Giải SGK Toán 8 Cánh Diều Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Khởi động: Ở lớp 6, ta đã biết cách cộng, trừ các phân số. Làm thế nào để cộng, trừ được các phân thức đại số?

Lời giải:

Cộng, trừ được các phân thức đại số, ta thực hiện tương tự như phép cộng, phép trừ các phân số.

+ Đối với các phân thức đại số có cùng mẫu thì ta thực hiện cộng (trừ) các tử và giữ nguyên mẫu.

+ Đối với các phân thức đại số khác mẫu thì ta quy đồng mẫu thức các phân thức sau đó thực hiện cộng (trừ) các tử và giữ nguyên mẫu.

I. Phép cộng các phân thức đại số

Hoạt động 1: Thực hiện phép tính: $\frac{-3}{5}+\frac{23}{5}$.

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 1: Thực hiện phép tính: $\frac{x-2y}{x^2+xy}+\frac{x+2y}{x^2+xy}$.

Lời giải:

x−2yx2+xy+x+2yx2+xy = (x−2y)+(x+2y)x2+xy = x−2y+x+2yx2+xy = 2xx2+xy

Luyện tập, vận dụng 2: Thực hiện phép tính: $\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{xy+y^2}$

Lời giải:

Ta có

Hoạt động 3: Hãy nêu các tính chất của phép cộng phân số.

Lời giải:

Các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0

Luyện tập, vận dụng 3: Tính một cách hợp lí:

Lời giải:

x2+y2−1x2+2xy+y2+2yx+y+1−2y2x2+2xy+y2

= (x2+y2−1x2+2xy+y2+1−2y2x2+2xy+y2)+2yx+y

= x2+y2−1+1−2y2x2+2xy+y2+2yx+y

= x2−y2(x+y)2+2yx+y

= (x−y)(x+y)(x+y)(x+y)+2yx+y

= x−yx+y+2yx+y

= x+yx+y=1

II. Phép trừ các phân thức đại số

Luyện tập, vận dụng 4: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{4x+3y}{x^2-y^2}-\frac{3x+4y}{x^2-y^2}$;

b) $\frac{2xy-3y^2}{x^2-3xy}-\frac{x}{3x-9y}$.

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 5: Tính một cách hợp lí: $\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^2-9y^2}-\frac{x+8y}{3y-2x}$.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{5x-4}{9}+\frac{4x+4}{9}$;

b) $\frac{x^{2}y-6}{2x^{2}y}+\frac{6-x{y}^2}{2x^{2}y}$;

c) $\frac{x+1}{x^2-5x}+\frac{x-18}{x^2-5x}+\frac{x+2}{x^2-5x}$;

d) $\frac{7y}{3}-\frac{7y-5}{3}$;

e) $\frac{4x-1}{3x{y}^2}-\frac{7x-1}{3x{y}^2}$;

g) $\frac{3y-2x}{x-2y}-\frac{x-y}{2y-x}$.

Lời giải:

a. 5x−49+4x+49 = 5x−4+4x+49=9x9=x                                                                

b. x2y−62x2y+6−xy22x2y = x2y−6+6−xy22x2y = x2y−xy22x2y = xy(x−y)xy.2x=x−y2x       

c. x+1x2−5x+x−18x2−5x+x+2x2−5x = x+1+x−18+x+2x2−5x=3x−15x2−5x=3(x−5)x(x−5)=3x                                                             

d. 7y3−7y−53 = 7y−7y+53=53

e. 4x−13xy2−7x−13xy2 = 4x−1−7x+13xy2=−3x3xy2=−1y2                                                                              

g. 3y−2xx−2y−x−y2y−x

= (3y−2x)(2y−x)(x−2y)(2y−x)−(x−y)(x−2y)(2y−x)(x−2y)

=6y2−3xy−4xy+2x2(x−2y)(2y−x)−x2−2xy−xy+2y2(2y−x)(x−2y)

= 6y2−7xy+2x2−x2+3xy−2y2(2y−x)(x−2y)

= 4y2−4xy+x2(2y−x)(x−2y)

= (2y−x)2(2y−x)(x−2y)=2y−xx−2y

Bài tập 2:  Thực hiện phép tính:

Lời giải:

Bài tập 3:  Thực hiện phép tính:

Lời giải:

Bài tập 4: 

a) Rút gọn biểu thức: $A=\frac{2x^2+1}{x^3+1}+\frac{1-x}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}$;

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = −3.

Lời giải:

a. A = 2x2+1x3+1+1−xx2−x+1−1x+1 = 2x2+1(x+1)(x2−x+1)+(1−x)(x+1)(x2−x+1)(x+1)−1.(x2−x+1)(x+1)(x2−x+1)

= 2x2+1+x+1−x2−x−x2+x−1(x+1)(x2−x+1)=1+x(x+1)(x2−x+1)=1x2−x+1.

b. Tại x=-3, ta có x2−x+1 = (−3)2−(−3)+1=13 ≠0 nên thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức. Vậy tại x = -3, giá trị của A = 113

Bài tập 5:  Một xí nghiệp dự định sản xuất 10 000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện, xí nghiệp đã làm xong sớm hơn 1 ngày so với dự định và còn làm thêm được 80 sản phẩm. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Lời giải:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là: $\frac{10000}{x}$ (sản phẩm).

b) Số sản phẩm xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là:

10 000 + 80 = 10 080 (sản phẩm)

Số ngày xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là: x – 1 (ngày)

Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế là: $\frac{10080}{x-1}$ (sản phẩm)

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là:

$\frac{10000}{x}-\frac{10080}{x-1}=80\left(\frac{125}{x}-\frac{126}{x-1}\right)$$=80\left(\frac{125(x-1)}{x(x-1)}-\frac{126x}{x(x-1)}\right)$

$=80.\frac{125x-125-126x}{x(x-1)}=\frac{-80x-10000}{x(x-1)}$ (sản phẩm).

Bài tập 6:  Người ta mở hai vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước. Thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 2 giờ. Gọi x (giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình để đầy bể. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể;

b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ;

c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ.

Lời giải:

Bài tập 7:  Để hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 120 cây xanh. Khi bắt đầu thực hiện, chi đoàn được tăng cường thêm 3 đoàn viên. Gọi x là số đoàn viên ban đầu của chi đoàn và giả sử số cây mỗi đoàn viên trồng là như nhau. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định;

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế;

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế.

Lời giải:

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định: 120x

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế: 120x+3

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế: 

120x-120x+3 = 120x+360−120xx(x+3)=360x(x+3)

Bài tập 8: Gia đình cô Lương nuôi ba con lợn. Cả ba con lợn đều ăn cùng một loại thức ăn gia súc. Biểu đồ cột ở Hình 2 biểu diễn số ngày mà mỗi con lợn ăn hết một bao thức ăn. Hỏi cả ba con lợn ăn trong x ngày (x∈ ℕ*) thì cần bao nhiêu thức ăn?

Lời giải:

Trên biểu đồ Hình 2 có:

+ Con lợn thứ nhất ăn 3 ngày hết 1 bao thức ăn.

- Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ nhất ăn hết $\frac{1}{3}$ bao thức ăn.

=> Do đó, con lợn thứ nhất ăn trong x ngày hết $\frac{x}{3}$ bao thức ăn.

+ Con lợn thứ hai ăn 6 ngày hết 1 bao thức ăn.

- Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết $\frac{1}{6}$ bao thức ăn.

=> Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết $\frac{x}{6}$ bao thức ăn.

+ Con lợn thứ ba ăn 4 ngày hết 1 bao thức ăn.

- Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết $\frac{1}{4}$ bao thức ăn.

=> Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết $\frac{x}{4}$ bao thức ăn.

- Cả ba con lợn ăn trong x ngày (x ∈ ℕ*) thì cần:

$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+\frac{x}{4}=\frac{4x}{12}+\frac{2x}{12}+\frac{3x}{12}=\frac{9x}{12}=\frac{3x}{4}$ (bao thức ăn).

=> Vậy cả ba con lợn ăn trong x ngày (x ∈ ℕ*) thì cần $\frac{3x}{4}$ bao thức ăn.