Giải SGK Toán 8 Cánh Diều Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Khởi động: Làm thế nào để biến đổi được đa thức 3x2 – 5x dưới dạng tích của hai đa thức?

Lời giải:

Để biến đổi được đa thức 3x2 – 5x dưới dạng tích của hai đa thức, ta áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ta biến đổi như sau: 3x2 – 5x = x(3x – 5).

I. Phân tích đa thức thành phân tử

Hoạt động 1: Viết đa thức 6x2 – 10x thành tích của hai đa thức bậc nhất.

Lời giải:

II. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành phân tử

Hoạt động 2: Viết mỗi đa thức sau dưới dạng tích của hai đa thức:

a) x2 – y2;

b) x3 – y3;

c) x3 + y3.

Lời giải:

a. x2−y2 = (x−y)(x+y)

b. x3−y3 = (x−y)(x2+xy+y2)

c. x3+y3 = (x+y)(x2−xy+y2)

Luyện tập, vận dụng 1: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) (x + 2y)2 – (2x – y)2;

b) 125 + y3;

c) 27x3 – y3.

Lời giải:

a) (x + 2y)2 – (2x – y)2 = [(x + 2y) + (2x – y)] [(x + 2y) – (2x – y)]

= (x + 2y + 2x – y)(x + 2y – 2x + y) = (3x + y)(3y – x);

b) 125 + y3 = 53 + y3 = (y + 5)(y2 – 5y + 52);

c) 27x3 – y3 = (3x)3 – y3 = (3x – y)[(3x)2 – 3xy + y2]

= (3x – y)(9x2 – 3xy + y2).

Hoạt động 3: Cho đa thức x2 – 2xy + y2 + x – y.

a) Nhóm ba số hạng đầu và sử dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích.

b) Phân tích đa thức trên thành nhân tử.

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 2: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) 3x2 – 6xy + 3y2 – 5x + 5y;

b) 2x2y + 4xy2 + 2y3 – 8y.

Lời giải:

a. 3x2−6xy+3y2−5x+5y

= 3(x2−2xy+y2)−5(x−y)

= 3(x−y)2−5(x−y)

= (x−y)(3x−3y−5)

b. 2x2y+4xy2+2y3−8y

= 2x2y+4xy2+2y3−8y

= 2y(x2+2xy+y2)−8y

= 2y((x+y)2−22)

= 2y(x+y−2)(x+y+2)

Bài tập

Bài tập 1: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x2 – 12xy + 9y2;

b) x3 + 6x2 + 12x + 8;

c) 8y3 – 12y2 + 6y – 1;

d) (2x + y)2 – 4y2;

e) 27y3 + 8;

g) 64 – 125x3.

Lời giải:

a) 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x)2 – 2 . 2x . 3y + (3y)2 = (2x – 3y)2;

b) x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 3)3;

c) 8y3 – 12y2 + 6y – 1 = (2y)3 – 3 . (2y)2 . 1 + 3 . 2y . 1 – 13 = (2y – 1)3;

d) (2x + y)2 – 4y2 = (2x + y + 4y)(2x + y – 4y) = (2x + 5y)(2x – 3y);

e) 27y3 + 8 = (3y)3 + 23 = (3y + 2)[(3y)2 – 3y . 2 + 22]

= (3y + 2)(9y2 – 6y + 4);

g) 64 – 125x3 = 43 – (5x)3 = (4 + 5x)[42 + 4 . 5x + (5x)2]

= (4 + 5x)(16 + 20x + 25x2).

Bài tập 2: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 25 + 4xy + 4y2;

b) x3 – y3 + x2y – xy2;

c) x4 – y4 + x3y – xy3.

Lời giải:

Bài tập 3: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A = x4 – 2x2y – x2 + y2 + y biết x2 – y = 6;

b) B = x2y2 + 2xyz + z2 biết xy + z = 0.

Lời giải:

a. A = x4−2x2y−x2+y2+y

Ta có: 

A = x4−2x2y−x2+y2+y

= (x4−2x2y+y2)−(x2−y)

= (x2−y)2−(x2−y)

= (x2−y)((x2−y)−1)

Theo bài ra ta có: x2−y=6.

Vậy A = 6.(6-1) = 30

b. B = x2y2+2xyz+z2

Ta có: 

B = x2y2+2xyz+z2

=(xy)2+2.xy.z+z2

= (xy+z)2

Theo bài ra ta có: xy+z=0

Vậy B = 02 = 0

Bài tập 4: Chứng tỏ rằng:

a) M = 322 023 – 322 021 chia hết cho 31;

b) N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 chia hết cho 8.

Lời giải:

a) Ta có M = 322 023 – 322 021 = 322 . 322 021 – 322 021

= (322 – 1) . 322 021 = (1024 – 1) . 322 021 = 1023 . 322 021

Vì 1023 ⋮ 31 nên (1023 . 322 021) ⋮ 31.

Do đó M = 322 023 – 322 021 chia hết cho 31;

b) Ta có N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 = (73)2 + 2 . 73 +1 + 82022

= (73 + 1)2 + 82022 = 3442 + 82022.

Vì 344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8 nên 3442 ⋮ 8; 82022 ⋮ 8.

Do đó (3442 + 82022) ⋮ 8

Vậy N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 chia hết cho 8.

Bài tập 5: Bác Hoa gửi tiết kiệm a đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng với lãi suất x%/năm.

a) Viết công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng dưới dạng tích, biết bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng trong 12 tháng đó.

b) Sau kì hạn 12 tháng, tiền lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Viết công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng trên dưới dạng tích, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Lời giải: