Giải SGK Toán 8 Cánh Diều Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Khởi động: Ở lớp 6, ta đã biết cách nhân, chia các phân số. Làm thế nào để nhân, chia được các phân thức đại số?

Lời giải:

- Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$.

- Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$.

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A.D}{B.C}$ với $\frac{C}{D}$ khác 0.

I. Phép nhân các phân thức đại số

Hoạt động 1: Nêu quy tắc phép nhân hai phân số.

Lời giải:

- Quy tắc phép nhân hai phân số: Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

Luyện tập, vận dụng 1: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x^3+1}{x^2-2x+1}.\frac{x-1}{x^2-x+1}$;

b) $(x^2-4x+4).\frac{2}{3x^2-6x}$.

Lời giải:

Hoạt động 2: Hãy nêu các tính chất của phép nhân phân số.

Lời giải:

Phép cộng phân số có các tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối đối với phép cộng, nhân với 1.

Với các số a, b, c, d, e, g (b, d, g ≠ 0), ta có:

- Giao hoán: $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{a}{b}$;

- Kết hợp: $\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{e}{g}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{e}{g}\right)$;

- Phân phối đối với phép cộng: $\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{g}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}+\frac{a}{b}.\frac{e}{g}$;

- Nhân với 1: $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$.

Luyện tập, vận dụng 2: Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{y+6}{x^2-4x+4}.\frac{x^2-1}{x+1}.\frac{x-2}{y+6}$;

b) $\left(\frac{1}{x-4}+\frac{2x+1}{x^2-8x+16}\right).\frac{x-4}{2x+1}$.

Lời giải:

a. y+6x2−4x+4.x2−4x+1.x−2y+6

= (y+6(x−2)2.x−2y+6).x2−4x+1

= 1x−2.(x−2)(x+2)x+1=x+2x+1

b. (1x−4+2x+1x2−8x+16).x−42x+1

= 1x−4.x−42x+1+2x+1x2−8x+16.x−42x+1

= 12x+1+x−4(x−4)2

= 12x+1+1x−4

= x−4+2x+1(2x+1)(x−4)

= 3x−32x2−8x+x−4

= 3x−32x2−7x−4

II. Phép chia các phân thức đại số

Hoạt động 3: Nêu quy tắc chia hai phân số.

Lời giải:

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Luyện tập, vận dụng 3: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x+y}{y-x}:\frac{x^2+xy}{3x^2-3y^2}$;

b) $\frac{x^3+y^3}{x-y}:(x^2-xy+y^2)$.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3x+6}{4x-8}.\frac{2x-4}{x+2}$;

b) $\frac{x^2-36}{2x+10}.\frac{x+5}{6-x}$;

c) $\frac{1-y^3}{y+1}.\frac{5y+5}{y+2y+1}$;

d) $\frac{x+2y}{4x-24xy+y2}.(2x-y)$.

Lời giải:

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{20x}{3y^2}:\left(-\frac{15x^2}{6y}\right)$;

b) $\frac{9x^2-y^2}{x+y}:\frac{3x+y}{2x+2y}$;

c) $\frac{x^3+y^3}{y-x}:\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}$;

d) $\frac{9-x^2}{x}:(x-3)$.

Lời giải:

a. 20x3y2:(−15x26y) = (−1).20x3y2.6y15x2=−83xy

b. 9x2−y2x+y:3x+y2x+2y = (3x−y)(3x+y)x+y.2(x+y)3x+y=2(3x−y)=6x−2y

c. x3+y3y−x:x2−xy+y2x2−2xy+y2 = (x+3)(x2−xy+y2)y−x.x2−2xy+y2x2−xy+y2

= (x+3)(x−y)2y−x=(x+3)(x−y)2(−1)(x−y)=−(x+3)(x−y)=−x2+xy−3x+3y

d. 9−x2x:(x−3) = (3−x)(3+x)x.1x−3=3+xx

Bài tập 3: Tính một cách hợp lí:

Lời giải:

Bài tập 4: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $A=\left(\frac{x}{xy-y^2}+\frac{2x-y}{xy-x^2}\right).\frac{x^{2}y-x{y}^2}{{(x-y)}^2}$;

b) $B=\left(\frac{1}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x^2-4x+4}\right):\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}\right).(x^2-4)$.

Lời giải:

Do đó, giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Do đó, giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài tập 5: Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng. Gọi x là số ngày xí nghiệp cần làm theo quy định. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Tỉ số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Lời giải:

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định: 120x

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế: 125x−1

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định:

125x−1:120x=125x120x−120

Bài tập 6: Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hết x giờ. Sau khi trả hàng tại địa điểm B, xe quay ngược trở lại địa điểm A nhưng thời gian xe chạy về đến A chỉ là x – 1 giờ. Biết quãng đường AB dài 160 km, viết phân thức biểu thị theo x:

a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B;

b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A;

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A.

Lời giải: