Giải SGK Toán 8 Cánh Diều Bài 4: Hình bình hành

Khởi động: Trong thiết kế tay vịn cầu thang (Hình 34), người ta thường để các cặp thanh sườn song song với nhau, các cặp thanh trụ song song với nhau, tạo nên các hình bình hành.

Lời giải:

‒ Hình bình hành có:

+ Các cạnh đối song song và bằng nhau;

+ Các góc đối bằng nhau;

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

‒ Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:

+ Tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành.

I. Định nghĩa

Hoạt động 1: Cho biết các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC của tứ giác ABCD ở Hình 35 có song song với nhau hay không.

Lời giải:

- Các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC của tứ giác ABCD ở Hình 35 có song song với nhau.

II. Tính chất

Hoạt động 2: Cho hình bình hành ABCD (Hình 37).

a) Hai tam giác ABD và CDB có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: AB và CD; DA và BC.

b) So sánh các cặp góc: $\widehat{DAB}$ và ${\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}BCD}}^{}$; ${\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}ABC}}^{}$ và ${\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}CDA}}^{}$.

c) Hai tam giác OAB và OCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: OA và OC; OB và OD.

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 1: Cho hình bình hành ABCD có $\hat{A}=80°$, AB = 4 cm, BC = 5 cm. Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD.

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:

• CD = AB = 4 cm;

• AD = BC = 5 cm;

• $\hat{C}=\hat{A}=80°$;

• $\hat{B}=\hat{D}$

Mặt khác BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

Nên $\hat{A}+\hat{B}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\hat{B}=180°-\hat{A}=180°-80°=100°$

Do đó $\hat{D}=\hat{B}=100°$.

III. Dấu hiệu nhận biết

Hoạt động 3: 

a) Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC = DA (Hình 39).

• Hai tam giác ABC và CDA có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}$ và ${\mathrm{DCA^\backslash widehat\{DCA\}DCA}}^{}$; $\widehat{ACB}$ và ${\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}$.

• ABCD có phải là hình bình hành hay không?

b) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (Hình 40).

• Hai tam giác ABO và CDO có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}$ và ${\mathrm{DCA^\backslash widehat\{DCA\}DCA}}^{}$; ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}$ và ${\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}$.

• ABCD có phải là hình bình hành hay không?

Lời giải:

a) • Xét ΔABC và ΔCDA có:

AB = CD (giả thiết); BC = DA (giả thiết); AC là cạnh chung

Do đó ΔABC = ΔCDA (c.c.c)

Suy ra ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=$$\widehat{DCA}$ và ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}={\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}$ (các cặp góc tương ứng).

• Ta có$BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC=$$\widehat{DCA}$ và ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{},{\mathrm{DCA^\backslash widehat\{DCA\}DCA}}^{}$ ở vị trí so le trong nên AB // CD.

          ${\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}ACB}}^{}={\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}$ và ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{},\stackrel{}{}$$\widehat{CAD}$ ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC nên là hình bình hành.

b) • Xét ΔABO và ΔCDO có:

OA = OC (giả thiết); ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}={\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}COD}}^{}$ (đối đỉnh); OB = OD (giả thiết)

Do đó ΔABO = ΔCDO (c.g.c)

Suy ra $AOB^\backslash widehat\{AOB\}BAO={\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}DOC}}^{}$ (cặp góc tương ứng)

Hay ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}={\mathrm{DCA^\backslash widehat\{DCA\}DCA}}^{}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có: ΔCBO = ΔADO (c.g.c)

Suy ra ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}OCB}}^{}={\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}OAD}}^{}$ (cặp góc tương ứng)

Hay ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}={\mathrm{CAD^\backslash widehat\{CAD\}CAD}}^{}$.

• Ta có ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}={\mathrm{DCA^\backslash widehat\{DCA\}DCA}}^{}$ và $DCA^\backslash widehat\{DCA\}DCA^\backslash widehat\{DCA\}DCA^\backslash widehat\{DCA\}BAC,$$\widehat{DCA}$ ở vị trí so le trong nên AB // CD.

${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}=\stackrel{}{}$$\widehat{CAD}$ và ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{},\stackrel{}{}$$\widehat{CAD}$ ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC nên là hình bình hành.

Luyện tập, vận dụng 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn OA = OC và $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có ${\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}DAB}}^{}={\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}BCD}}^{},{\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}ABC}}^{}={\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}CDA}}^{}$. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh:      

a) $DAB^\backslash widehat\{DAB\}ABC\; +{\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}DAB}}^{}=180º$;

b) $DAB^\backslash widehat\{DAB\}xAD={\mathrm{DAB^\backslash widehat\{DAB\}ABC}}^{}$; AD // BC;

c) Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.

Lời giải:

• Xét ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra $GM=\frac{GB}{2}$; $GN=\frac{GC}{2}$ (tính chất trọng tâm của tam giác)    (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên $GP=PB=\frac{GB}{2}$ (2)

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên $GQ=QC=\frac{GC}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ.

• Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Bài tập 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42). Chứng minh:

a) CD = MN;

b) ${\mathrm{BCD^\backslash widehat\{BCD\}BCD}}^{}+{\mathrm{BMN^\backslash widehat\{BMN\}BMN}}^{}={\mathrm{BMN^\backslash widehat\{BMN\}DAN}}^{}$.

Lời giải:

a. Vì ABCD là hình bình hành nên cặp cạnh đối CD = AB.

Vì ABMN là hình bình hành nên cặp cạnh đối MN = AB.

=> CD = MN

b. Trong hình bình hành ABCD có 2 góc đối nhau BCD = DAB

Trong hình bình hành ABMN có 2 góc đối nhau BMN = BAN

Bài tập 4: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (Hình 43). Người ta đo được CD = 100 m. Tính độ dài của AB.

Lời giải:

Ta có: AC giao với BD tại O.

Mà: OA = OC; OB = OD

Nên tứ giác ABCD là hình bình hành

Suy ra AB = CD = 100m.

Bài tập 5: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc C (Hình 44). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?

Bạn Hùng đã làm như sau:

– Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC, qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC;

– Gọi E là giao điểm của d và d’;

– Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (Hình 45).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng.

Lời giải:

• Vì d // BC (giả thiết) nên AE // BC;

Vì d’ // AC (giả thiết) nên BE // AC.

• Xét tứ giác ACBE có: AE // BC (chứng minh trên) và BE // AC (chứng minh trên)

Do đó tứ giác ACBE là hình bình hành

Bạn Hùng chứng minh được tứ giác ACBE là hình bình hành có các tính chất trên, đo độ dài các đoạn thẳng BE, AE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (Hình 45).