Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Định lí cosin và định lí sin

Hoạt động khởi động: Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Trả lời:

1. Định lí cosin trong tam giác

Hoạt động khám phá 1:

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và $\hat{C}\ge \hat{B}$. Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a2 =  b2 +  c2 –  2bccosA theo gợi ý sau:

Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (c – x)2 = d2 + x2 + c2 – 2xc. (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 – x2                 (2)

cosA =  $\frac{?}{b}$⇒ ? = bcosA.                                              (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a2 =  b2 +  c2 – 2bccosA.

Lưu ý : Nếu  $\hat{B}>\hat{C}$ thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

a2 =  b2 +  c2  – 2bccosA.

Lưu ý: Vì A tù nên cosA = $-\frac{x}{b}$

c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức a2 =  b2 +  c2 – 2bccosA có thể viết là a2 =  b2 +  c2.

Trả lời:

a)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: cosA =  $\frac{AD}{AC}=\frac{x}{b}$⇒ x = bcosA.

Vậy lời giải đúng:

Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (c – x)2 = d2 + x2 + c2 – 2xc. (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 –  x2                (2)

cosA = $\frac{x}{b}$ ⇒ x = bcosA.                                                                     (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : a2 =  b2 +  c2 –  2bccosA.

b)  Với tam giác ABC có góc A tù :

Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (x + c)2 = d2 + x2 + c2 + 2xc. (4)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 –  x2                (5)

cos ${\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}$ =  $\frac{AD}{AC}=\frac{x}{b}$. Do $CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD+{\mathrm{CAB^\backslash widehat\{CAB\}CAB}}^{}={180}^o\Rightarrow {\mathrm{CAB^\backslash widehat\{CAB\}CAB}}^{}={180}^o-{\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}$.

Suy ra: cos ${\mathrm{CAB^\backslash widehat\{CAB\}CAB}}^{}$  = cos $({180}^o-{\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{})$ = – cos $\widehat{CAD}$ =  $-\frac{x}{b}$

⇒ cos${\mathrm{CAB^\backslash widehat\{CAB\}CAB}}^{}$ = $-\frac{x}{b}$    

⇒ x = – bcos ${\mathrm{CAB^\backslash widehat\{CAB\}CAB}}^{}$, tức là x = – bcosA                                                 (6)

Thay (5) và (6) vào (4), ta được : a2 =  b2 +  c2 – 2bccosA.

Vậy với tam giác ABC có góc A tù ta cũng có : a2 =  b2 +  c2  – 2bccosA.

c) Với tam giác ABC vuông tại A thì cosA = cos90° = 0.

Suy ra a2 =  b2 +  c2 – 2bccosA = b2 +  c2 – 2bc.0 = b2 +  c2. 

Vậy a2 =  b2 +  c2.

Thực hành 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4.

Trả lời:

Theo định lí côsin, ta có:

BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosA = 142+182−2.14.18.cos62∘ ≈ 283,39

Vậy BC ≈  283,39−−−−−−√≈ 16,83

Vận dụng 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70° (Hình 5).

Trả lời:

2. Định lí sin trong tam giác

Hoạt động khám phá 2:

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i) Tính sin${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}$  theo a và R.

ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}$ và ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}$. Từ đó chứng minh rằng 2R = $\frac{a}{\sin A}$.

b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R = $\frac{a}{\sin A}$.

Trả lời:

b. Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính BC2 ⇒ 2R = a (1)

Ta có: sinA = sin90∘ = 1 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2R = asinA

Thực hành 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Trả lời:

Trong tam giác MNP ta có :

$\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}={180}^o\Rightarrow \hat{P}={180}^o-(\hat{M}+\hat{N})={180}^o-({34}^o+{112}^o)={34}^o$

Suy ra  $\hat{M}=\hat{P}={34}^o$nên tam giác MNP cân tại N.

Do đó MN = NP = 22.

Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP ta có : $\frac{MP}{\sin N}=\frac{NP}{\sin M}=\frac{MN}{\sin P}$.

Suy ra $\frac{MP}{\sin {112}^o}=\frac{22}{\sin {34}^o}\Rightarrow MP=\frac{22.\sin {112}^o}{\sin {34}^o}\approx 36,5$.

Vậy các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP là :  $\hat{P}={34}^o$; MN = 22 ; MP ≈ 36,5.

Vận dụng 2: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn ?

Trả lời:

Đặt tên các vị trí bằng các điểm như hình vẽ sau :

Để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn gần vị trí đám cháy hơn.Vì vậy, ta cần so sánh BC và DC.

Xét tam giác ADC có:

${\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}+{\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{}+\stackrel{}{}{\mathrm{ACD^\backslash widehat\{ACD\}ACD\; =\; 180}}^o\Rightarrow {\mathrm{ACD^\backslash widehat\{ACD\}ACD}}^{}={180}^o-({\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}+{\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{})={180}^o-({35}^o+{125}^o)={20}^o$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADC ta có :

$\frac{DC}{\sin \widehat{CAD}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ADC}}=\frac{AD}{\sin \widehat{ACD}}\Rightarrow \frac{DC}{\sin {35}^o}=\frac{AC}{\sin {125}^o}=\frac{900}{\sin {20}^o}$

⇒ AC = $\frac{900.\sin {125}^o}{\sin {20}^o}$≈ 2 156 m; DC = $\frac{900.\sin {35}^o}{\sin {20}^o}$ ≈ 1 509 m.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos  

= 1 8002 + 2 1562 – 2. 1800. 2156 .cos34° ≈ 1 453 678.

⇒ BC ≈ 1 206 m.

Từ DC ≈ 1 509 m và BC ≈ 1 206 m suy ra DC > BC.

Vậy để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn B.

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Hoạt động khám phá 3: Cho tam giác ABC như Hình 10.

a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và ha.

b) Tính ha theo b và sinC.

c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ .

d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức  $S=\frac{abc}{4R}$.

Trả lời:

Hoạt động khám phá 4: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.

b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{r(a+b+c)}{2}$

Trả lời:

a. SIBC = 12. r. a;    SIAC = 12. r. b;   SIAB = 12. r. c

b. SABC = SIBC + SIAC + SIAB = 12. r. a + 12. r. b + 12. r. c 

⇒ S = r(a+b+c)2 (đpcm)

Thực hành 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và $\hat{A}={60}^o$ .

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Trả lời:

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.14.35}\sin {60}^o=\frac{1}{2}\mathrm{.14.35.}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{245\sqrt{3}}{2}\approx 212,2$

Vậy diện tích tam giác ABC là  212,2 (đơn vị diện tích).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bccosA = 142 + 352 – 2.14.35.cos60° = 931

⇒ $a=\sqrt{931}$

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{\sqrt{931}}{2.\sin {60}^o}\approx 17,6$

Vậy diện tích tam giác ABC là  212,2 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 17,6 (đơn vị độ dài).

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là :  $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+5+3}{2}=6$.

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là :

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6(6-4)(6-5)(6-3)}=\sqrt{36}=6$

Mặt khác $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{4.5.3}}{4.6}=2,5$ .

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2,5 (đơn vị độ dài).

Vận dụng 3: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48° và 105° (Hình 12).

Trả lời:

Đặt tên cho các đỉnh của tam giác tạo bởi cánh buồm như hình vẽ :

Tam giác ABC có :

 $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o\Rightarrow \hat{B}={180}^o-(\hat{A}+\hat{C})={180}^o-({48}^o+{105}^o)={27}^o$

Áp dụng định lí sin, ta có : $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{BC}{\sin {48}^o}=\frac{3,2}{\sin {27}^o}=\frac{AB}{\sin {105}^o}$

Từ $\frac{BC}{\sin {48}^o}=\frac{3,2}{\sin {27}^o}\Rightarrow BC=\frac{3,2\sin {48}^o}{\sin {27}^o}\approx 5,2$ (m).

Từ  $\frac{AB}{\sin {105}^o}=\frac{3,2}{\sin {27}^o}\Rightarrow AB=\frac{3,2\sin {105}^o}{\sin {27}^o}\approx 6,8$ (m).

Nửa chu vi của tam giác ABC là :  $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{6,8+3,2+5,2}{2}=7,6$ (m).

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là :

$S=\sqrt{7,6.(7,6-6,8)(7,6-3,2)(7,6-5,2)}\approx 8$

Vậy diện tích cánh buồm khoảng 8 (m2).

Bài tập

Bài tập 1: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau :

Trả lời:

Bài tập 2: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.

Trả lời:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có :

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow \frac{c}{\sin {105}^o}=\frac{12}{\sin {35}^o}\Rightarrow c=\frac{12\sin {105}^o}{\sin {35}^o}\approx 20,21$

Vậy c ≈ 20,21.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\hat{B}={79}^o,\hat{C}={61}^o$. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Trả lời:

Ta có: Aˆ=180∘−Bˆ−Cˆ=180∘−79∘−61∘=40∘

Áp dụng định lí sin, ta có: asinA = bsinB = csinC = 2R

Suy ra:

b = a.sinBsinA = 152.sin79∘sin40∘ ≈ 232.1

c = a.sinCsinA = 152.sin61∘sin40∘ ≈ 206,8

R = a2sinA = 1522sin40 ≈ 118,2 

Bài tập 4: Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Trả lời:

Bài tập 5: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.

Trả lời:

Đặt tên các đỉnh của lá cờ hình tam giác như sau:

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 90 cm, $\hat{A}={35}^o$

Áp dụng công thức tính diện tích ta có diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.90.90.}\sin {35}^o\approx 2\text{323}$ (cm2).

Vậy diện tích của lá cờ khoảng  2 323 cm2.

Bài tập 6: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\hat{A}={60}^o$.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Trả lời:

a. S = 12. AB. AC. sinA = 12. 6. 8. sin60∘ = 123–√

b. Áp dụng định lí cosin, ta có:

BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosA=62+82−2.6.8.cos60∘ = 52

⇒ BC = 213−−√

Ta có: S = AB.AC.BC4R ⇒ R = AB.AC.BC4S = 6.8.213√4.123√ = 839√3 

Xét tam giác IBC có IB = IC = R = 839√3

⇒ p = 12.(839√3 + 839√3 + 213−−√) ≈ 20,3

Áp dụng công thức Heron: S = p(p−IC)(p−IB)(p−BC)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≈58,8

Bài tập 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Trả lời:

a) Nửa chu vi của tam giác ABC là : $p=\frac{15+18+27}{2}=30$

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{30.(30-15).(30-18).(30-27)}=\sqrt{16200}=90\sqrt{2}$

Mặt khác S = pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

Suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{90\sqrt{2}}{30}=3\sqrt{2}$.

Vậy diện tích tam giác ABC là  $90\sqrt{2}$ (đơn vị diện tích) ; bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $3\sqrt{2}$ (đơn vị dộ dài).

b) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G chia tam giác ABC thành ba tam giác GAB, GAC, GBC có diện tích bằng nhau.

Suy ra $S_{GBC}=\frac{S_{ABC}}{3}=\frac{90\sqrt{2}}{3}=30\sqrt{2}$

Vậy diện tích của tam giác GBC là :  $30\sqrt{2}$ (đơn vị diện tích).

Bài tập 8: Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC.

Trả lời:

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = $2\sqrt{2}$. Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trả lời:

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

$S_{BDE}=\frac{1}{2}.BD.BE.\sin B$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.BA.BC.\sin B$

Suy ra $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{\frac{1}{2}BD.BE.\sin B}{\frac{1}{2}BA.BC.\sin B}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

Vậy $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

b) Từ SABC = 9SBDE ⇒ $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}=\frac{1}{9}$

Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = $\frac{BE}{BC}$ .

Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = $\frac{BD}{AB}$ .

Suy ra cos2B = $\frac{BE}{BC}.\frac{BD}{AB}=\frac{BD.BE}{BA.BC}=\frac{1}{9}\Rightarrow \cos B=\pm \frac{1}{3}$ 

Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = $\frac{1}{3}$

Mà sin2B + cos2B = 1, suy ra sinB = $\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:

$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$  (cùng bằng cosB)

Góc B chung

Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k = $\frac{1}{3}$

⇒ $\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow AC=3DE=3.2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=2R$;  $\frac{DE}{\sin B}=2R\text{'}\Rightarrow R\text{'}=\frac{DE}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{2}}{2.\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{2}$ (R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).

⇒ $\frac{R}{R\text{'}}=\frac{AC}{DE}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=3$ ⇒ R = 3R' = $3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Vậy cosB = $\frac{1}{3}$; R = $\frac{9}{2}$

Bài tập 10: Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh $S=\frac{1}{2}xy\sin \alpha$

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Trả lời:

a. Ta có: SABCD = SABD + SCBD

Vẽ AH và CK vuông góc với BD.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có AH = AI.sinα; CK = CI.sinα

SABCD = 12AH. BD + 12CK. BD = 12BD(AH + CK) = 12BD(AI + IC).sinα = 12BD.ACsinα

⇒ S = xysinα (đpcm)

b. Nếu AC ⊥ BD thì sinα = 1, khi đó S = xy2. 

Như vậy, nếu tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.