s)

=> Vậy nhóm A có thành tích chạy tốt hơn.

Vận dụng 2: Số bàn thắng mà một đội bóng ghi được ở mỗi trận đấu trong một mùa giải được thống kê lại ở bảng sau:

Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.

Trả lời:

Bảng số liệu trên được cho dưới dạng bảng tần số.

Số trận đấu trong toàn mùa giải hay chính là cỡ mẫu là:

n = 5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26 (trận)

Số bàn thắng trung bình của đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải là:

$\overline{x}=\frac{5.0+10.1+5.2+3.3+2.4+1.6}{26}\approx 1,65$

2. Trung vị và tứ phân vị

Hoạt động khám phá 2: Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?

b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Trả lời:

Thực hành 1: Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2 trang 114.

Trả lời:

Sắp xếp số giây các bạn nhóm A chạy được theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 

12,2; 12,5; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,2; 13,5

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên. Vậy Me = 12(12,8 + 12,9) = 12,85

Sắp xếp số giây các bạn nhóm A chạy được theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 12,1; 12,9; 13,2; 13,4; 13,7.

Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên. Vậy Me = 13,2.

Cỡ mẫu bằng 26. Khi sắp xếp số bàn thắng theo thứ tự không giảm thì số liệu thứ 13 và 14 là 1; 1. Vậy Me = 12(1+1) = 1.

Hoạt động khám phá 3: Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Trả lời:

Các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên là tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

+ Vì cỡ mẫu là 20, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = $\frac{1}{2}\left(58+59\right)=58,5$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.

Do đó, Q1 = $\frac{1}{2}\left(54+56\right)=55$.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

Do đó, Q3 = $\frac{1}{2}\left(64+65\right)=64,5$.

Vậy các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên là: 55 kg; 58,5 kg; 64,5 kg.

Thực hành 2: Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.

b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.

Trả lời:

3. Mốt

Hoạt động khám phá 4: Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày 14 tháng 2 theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:

Cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?

Trả lời:

- Quan sát bảng tần số, ta thấy loại hoa hồng nhung có tần số lớn nhất (230), nghĩa là số bông hoa hồng loại này bán được nhiều nhất trong ngày 14 tháng 2. Do vậy, cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nhung nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo.

Thực hành 3: Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ 1 trong Hoạt động khám phá 1 trang 112.

Trả lời:

- Mẫu số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ 1 có Mo = 6; 10.

Bài tập

Bài tập 1: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a) 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

b) 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

Trả lời:

a) Cỡ mẫu là n = 8.

Số trung bình: $\overline{x}=\frac{23+41+71+29+48+45+72+41}{8}=46,25$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

23; 29; 41; 41; 45; 48; 71; 72.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = $\frac{1}{2}\left(41+45\right)=43$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 23; 29; 41; 41. Do đó, Q1 = $\frac{1}{2}\left(29+41\right)=35$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 45; 48; 71; 72. Do đó, Q3 = $\frac{1}{2}\left(48+71\right)=59,5$.

Giá trị 41 có tần số lớn nhất (là 2), nên mốt của mẫu là Mo = 41.

b) Cỡ mẫu là n = 9.

Số trung bình là: $\overline{x}=\frac{12+32+93+78+24+12+54+66+78}{9}\approx 49,9$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

12; 12; 24; 32; 54; 66; 78; 78; 93.

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 54.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 12; 12; 24; 32. Do đó, Q1 = $\frac{1}{2}\left(12+24\right)=18$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 66; 78; 78; 93. Do đó, Q3 = $\frac{1}{2}\left(78+78\right)=78$.

Các giá trị 12 và 78 đều có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là 12 và 78.

Bài tập 2: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a)

b)

Trả lời:

a. Số trung bình của mấu là: x¯ = 137(23 + 25 + 28 + 31 + 33 + 37) ≈ 4,78.

Cỡ mẫu là n = 37 là một số lẻ. Khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm thì số liệu thứ 19 là 28. Do đó, giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = 28.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu:

Cỡ mẫu là 18, là một số chẵn. Số liệu thứ 9 và 10 lần lượt là 25; 25. Do đó, giá trị tứ phân vị thứ nhất là Q1 = 12(25 + 25) = 25. 

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu:

Cỡ mẫu là 18, là một số chẵn. Số liệu thứ 9 và 10 lần lượt là 31; 31. Do đó, giá trị tứ phân vị thứ ba là Q3 = 12(31 + 31) = 31.

Tần số của giá trị 28 là 10, lớn hơn tần số của các giá trị còn lại nên mẫu số liệu trên có M0 = 28.

b. Số trung bình của mẫu là: x¯ = 0+2+4+50,6+0,2+0,1+0,1 = 11

Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = 12(0 + 0) = 0

Giá trị tứ phân vị thứ nhất là Q1 = 0

Giá trị tứ phân vị thứ ba là Q3 = 2

Tần số tương đối của giá trị 0 là 0,6, lớn hơn tần số tương đối của các giá trị còn lại nên mẫu số liệu trên có Mo = 0

Bài tập 3: An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Trả lời:

Cỡ mẫu là n = 100.

Số trung bình là: $\overline{x}=\frac{10.0+30.1+40.2+20.3}{100}=1,7$.

Số lần lấy được 2 bóng đỏ là nhiều nhất (40 lần) nên mốt của mẫu số liệu là Mo = 2.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = $\frac{1}{2}\left(2+2\right)=2$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2. Do đó Q1 = 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3. Do đó Q3 = 2.

Bài tập 4: Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Trả lời:

a. Thời gian thi nghề trung bình của các thí sinh trên là: 112(5 + 6 + 7 + 8 + 35) ≈ 5,08.

Cỡ mẫu n = 12, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = 12(7 + 7) = 7.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 5; 6; 6; 6; 7; 7. Do đó Q1 = 12(6 + 6) = 6.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 7; 7; 8; 8; 35. Do đó Q3 = 12(7 + 8) = 7,5.

Số thí sinh thi 7 phút là 5 học sinh, nhiều hơn số thí sinh có thời gian hoàn thành bài thi trong 5, 6, 8 và 35 phút nên mẫu trên có Mo = 7.

b. Vì thời gian thi trung bình của năm nay (5,08 phút) nhỏ hơn thời gian thi trung bình của năm ngoái (7 phút) nên thời gian thi nói chung của các thí sinh năm nay ít hơn so với năm trước.

Bài tập 5: Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số cuộc điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

c) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

d) Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc gọi điện thoại hơn mỗi ngày?

Trả lời:

b) Do 3,9 > 3,4 nên theo số trung bình thì bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn.

c) Do 3,5 > 2 nên theo số trung vị thì bác Dũng có nhiều cuộc điện thoại hơn.

d) Vì trong mẫu số liệu có một ngày bác Thu có tới 20 cuộc điện thoại, lớn hơn nhiều so với các ngày khác, do đó ta nên so sánh theo số trung vị.

Bài tập 6: Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đạt được trong 20 kì thi được cho ở bảng sau:

Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không?

Trả lời:

+ Trong giai đoạn từ năm 2001 đến năm 2010:

Cỡ mẫu là n1 = 10.

Số trung bình: $\overline{x_1}=\frac{139+166+172+196+143+131+168+159+161+133}{10}=156,8$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

131; 133; 139; 143; 159; 161; 166; 168; 172; 196.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên số trung vị là $\frac{1}{2}\left(159+161\right)=160$.

+ Trong giai đoạn từ năm 2011 đến năm 2020:

Cỡ mẫu là n2 = 10.

Số trung bình: $\overline{x_2}=\frac{113+148+180+157+151+151+155+148+177+150}{10}=153$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

113; 148; 148; 150; 151; 151; 155; 157; 177; 180.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên số trung vị là $\frac{1}{2}\left(151+151\right)=151$.

+ Nếu dựa theo số trung bình, ta có: 156,8 > 153 nên điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020.

+ Nếu dựa theo số trung vị, ta có: 160 > 151 nên điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020.

Vậy dựa vào cả số trung vị và số trung bình, ta thấy rằng ý kiến đã cho đúng.

Bài tập 7: Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.

a) Hãy lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.

b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Trả lời:

a. Bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp

b. Điểm số trung bình của lớp 10A là: 5.1+6.4+7.5+8.8+9.14+10.81+4+5+8+14+8 = 8,35

Điểm số trung bình của lớp 10B là: 5.4+6.6+7.10+8.10+8.6+10.44+6+10+10+6+4 = 7,5

Điểm số trung bình của lớp 10C là: 5.1+6.3+7.17+8.11+9.6+10.21+3+17+11+6+2 = 7,6

⇒ Dựa vào số trung bình, điểm số của các học sinh lớp 10A là cao nhất, lớp 10B là thấp nhất.

Xét điểm số lớp 10A: Cỡ mẫu n = 40. Khi sắp xếp điểm số theo thứ tự không giảm thì số liệu thứ 20, 21 của dãy đều là 9. Do đó, trung vị của dãy là Me = 9

Xét điểm số lớp 10B: Cỡ mẫu n = 40. Khi sắp xếp điểm số theo thứ tự không giảm thì số liệu thứ 20, 21 của dãy lần lượt là 7, 8. Do đó, trung vị của dãy là Me = 12(7 + 8) = 7,5

Xét điểm số lớp 10C: Cỡ mẫu n = 40. Khi sắp xếp điểm số theo thứ tự không giảm thì số liệu thứ 20, 21 của dãy đều là 7 . Do đó, trung vị của dãy là Me = 7

⇒ Dựa vào trung vị, điểm số của các học sinh lớp 10A là cao nhất, lớp 10C là thấp nhất.

Xét lớp 10A: số học sinh có điểm 9 là 14, cao nhất so với các điểm còn lại nên Mo = 9

Xét lớp 10B: số học sinh có điểm 7, 8 là 10, cao nhất so với các điểm còn lại nên Mo = 7, 8

Xét lớp 10C: số học sinh có điểm 7 là 17, cao nhất so với các điểm còn lại nên Mo = 7

⇒ Dựa vào mốt, điểm số của các học sinh lớp 10A là cao nhất, lớp 10C là thấp nhất.