Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ

Khởi động: Tính thể tích V của khối rubik hình lập phương có cạnh dài 5,5 cm.

Lời giải:

Thể tích V của khối rubik hình lập phương có cạnh dài 5,5 cm là:

V = 5,5 . 5,5 . 5,5 = 30,25 . 5,5 = 166,375 (cm3).

Vậy thể tích của khối rubik đó là 166,375 cm3.

1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Thực hành 1: Tính: ${\left(\frac{-2}{3}\right)}^3$; ${\left(\frac{-3}{5}\right)}^2$; (–0,5)3; (–0,5)2; (37,57)0; (3,57)1.

Lời giải:

(−23)3 = −827  ;  (−35)2 = 925 ;

(-0,5)3 =(−12)3 = −18 ; (-0,5)2 = =(−12)2 = 14 

(37,57)0 = 1 ; (3,57)1 = 3,57

2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số

Khám phá 1: Tìm số thích hợp thay vào dấu “?” trong các câu dưới đây:

a) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^{?}$;

b)${\left(0,2\right)}^2.{\left(0,2\right)}^3={\left(0,2\right)}^{?}$

Lời giải:

a) Ta có:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ = $\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}$ = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$.

Vậy “?” cần điền là 4.

b) Ta có:

(0,2)2 . (0,2)3 = 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 = (0,2)5.

Vậy “?” cần điền là 5.

Thực hành 2: Tính:

a) (–2)2.(–2)3;

b) (–0,25)7 : (–0,25)5;

c) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^4.{\left(\frac{3}{4}\right)}^3$.

Lời giải:

3. Luỹ thừa của luỹ thừa

Khám phá 2: Tính và so sánh:

a) ${\left[{\left(-2\right)}^2\right]}^3$ và ${\left(-2\right)}^6$;

b) ${\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]}^2$ và ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$.

Lời giải:

a)  [(-2)2 ]3 = (-2)6 

b) [(12)2]2 = (12)4 

Thực hành 3: Thay số thích hợp vào dấu “?” trong các câu sau:

a) ${\left[{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2\right]}^5={\left(\frac{-2}{3}\right)}^{?}$;

b) ${\left[{\left(0,4\right)}^3\right]}^3={\left(0,4\right)}^{?}$;

c)  ${\left[{\left(7,31\right)}^3\right]}^0$ = ?.

Lời giải:

a) ${\left[{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2\right]}^5={\left(\frac{-2}{3}\right)}^{2.5}={\left(\frac{-2}{3}\right)}^{10}$. Vậy “?” là 10.

b) ${\left[{\left(0,4\right)}^3\right]}^3={\left(0,4\right)}^{3.3}={\left(0,4\right)}^9$. Vậy “?” là 9

c) ${\left[{\left(7,31\right)}^3\right]}^0={\left(7,31\right)}^{3.0}={\left(7,31\right)}^0=1$. Vậy “?” là 1.

Vận dụng: Để viết những số có giá trị lớn, người ta thường viết các số ấy dưới dạng tích của lũy thừa cơ số 10 với một số lớn hơn hoặc bằng 1 nhưng nhỏ hơn 10. Chẳng hạn khoảng cách trung bình giữa Mặt Trời và Trái Đất là 149 600 000 km được viết là 1,496.108 km.

Hãy dùng cách viết trên để viết các đại lượng sau:

a) Khoảng cách từ Mặt Trời đến sao Thủy dài khoảng 58 000 000 km.

b) Một năm ánh sáng có độ dài khoảng 9 460 000 000 000 km.

(Theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Hệ_Mặt_Trời)

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa với số mũ lớn hơn 1: 0,49; $\frac{1}{32};\frac{-8}{125};\frac{16}{81};\frac{121}{169}.$

Lời giải:

0,49 = 49100 = (710)2

132 = (12)5

−8125 = (−25)3

1681 = (23)4

121169 = (1113)2

Bài tập 2:

a) Tính: ${\left(\frac{-1}{2}\right)}^5;{\left(\frac{-2}{3}\right)}^4;{\left(-2\frac{1}{4}\right)}^3$; (–0,3)5; (–25,7)0.

b) Tính: ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^2;{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3;{\left(-\frac{1}{3}\right)}^4;{\left(-\frac{1}{3}\right)}^5$.

Hãy rút ra nhận xét về dấu của lũy thừa với số mũ chẵn và lũy thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm.

Lời giải:

a) ${\left(\frac{-1}{2}\right)}^5=\frac{{\left(-1\right)}^5}{2^5}=\frac{-1}{32};$

${\left(\frac{-2}{3}\right)}^4=\frac{{\left(-2\right)}^4}{3^4}=\frac{16}{81};$

${\left(-2\frac{1}{4}\right)}^3={\left(-\frac{2.4+1}{4}\right)}^3={\left(\frac{-9}{4}\right)}^3=\frac{{\left(-9\right)}^3}{4^3}=\frac{-729}{64};$

(–0,3)5 = ${\left(\frac{-3}{10}\right)}^5=\frac{{\left(-3\right)}^5}{{10}^5}=\frac{-243}{100000};$

(–25,7)0 = 1.

b) ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{{\left(-1\right)}^2}{3^2}=\frac{1}{9};$

${\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{{\left(-1\right)}^3}{3^3}=\frac{-1}{27};$

${\left(-\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{{\left(-1\right)}^4}{3^4}=\frac{1}{81};$

${\left(-\frac{1}{3}\right)}^5=\frac{{\left(-1\right)}^5}{3^5}=\frac{-1}{243}.$

Với số hữu tỉ âm, khi lũy thừa là số mũ chẵn thì cho kết quả là một số hữu tỉ dương, khi lũy thừa là số mũ lẻ thì cho kết quả là một số hữu tỉ âm.

Bài tập 3: Tìm x, biết:

a) $x:{\left(\frac{-1}{2}\right)}^3=\frac{-1}{2}$;

b) $x.{\left(\frac{3}{5}\right)}^7={\left(\frac{3}{5}\right)}^9$;

c) ${\left(\frac{-2}{3}\right)}^{11}:x={\left(\frac{-2}{3}\right)}^9$;

d) $x.{\left(0,25\right)}^6={\left(\frac{1}{4}\right)}^8$.

Lời giải:

a) $x:{\left(\frac{-1}{2}\right)}^3=\frac{-1}{2}$

x = $\left(\frac{-1}{2}\right).{\left(\frac{-1}{2}\right)}^3$

x = ${\left(\frac{-1}{2}\right)}^{1+3}$

x = ${\left(\frac{-1}{2}\right)}^4$

x = $\frac{{\left(-1\right)}^4}{2^4}$

x = $\frac{1}{16}$

Vậy x = $\frac{1}{16}$.

b) $x.{\left(\frac{3}{5}\right)}^7={\left(\frac{3}{5}\right)}^9$

$x={\left(\frac{3}{5}\right)}^9:{\left(\frac{3}{5}\right)}^7$

$x={\left(\frac{3}{5}\right)}^{9-7}$

$x={\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Vậy $x=\frac{9}{25}$

c) ${\left(\frac{-2}{3}\right)}^{11}:x={\left(\frac{-2}{3}\right)}^9$

$x={\left(\frac{-2}{3}\right)}^{11}:{\left(\frac{-2}{3}\right)}^9$

$x={\left(\frac{-2}{3}\right)}^{11-9}$

$x={\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$

Vậy x = $\frac{4}{9}$

d) $x.{\left(0,25\right)}^6={\left(\frac{1}{4}\right)}^8$

$x.{\left(\frac{1}{4}\right)}^6={\left(\frac{1}{4}\right)}^8$

$x={\left(\frac{1}{4}\right)}^8:{\left(\frac{1}{4}\right)}^6$

$x={\left(\frac{1}{4}\right)}^{8-6}$

$x={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$

Vậy x = $\frac{1}{16}$

Bài tập 4: Viết các số ${\left(0,25\right)}^8;{\left(0,125\right)}^4;{\left(0,0625\right)}^2$ dưới dạng lũy thừa cơ số  0,5.

Lời giải:

Bài tập 5: Tính nhanh

M = (100 – 1).(100 – 22). (100 – 32)…(100 – 502).

Lời giải:

M = (100 – 1).(100 – 22). (100 – 32)…(100 – 502)

M = (100 – 1).(100 – 22). (100 – 32)… (100 – 92) .(100 – 102) .(100 – 112) …(100 – 502)

M = (100 – 1).(100 – 22). (100 – 32)… (100 – 92). (100 – 100) .(100 – 112) …(100 – 502)

M = (100 – 1).(100 – 22). (100 – 32)… (100 – 92) .0.(100 – 112) …(100 – 502)

M = 0

Vậy M = 0

Bài tập 6: Tính:

a) $\left[{\left(\frac{3}{7}\right)}^4.{\left(\frac{3}{7}\right)}^5\right]:{\left(\frac{3}{7}\right)}^7$;

b) $\left[{\left(\frac{7}{8}\right)}^5:{\left(\frac{7}{8}\right)}^4\right].\frac{7}{8}$;

c) $\left[{\left(0,6\right)}^3.{\left(0,6\right)}^8\right]:\left[{\left(0,6\right)}^7.{\left(0,6\right)}^2\right]$.

Lời giải:

a) [(37)4.(37)5]:(37)7 = (37)9 : (37)7 = (37)2 =  949

b) [(78)5:(78)4].78 =  78.78 = (78)2 =  4964

c) [(0,6)3 . (0,6)8] : [ (0,6)7 . (0,6)2 ] = (0,6)11 : (0,6)9 = (0,6)2 = 0,36

Bài tập 7: Tính:

a) ${\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\right)}^2$;

b) ${\left(0,75-1\frac{1}{2}\right)}^3$;

c) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{15}:{\left(0,36\right)}^5$;

d) ${\left(1-\frac{1}{3}\right)}^8:{\left(\frac{4}{9}\right)}^3$.

Lời giải:

Bài tập 8: Tính giá trị các biểu thức.

a) $\frac{4^3{.9}^7}{{27}^5{.8}^2};$

b) $\frac{{\left(-2\right)}^3.{\left(-2\right)}^7}{{3.4}^6}$;

c) $\frac{{\left(0,2\right)}^5.{\left(0,09\right)}^3}{{\left(0,2\right)}^7.{\left(0,3\right)}^4}$;

d) $\frac{2^3+2^4+2^5}{7^2}$.

Lời giải:

a) $\frac{4^3{.9}^7}{{27}^5{.8}^2}=\frac{{\left(2^2\right)}^3.{\left(3^2\right)}^7}{{\left(3^3\right)}^5.{\left(2^3\right)}^2}$

$=\frac{2^6{.3}^{14}}{3^{15}{.2}^6}=\frac{2^6{.3}^{14}}{3^{14}{\mathrm{.3.2}}^6}=\frac{1}{3}$;

b) $\frac{{\left(-2\right)}^3.{\left(-2\right)}^7}{{3.4}^6}=\frac{{\left(-2\right)}^{3+7}}{3.{\left(2^2\right)}^6}=\frac{{\left(-2\right)}^{10}}{{3.2}^{12}}$

$=\frac{2^{10}}{{3.2}^{12}}=\frac{2^{10}}{{3.2}^{10}{.2}^2}=\frac{1}{{3.2}^2}=\frac{1}{3.4}=\frac{1}{12}$;

c) $\frac{{\left(0,2\right)}^5.{\left(0,09\right)}^3}{{\left(0,2\right)}^7.{\left(0,3\right)}^4}=\frac{{\left(0,2\right)}^5.{\left(0,3^2\right)}^3}{{\left(0,2\right)}^7.{\left(0,3\right)}^4}$

$=\frac{{\left(0,2\right)}^5.{\left(0,3\right)}^6}{{\left(0,2\right)}^7.{\left(0,3\right)}^4}=\frac{{\left(0,2\right)}^5.{\left(0,3\right)}^4.{\left(0,3\right)}^2}{{\left(0,2\right)}^5.{\left(0,2\right)}^2.{\left(0,3\right)}^4}$

$=\frac{{\left(0,3\right)}^2}{{\left(0,2\right)}^2}={\left(\frac{0,3}{0,2}\right)}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$;

d) $\frac{2^3+2^4+2^5}{7^2}=\frac{8+16+32}{49}=\frac{56}{49}=\frac{8}{7}$.

Bài tập 9:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5,97.1024kg, khối lượng của Mặt Trăng khoảng 7,35.1022kg. Tính tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng.

b) Sao Mộc cách Trái Đất khoảng 8,27.108km, Sao Thiên Vương cách Trái Đất khoảng 3,09.109km. Sao nào ở gần Trái Đất hơn?

(Theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Hệ_Mặt_Trời)

Lời giải:

a) 

Tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là: 5,97 .1024 + 7,35 . 1022  =  597 .1022 + 7,35 . 1022 = 604,35 .1022 (kg)

Vậy Tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là 604,35 .1022 kg.

b) Có : 8,27 .108 = 0,827 .109 < 3,09 .109

=> Sao Mộc ở gần Trái Đất hơn.