Giải SGK Toán 8 Cánh Diều Bài tập cuối chương V

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có $\hat{A}=60°,\hat{B}=70°,\hat{C}=80°$. Khi đó, $\hat{D}$ bằng

A. 130°.

B. 140°.

C. 150°.

D. 160°.

Đáp án: C

Giải thích:

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$.

Suy ra $\hat{D}=360°-\hat{A}-\hat{B}-\hat{C}=360°-60°-70°-80°=150°$.

Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, $\hat{A}=80°$. Khi đó, $\hat{C}$ bằng

A. 80°.

B. 90°.

C. 100°.

D. 110°.

Đáp án: C

Giải thích:

Bài tập 3: Cho hình bình hành MNPQ có các góc khác 90°, MP cắt NQ tại I. Khi đó

A. IM = IN.

B. IM = IP.

C. IM = IQ.

D. IM = MP.

Đáp án: B

Giải thích:

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP cắt NQ tại I nên I là trung điểm của mỗi đường.

Do I là trung điểm của MP nên IM = IP.

Bài tập 4: Cho hình chữ nhật MNPQ. Đoạn thẳng MP bằng đoạn thẳng nào sau đây?

A. NQ.

B. MN.

C. NP.

D. QM.

Đáp án: A

Giải thích:

Vì MNPQ là hình chữ nhật nên MP = NQ vì hai hai đường chéo bằng nhau

Bài tập 5: Hình 72 mô tả một cây cao 4 m. Biết rằng khi trời nắng, cây đổ bóng trên mặt đất, điểm xa nhất của bóng cây cách gốc cây một khoảng là 3 m. Tính khoảng cách từ điểm xa nhất của bóng cây đến đỉnh 4 m của cây.

Lời giải:

Bài tập 6: Màn hình một chiếc ti vi có dạng hình chữ nhật với kích thước màn hình ti vi được tính bằng độ dài đường chéo của màn hình (đơn vị: inch, trong đó 1 inch = 2,54 cm). Người ta đưa ra công thức tính khoảng cách an toàn khi xem ti vi để giúp khách chọn được chiếc ti vi phù hợp với căn phòng hàng của mình như sau:

    Khoảng cách tối thiểu = 5,08 . d (cm);

Khoảng cách tối đa = 7,62 . d (cm).

Trong đó, d là kích thước màn hình ti vi tính theo inch.

Với một chiếc ti vi có chiều dài màn hình là 74,7 cm; chiều rộng màn hình là 32 cm:

a) Kích thước màn hình của chiếc ti vi đó là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Khoảng cách tối thiểu và khoảng cách tối đa để xem chiếc ti vi đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Màn hình chiếc ti vi được mô tả như hình vẽ trên với chiều dài màn hình là AC = 74,7 cm; chiều rộng màn hình là AB = 32 cm.

a) Do màn hình ti vi có dạng hình chữ nhật nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có kích thước màn hình của chiếc ti vi đó là:

$d=BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\mathrm{74,7}}^2+{32}^2}\approx \mathrm{81,27}\left(cm\right)$

                                                              $=\frac{\mathrm{81,27}}{\mathrm{2,54}}\left(inch\right)\approx 32\left(inch\right)$.

b) Khoảng cách tối thiểu để xem chiếc ti vi đó là:

5,08 . 32 = 162,56 (cm) ≈ 1,6 (m).

Khoảng cách tối đa để xem chiếc ti vi đó là:

7,62 . 32 = 243,84 ≈ 2,4 (m).

Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD có ${\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}DAB}}^{}=DAB^\backslash widehat\{DAB\}BCD,DAB^\backslash widehat\{DAB\}ADB={\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}CDB}}^{}$. Chứng minh ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Bài tập 8: Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

Lời giải:

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AD = BC.

Vì M là trung điểm của AB nên $MA=MB=\frac{1}{2}AB$;

      N là trung điểm của CD nên $PC=PD=\frac{1}{2}CD$

Do đó MA = MB = PC = PD.

Tương tự ta cũng có QA = QD = NB = NC.

• Xét ΔAMQ và ΔBMN có:

${\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}MAQ}}^{}={\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}MBN}}^{}=90°$ (do ABCD là hình chữ nhật);

MA = MB (chứng minh trên);

QA = NB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBMN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MQ = MN (hai cạnh tương ứng)      (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

+) ΔBMN = ΔCPN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MN = PN (hai cạnh tương ứng)      (2)

+) ΔCPN = ΔDPQ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra PN = PQ (hai cạnh tương ứng)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = PN = PQ = MQ.

• Tứ giác MNPQ có MN = PN = PQ = MQ nên là hình thoi.

Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm D, G sao cho AD = CG < AC. Từ điểm D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AB). Chứng minh tứ giác CDEG là hình chữ nhật.

Lời giải:

Bài tập 10: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Lời giải:

• Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB – AM = BC – BN = CD – CP = DA – DQ

Hay MB = NC = PD = QA

• Xét ΔAMQ và ΔBNM có:

${\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}MAQ}}^{}={\mathrm{NBM^\backslash widehat\{NBM\}NBM}}^{}=90°$;

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.

Khi đó MN = NP = PQ = QM.

• Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

• Do ΔAMQ = ΔBNM (chứng minh trên) nên ${\mathrm{AMQ^\backslash widehat\{AMQ\}AMQ}}^{}={\mathrm{BNM^\backslash widehat\{BNM\}BNM}}^{}$ (hai góc tương ứng)

Mà ${\mathrm{BNM^\backslash widehat\{BNM\}BNM}}^{}+{\mathrm{BMN^\backslash widehat\{BMN\}BMN}}^{}=90°$ (do ΔBMN vuông tại B)

Suy ra ${\mathrm{AMQ^\backslash widehat\{AMQ\}AMQ}}^{}+\stackrel{}{}BMN^\backslash widehat\{BMN\}BMN =90°$

Lại có ${\mathrm{AMQ^\backslash widehat\{AMQ\}AMQ}}^{}+{\mathrm{QMN^\backslash widehat\{QMN\}QMN}}^{}+{\mathrm{BMN^\backslash widehat\{BMN\}BMN}}^{}=180°$

Suy ra ${\mathrm{QMN^\backslash widehat\{QMN\}QMN}}^{}=180°-\left({\mathrm{AMQ^\backslash widehat\{AMQ\}AMQ}}^{}+{\mathrm{BMN^\backslash widehat\{BMN\}BMN}}^{}\right)=180°-90°=90°$.

• Hình thoi MNPQ có ${\mathrm{QMN^\backslash widehat\{QMN\}QMN}}^{}=90°$ nên là hình vuông.

Bài tập 11: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:

a) ΔIAM = ΔICN;

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành;

c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Lời giải:

b) Ta có: AM = CN (gt)

AM // CN (vì M ∈ AB, N ∈ CD)

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành

Suy ra I là trung điểm của AC

Suy ra I là trung điểm của BD (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) $OD=\frac{1}{2}CM$ và tam giác ACM là tam giác vuông;

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng;

c) Tam giác DCM là tam giác cân.

Lời giải:

a) • Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra $OD=\frac{1}{2}BD$.

Do BCMD là hình bình hành nên BD = CM.

Do đó $OD=\frac{1}{2}CM$.

• Ta có: CM // BD (do BCMD là hình bình hành)

              AC ⊥ BD (chứng minh trên)

Do đó CM ⊥ AC hay ${\mathrm{MCA^\backslash widehat\{MCA\}MCA}}^{}=90°$

Vây tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Vì ABCD là hình thoi nên AD // BC

Vì BCMD là hình bình hành nên DM // BC

Do đó qua điểm D có hai đường thẳng AD và DM cùng song song với đường thẳng BC nên AD trùng với DM (Tiên đề Euclid)

Hay ba điểm A, D, M thẳng hàng.

c) Ta có: BD // CM (chứng minh câu a) nên:

+$BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC={\mathrm{DCM^\backslash widehat\{DCM\}DCM}}^{}$ (so le trong);   (1)

+ ${\mathrm{ADB^\backslash widehat\{ADB\}ADB}}^{}={\mathrm{DMC^\backslash widehat\{DMC\}DMC}}^{}$ (đồng vị)         (2)

Do ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc ADC

Do đó $ADB^\backslash widehat\{ADB\}ADB={\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}$                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ${\mathrm{DCM^\backslash widehat\{DCM\}DCM}}^{}=$$\widehat{DMC}$.

Xét ΔDCM có ${\mathrm{DCM^\backslash widehat\{DCM\}DCM}}^{}={\mathrm{DMC^\backslash widehat\{DMC\}DMC}}^{}$ nên là tam giác cân tại D.

Bài tập 13: Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh:

a) ΔABM = ΔBCN;

b) ${\mathrm{BAO^\backslash widehat\{BAO\}BAO}}^{}={\mathrm{BAO^\backslash widehat\{BAO\}MBO}}^{}$;

c) AM ⊥ BN.

Lời giải: