Giải SGK Toán 8 Cánh Diều Bài 4: Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0)

Khởi động: Ở bài học trước, ta đã học đồ thị của một hàm số trên mặt phẳng tọa độ. Trong bài học này, ta sẽ tìm hiểu một trường hợp riêng trong đồ thị của hàm số, đó là đồ thị của hàm số bậc nhất.

Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) có tính chất gì?

Lời giải:

I. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Hoạt động 1: Xét hàm số y = x – 2.

a) Tìm giá trị của y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Vẽ các điểm A(0; − 2), B(2; 0), C(3; 1) của đồ thị hàm số y = x – 2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Dùng thước thẳng để kiểm tra ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không.

Lời giải:

a)

• Với x = 0 thì y = 0 – 2 = – 2;

• Với x = 2 thì y = 2 – 2 = 0;

• Với x = 3 thì y = 3 – 2 = 1.

Vậy giá trị của y tương ứng với giá trị của x được điền vào trong bảng sau:

b) Cách xác định các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:

• Cách xác định điểm A(0; − 2):

Qua điểm − 2 trên trục Oy, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Oy.

Đường thẳng thẳng này cắt trục Oy tại điểm A(0; − 2).

• Xác định điểm B(2; 0):

Qua điểm 2 trên trục Ox, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox.

Đường thẳng thẳng này cắt trục Ox tại điểm B(2; 0).

• Xác định điểm C(3; 1):

Qua điểm 3 trên trục Ox, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox.

Qua điểm 1 trên trục Oy, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Oy.

Hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm C(3; 1).

Từ đó ta xác định các điểm A(0; − 2), B(2; 0), C(3; 1) trên trục số như sau:

Đặt thước thẳng để kiểm tra hai điểm A và B, ta thấy điểm C nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

Vậy ba điểm A, B, C có thẳng hàng.

Luyện tập, vận dụng 1: Cho hàm số y = 4x + 3. Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ bằng 0.

Lời giải:

Với x = 0 thì y = 4.0 + 3 = 3

Vậy điểm có hoành độ bằng 0 thuộc đồ thị hàm số y = 4x + 3 là (0; 3)

II. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

Luyện tập, vận dụng 2: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = 3x;

b) y = 2x + 2.

Lời giải:

a. Với đồ thì y = 3x, ta xác định điểm A(1,3) rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm O và A

b. Với đồ thị y = 2x + 2 ta làm như sau:

+, Khi x=0 => y = 2.0+2 =2 => B(0,2)

+, Khi y=0 => x= (0-2):2 = -1 => C(-1,0)

Sau đó vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm B và C. 

III. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Hoạt động 2: Quan sát các đường thẳng y = x + 1 và y = – x – 1 (Hình 20).

a) Tung độ các điểm M, N là số dương hay số âm?

b) Tìm góc tạo bởi hai tia Ax và AM ở Hình 20a.

c) Tìm góc tạo bởi hai tia Bx và BN ở Hình 20b.

Lời giải:

a) Trong Hình 20a): Điểm M nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tung độ các điểm M là số dương;

Trong Hình 20b): Điểm N nằm trong góc phần tư thứ hai nên tung độ các điểm N là số âm.

Vậy tung độ của điểm M là số dương và tung độ của điểm N là số âm.

b) Góc tạo bởi hai tia Ax và AM ở Hình 20a là góc MAx.

c) Góc tạo bởi hai tia Bx và BN ở Hình 20b là góc NBx.

Hoạt động 3: Hình 22a biểu diễn đồ thị của các hàm số bậc nhất: y = 0,5x + 2; y = 2x + 2.

Hình 22b biểu diễn đồ thị của các hàm số bậc nhất: y = – 2x + 2; y = – 0,5x + 2.

a) Quan sát Hình 22a, so sánh các góc α, β và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số của x trong các hàm số bậc nhất rồi rút ra nhận xét.

b) Quan sát Hình 22b, so sánh các góc α’, β’ và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số của x trong các hàm số bậc nhất rồi rút ra nhận xét.

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng y = – 5x + 11.

Lời giải:

- Hệ số góc của đường thẳng y = – 5x + 11 là – 5.

Hoạt động 4: 

a) Quan sát Hình 23a, tìm hệ số góc của hai đường thẳng y = x và y = x + 1 và nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.

b) Quan sát Hình 23b, tìm hệ số góc của hai đường thẳng y = x và y = – x + 1 và nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 23a, Hệ số góc của hai đường thẳng:

+ y = x là a = 1

+ y = x + l là a = 1

2 đường thẳng song song với nhau

b) Quan sát Hình 23b, hệ số góc của hai đường thẳng:

+ y = x là a= 1

+ y = - x + 1 là a = -1

2 đường thẳng vuông góc với nhau.

Luyện tập, vận dụng 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng y = – 5x và y = – 5x + 2.

Lời giải:

- Hai đường thẳng y = -5x và y = -5x +2 có hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau nên hai đường thẳng đó song song với nhau.

Bài tập

Bài tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai về đường thẳng d là đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)?

a) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{b}{a}$.

b) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng b.

c) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

d) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\frac{b}{a}$.

Lời giải:

• Đường thẳng d cắt trục tung, tức là y = 0 nên ta có ax + b = 0.

Suy ra ax = – b hay x = $-\frac{b}{a}$

Khi đó, đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{b}{a}$.

Do đó, phát biểu a) đúng, phát biểu c) sai.

• Đường thẳng d cắt trục hoành, tức là x = 0 nên ta có y = a . 0 + b = 0 + b = b.

Khi đó, đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng b.

Do đó, phát biểu b) đúng, phát biểu d) sai.

Bài tập 2: Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song trong số các đường thẳng sau: y = – 2x + 5; y = – 2x; y = 4x – 1.

Lời giải:

- Các cặp đường thẳng cắt nhau: đường thẳng y = 4x - 1 cắt  2 đường thẳng y = -2x + 5; y = -2x

- Các cặp đường thẳng song song: y = -2x + 5; y = -2x

Bài tập 3: Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x; y = 3x + 4; $y=-\frac{1}{2}x;y=-\frac{1}{2}x+3$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

* Đồ thị hàm số y = 3x.

Với x = 1 thì y = 3 . 1 = 3, ta được điểm A(1; 3) thuộc đồ thị của hàm số y = 3x.

Do đó, đồ thị của hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và A(1; 3).

* Đồ thị hàm số y = 3x + 4.

• Với x = 0 thì y = 3 . 0 + 4 = 0 + 4 = 4, ta được điểm B(0; 4) thuộc đồ thị của hàm số y = 3x + 4.

• Với y = 0 thì 3x + 4 = 0 suy ra $x=-\frac{4}{3}$, ta được điểm $C\left(-\frac{4}{3};0\right)$ thuộc đồ thị của hàm số y = 3x + 4.

Do đó, đồ thị của hàm số y = 2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm B(0; 4) và $C\left(-\frac{4}{3};0\right)$

* Đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}x$.

Với x = 2 thì $y=-\frac{1}{2}.2=-1$, ta được điểm M(2; – 1) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x$.

Do đó, đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x$ là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và M(2; – 1).

* Đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3$.

• Với x = 0 thì $y=-\frac{1}{2}.0+3=0+3=3$, ta được điểm N(0; 3) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3.$

• Với y = 0 thì $-\frac{1}{2}x+3=0$ suy ra x = 6, ta được điểm P(6; 0) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3.$

Do đó, đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3.$ là đường thẳng đi qua hai điểm N(0; 3) và P(6; 0).

Ta vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x; y = 3x + 4; $y=-\frac{1}{2}x;y=-\frac{1}{2}x+3$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ như sau:

Bài tập 4: Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc bằng – 1 và đi qua điểm M(1; 2). Sau đó vẽ đường thẳng tìm được trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

* Đường thẳng y = ax + b (a≠0)

Vì hệ số góc bằng -1 nên a = -1

Suy ra đường thẳng  đã cho là: y = -x + b

Đường thẳng đi qua điểm M(1; 2) nên thay tọa độ điểm M(1; 2) vào đường thẳng y = -x + b ta được:

2 = -x + b suy ra b = 3

Vậy đường thẳng đã cho tìm được là y = -x + 3

Bài tập 5:

a) Vẽ đường thẳng y = 2x – 1 trong mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm M(1; 3) và song song với đường thẳng y = 2x – 1. Sau đó vẽ đường thẳng tìm được trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng y = 2x - 1 trong mặt phẳng toạ độ.

Đường thẳng y = 2x - 1 sẽ đi qua 2 điểm (0,-1) và (1,1)

 b. Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) song song với đường thẳng y = 2x - 1 nên sẽ có hệ số góc a = 2, mặt khác lại đi qua điểm M(1 ; 3) nên ta có 3 = 2.1+b => b=1 => y = 2x + 1.

Đường thẳng này sẽ đi qua 1 điểm khác có tọa độ x = 0 và y = 1

Bài tập 6: Một phần đường thẳng d1, d2 ở Hình 24 lần lượt biểu thị tốc độ (đơn vị: m/s) của vật thứ nhất, vật thứ hai theo thời gian t (s).

a) Nêu nhận xét về tung độ giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. Từ đó, nêu nhận xét về tốc độ ban đầu của hai chuyển động.

b) Trong hai đường thẳng d1, d2, đường thẳng nào có hệ số góc lớn hơn?

c) Từ giây thứ nhất trở đi, vật nào có tốc độ lớn hơn? Vì sao?

Lời giải:

a) Quan sát hình 24, ta thấy:

Tung độ giao điểm của hai đường thẳng d₁, d₂ đều bằng 2.

Nhận xét: Hai chuyển động đều có cùng tốc độ ban đầu là 2m/s.

b) Trong 2 đường thẳng d₁, d₂ đường thẳng d₂ có hệ số góc lớn hơn.

c) Từ giây thứ nhất trở đi, vật thứ hai có tốc độ lớn hơn vì đường thẳng d₂ cao hơn đường thẳng d₁ từ giây thứ nhất.