Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tia phân giác

Khởi động: Khi làm con diều như hình bên thì tia DB nằm ở vị trí nào của $\stackrel{}{\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}$?

Lời giải:

Tia DB là tia phân giác của góc: $\widehat{mIq}$

1. Tia phân giác của một góc

Khám phá 1: Vẽ ${\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}xOy}}^{}$ lên một tờ giấy như Hình 1a. Gấp giấy sao cho cạnh Oy trùng với cạnh Ox. Nếu gấp cho ta vị trí của Oz. Theo em tia Oz đã chia ${\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}xOy}}^{}$ thành hai góc như thế nào?

Lời giải:

Theo em, tia Oz chia $\widehat{xOy}$ thành hai góc bằng nhau.

Thực hành 1: Tìm tia phân giác của các góc: ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOC}}^{}$ và ${\mathrm{COB^\backslash widehat\{COB\}COB}}^{}$ trong Hình 3.

Lời giải:

- Tia OM xuất phát từ đỉnh O của ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOC}}^{}$, đi qua điểm M nằm trong ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOC}}^{}$ và ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOM}}^{}={\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}COM}}^{}={30}^o$.

Do đó, OM là tia phân giác của ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOC}}^{}$.

- Tia ON xuất phát từ đỉnh O của ${\mathrm{COB^\backslash widehat\{COB\}COB}}^{}$, đi qua điểm N nằm trong ${\mathrm{COB^\backslash widehat\{COB\}COB}}^{}$ và ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}BON}}^{}={\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}CON}}^{}={60}^o$.

Do đó, ON là tia phân giác của ${\mathrm{COB^\backslash widehat\{COB\}COB}}^{}$.

Vậy OM là tia phân giác của ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOC}}^{}$; ON là tia phân giác của ${\mathrm{COB^\backslash widehat\{COB\}COB}}^{}$.

Vận dụng 1: Em hãy cho biết khi cân thăng bằng thì kim ở vị trí nào của $\widehat{AOB}$ (Hình 4).

Lời giải:

- Khi cân thăng bằng thì kim là tia phân giác của $\widehat{xOy}$

2. Cách vẽ tia phân giác

Khám phá 2: Trong Hình 5, nếu Oz là tia phân giác của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ thì số đo của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Thực hành 2: Vẽ một góc có số đo bằng 60o rồi vẽ tia phân giác của góc đó.

Lời giải:

Giả sử ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}={60}^o$, vẽ tia Oz là tia phân giác của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$.

Cách vẽ:

- Vẽ ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}={60}^o$.

- Ta có ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOz}}^{}={\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}yOz}}^{}$ và ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOz}}^{}+{\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}yOz}}^{}={60}^o$.

Suy ra ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOz}}^{}=\frac{\widehat{xOy}}{2}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$.

- Dùng thước đo góc vẽ tia Oz đi qua một điểm trong của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ sao cho ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOz}}^{}={30}^o$.

Ta được tia Oz là phân giác của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$.

Vận dụng 2: Hãy vẽ một góc bẹt ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}AOB}}^{}$ rồi vẽ tia phân giác của góc đó.

Lời giải:

- Góc bẹt có 2 tia phân giác là 2 tia đối nhau

Bài tập

Bài tập 1: 

a) Trong Hình 8, tìm tia phân giác của các góc ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{},{\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{}$.

b) Cho biết ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}={100}^o$, ${\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{}={60}^o$. Tính số đo của các góc $\stackrel{}{}ABO^\backslash widehat\{ABO\}ABO,{\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADO}}^{}$.

Lời giải:

a) Tia BO xuất phát từ đỉnh B của ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}$, đi qua điểm O nằm trong ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}$ và ${\mathrm{ABO^\backslash widehat\{ABO\}ABO}}^{}={\mathrm{CBO^\backslash widehat\{CBO\}CBO}}^{}$.

Do đó, BO là tia phân giác của ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}$.

Tia DO xuất phát từ đỉnh D của ${\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{}$, đi qua điểm B nằm trong ${\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{}$ và ${\mathrm{ADO^\backslash widehat\{ADO\}ADO}}^{}={\mathrm{ADO^\backslash widehat\{ADO\}CDO}}^{}$.

Do đó, DO là tia phân giác của ${\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{}$.

Vậy BO và DO lần lượt là tia phân giác của các góc ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{},{\mathrm{ADC^\backslash widehat\{ADC\}ADC}}^{}$.

b) Vì BO là tia phân giác của ${\mathrm{ABO^\backslash widehat\{ABO\}ABC}}^{}$ nên:

${\mathrm{ABO^\backslash widehat\{ABO\}ABO}}^{}={\mathrm{CBO^\backslash widehat\{CBO\}CBO}}^{}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{{100}^o}{2}={50}^o$.

Vì BO là tia phân giác của ${\mathrm{CBO^\backslash widehat\{CBO\}ABC}}^{}$ nên:

${\mathrm{ADO^\backslash widehat\{ADO\}ADO}}^{}={\mathrm{ADO^\backslash widehat\{ADO\}CDO}}^{}=\frac{\widehat{ADC}}{2}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$.

Vậy ${\mathrm{ABO^\backslash widehat\{ABO\}ABO}}^{}={50}^o$; ${\mathrm{ADO^\backslash widehat\{ADO\}ADO}}^{}={30}^o$.

Bài tập 2:

a) Vẽ ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ có số đo 110o.

b) Vẽ tia phân giác của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ trong câu a.

Lời giải:

a)

b)

Bài tập 3: Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại A và tạo thành ${\mathrm{PAM^\backslash widehat\{PAM\}PAM}}^{}={33}^o$ (Hình 9).

a) Tính số đo các góc còn lại.

b) Vẽ At là tia phân giác của ${\mathrm{PAM^\backslash widehat\{PAM\}PAN}}^{}$. Hãy tính số đo của ${\mathrm{PAM^\backslash widehat\{PAM\}tAQ}}^{}$. Vẽ tia At’ là tia đối của tia At. Giải thích tại sao At’ là tia phân giác của ${\mathrm{PAM^\backslash widehat\{PAM\}MAQ}}^{}$.

Lời giải:

b) Vẽ tia At là tia phân giác của ${\mathrm{PAM^\backslash widehat\{PAM\}PAN}}^{}$ (như hình vẽ):

Vì tia At là tia phân giác của ${\mathrm{PAM^\backslash widehat\{PAM\}PAN}}^{}$ nên:

${\mathrm{tAP^\backslash widehat\{tAP\}tAP}}^{}={\mathrm{tAN^\backslash widehat\{tAN\}tAN}}^{}=\frac{\widehat{PAN}}{2}$

$=\frac{{147}^o}{2}=73,5^o$.

Ta có:

${\mathrm{tAP^\backslash widehat\{tAP\}tAQ}}^{}={\mathrm{tAN^\backslash widehat\{tAN\}tAN}}^{}+{\mathrm{tAQ^\backslash widehat\{tAQ\}NAQ}}^{}$

$=73,5^o+{33}^o=106,5^o$.

Tia At’ là tia đối của tia At (như hình vẽ).

Tia At’ nằm giữa hai tia AM và AQ (1)

Ta có: ${\mathrm{tAP^\backslash widehat\{tAP\}tAP}}^{}={\mathrm{tAQ^\backslash widehat\{tAQ\}t\text{'}AQ}}^{}$ (hai góc đối đỉnh);

${\mathrm{tAN^\backslash widehat\{tAN\}tAN}}^{}={\mathrm{tAQ^\backslash widehat\{tAQ\}t\text{'}AM}}^{}$ (hai góc đối đỉnh).

Mà ${\mathrm{tAN^\backslash widehat\{tAN\}tAP}}^{}={\mathrm{tAN^\backslash widehat\{tAN\}t\text{'}AN}}^{}$ (vì tia At là tia phân giác của ${\mathrm{tAQ^\backslash widehat\{tAQ\}PAN}}^{}$).

Suy ra ${\mathrm{tAQ^\backslash widehat\{tAQ\}t\text{'}AQ}}^{}={\mathrm{tAQ^\backslash widehat\{tAQ\}t\text{'}AM}}^{}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: At’ là tia phân giác của ${\mathrm{tAQ^\backslash widehat\{tAQ\}MAQ}}^{}$.

Bài 4 trang 75 Toán 7 Tập 1: Cho đường thẳng xy đi qua điểm O. Vẽ tia Oz sao cho ${\mathrm{xOz^\backslash widehat\{xOz\}xOz}}^{}={135}^o$. Vẽ tia Ot sao cho ${\mathrm{xOz^\backslash widehat\{xOz\}yOt}}^{}={90}^o$ và ${\mathrm{xOz^\backslash widehat\{xOz\}zOt}}^{}={135}^o.$ Gọi Ov là tia phân giác của ${\mathrm{xOz^\backslash widehat\{xOz\}xOt}}^{}$. Các góc $\widehat{\mathrm{xOz^\backslash widehat\{xOz\}xOv}}$ và ${\mathrm{xOz^\backslash widehat\{xOz\}yOz}}^{}$ có phải là hai góc đối đỉnh không? Vì sao?

Lời giải:

Bài tập 5: Vẽ hai góc kề bù ${\mathrm{xOz^\backslash widehat\{xOz\}xOy}}^{}$, ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}\text{'}}^{}$, biết ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}={142}^o$. Gọi Oz là tia phân giác của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$. Tính ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}x\text{'}Oz}}^{}$.

Lời giải:

Bài tập 6: Vẽ hai góc kề bù ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{},\widehat{yOx\text{'}}$, biết ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}={120}^o$. Gọi Oz là tia phân giác của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$, Oz’ là tia phân giác của ${\mathrm{yOx\prime ^\backslash widehat\{yOx\text{'}\}yOx\prime }}^{}$. Tính $\stackrel{}{}zOy\prime ^\backslash widehat\{zOy\text{'}\}zOy\prime ,{\mathrm{zOy\prime ^\backslash widehat\{zOy\text{'}\}zOy\prime }}^{},{\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}zOz}\text{'}}^{}$.

Lời giải:

${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ và ${\mathrm{yOx\prime ^\backslash widehat\{yOx\text{'}\}yOx\prime }}^{}$ là hai góc kề bù nên:

${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}+{\mathrm{yOx\prime ^\backslash widehat\{yOx\text{'}\}yOx\prime }}^{}={180}^o$

${120}^o+{\mathrm{yOx\prime ^\backslash widehat\{yOx\text{'}\}yOx\prime }}^{}={180}^o$

Suy ra ${\mathrm{yOx\prime ^\backslash widehat\{yOx\text{'}\}yOx\prime }}^{}={180}^o-{120}^o={60}^o$.

Tia Oz là tia phân giác của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ nên:

${\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}xOz}}^{}={\mathrm{zOy^\backslash widehat\{zOy\}zOy}}^{}$ và $\widehat{xOz}+{\mathrm{zOy^\backslash widehat\{zOy\}zOy}}^{}={120}^o$.

Suy ra ${\mathrm{zOy^\backslash widehat\{zOy\}zOy}}^{}=\frac{\widehat{xOy}}{2}=\frac{{120}^o}{2}={60}^o$.

Tia Oz’ là tia phân giác của ${\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}yOx}\text{'}}^{}$ nên:

${zOy^\backslash widehat\{zOy\}zOy\text{'}}^{}={\mathrm{x\prime Oz^\backslash widehat\{x\text{'}Oz\}x\prime Oz}\text{'}}^{}$ và ${\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}yOz}\text{'}}^{}+{\mathrm{x\prime Oz^\backslash widehat\{x\text{'}Oz\}x\prime Oz}\text{'}}^{}={60}^o$.

Suy ra ${zOz^\backslash widehat\{zOz\}yOz\text{'}}^{}=\frac{\widehat{yOx\text{'}}}{2}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$.

Ta có:

 ${\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}zOz}\text{'}}^{}={\mathrm{zOy^\backslash widehat\{zOy\}zOy}}^{}+{\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}yOz}\text{'}}^{}={60}^o+{30}^o={90}^o$

Vậy ${\mathrm{zOy^\backslash widehat\{zOy\}zOy}}^{}={60}^o,{\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}yOz}\text{'}}^{}={30}^o,{\mathrm{zOz^\backslash widehat\{zOz\}zOz}\text{'}}^{}={90}^o$.

Bài tập 7: Vẽ góc bẹt ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$. Vẽ tia phân giác Oz của góc đó. Vẽ tia phân giác Ot của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOz}}^{}$. Vẽ tia phân giác Ov của ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}zOy}}^{}$. Tính ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}tOv}}^{}$.

Lời giải: