Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1: Bất đẳng thức

Khởi động: Theo quy định của một hãng bay, khối lượng hành lí xách tay của khách hàng phổ thông không được vượt quá 12 kg. Gọi m là khối lượng hành lí xách tay của một khách hàng phổ thông. Hệ thức nào biểu diễn khối lượng hành lí đúng quy định của hãng bay?

Trả lời:

- Khối lượng hành lí xách tay của khách hàng phổ thông không được vượt quá 12 kg, nghĩa là khối lượng hành lí đúng quy định của hãng bay nhỏ hoặc bằng 12 kg. Vậy hệ thức biểu diễn khối lượng hành lí đúng quy định của hãng bay là: m ≤ 12.

1. Khái niệm bất đẳng thức

Khám phá 1: Cho hai số thực x và y được biểu diễn trên trục số (Hình 1).

Hãy cho biết số nào lớn hơn.

Trả lời:

Ta có x < y.

Thực hành 1: Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) x nhỏ hơn 5;

b) a không lớn hơn b;

c) m không nhỏ hơn n.

Trả lời:

a) Để diễn tả x nhỏ hơn 5, ta có bất đẳng thức x < 5.

b) Ta có a không lớn hơn b hay a nhỏ hơn hoặc bằng b.

Do đó, để diễn tả a không lớn hơn b, ta có bất đẳng thức a ≤ b;

c) Ta có m không nhỏ hơn n hay m lớn hơn hoặc bằng n.

Do đó, để diễn tả m không nhỏ hơn n, ta có bất đẳng thức m ≥ n.

2. Tính chất của bất đẳng thức

Khám phá 2: Cho a, b, c là ba số thỏa mãn a > b và b > c. Trong hai số a và c, số nào lớn hơn? Vì sao?

Trả lời:

a > c vì a > b mà b > c => a > c

Thực hành 2: So sánh hai số m và n, biết m ≤ π và n ≥ π.

Trả lời:

Ta có m ≤ π  mà n ≥ π suy ra m ≤ n

Khám phá 3: Thay mỗi ? sau bằng dấu thích hợp (>, <):

a)       4 > 1

b)             −10 < −5

Trả lời:

a)       4 > 1

 (vì 4 + 15 = 19; 1 + 15 = 16; 19 > 16).

b)             −10 < −5

 (vì −10 + (−15) = −25; −5 + (−15) = −20; −25 < −20).

Thực hành 3: So sánh hai số −3 + 2350 và −2 + 2350.

Trả lời:

Ta có  -3 < -2 

=> -3 + 2350 < -2 + 2350

Thực hành 4: Cho hai số m và n thỏa mãn m > n. Chứng tỏ m + 5 > n + 4.

Trả lời:

Cộng 5 vào hai vế của bất đẳng thức m > n, ta được: m + 5 > n + 5    (1)

Cộng n vào hai vế của bất đẳng thức 4 < 5, ta được: 4 + n < 5 + n hay n + 4 < n + 5   (2)

Từ (1) và (2) suy ra m + 5 > n + 4 (bắc cầu).

Vận dụng 1: Gọi a là số tuổi của bạn Na, b là số tuổi của bạn Toàn, biết rằng bạn Toàn lớn tuổi hơn bạn Na. Hãy dùng bất đẳng thức để biểu diễn mối quan hệ về tuổi của hai bạn đó ở hiện tại và sau ba năm nữa.

Trả lời:

Ta có a < b

Sau 3 năm ta có a + 3 và b + 3 là số tuổi của hai bạn

=> a + 3 < b + 3

Khám phá 4: Thay mỗi ? sau bằng dấu thích hợp (>, <):

a)       3 > 2

b)       −10 < −2

c)          5 > 3

d)             −10 < −2

Trả lời:

a)       3 > 2

 (vì 3 . 17 = 51; 2 . 17 = 34; 51 > 34).

b)       −10 < −2

 (vì −10 . 5 = −50; −2 . 5 = −10; −50 < −10).

c)          5 > 3

 (vì 5 . (−2) = −10; 3 . (−2) = −6; −10 < −6).

d)             −10 < −2

 (vì (−10) . (−7) = 70; (−2) . (−7) = 14; 70 > 14).

Thực hành 5: Hãy so sánh: (−163) . (−75)15 và (−162) . (−75)15.

Trả lời:

Ta có – 163 < - 162

Nhân cả hai vế bất đẳng thức với (-75)15, ta được: (-163).(-75)15 > (-162).(-75)15.

Thực hành 6: Cho hai số m, n thỏa mãn 0 < m2 < n2. Chứng tỏ $\frac{3}{2}{m}^2<2n^2$

Trả lời:

Nhân hai vế của bất đẳng thức m2 < n2 với 2, ta được:

2m2 < 2n2.        (1)

Vì m2 > 0 nên khi nhân hai vế của bất đẳng thức $2>\frac{3}{2}$  ta được:

$2m^2>\frac{3}{2}{m}^2$ hay  $\frac{3}{2}{m}^2<2m^2$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{3}{2}{m}^2<2n^2$  (tính chất bắc cầu).

Vận dụng 2: Cho biết −10m ≤ −10n, hãy so sánh m và n.

Trả lời:

-10m < -10n 

=> m > n

Bài tập

Bài tập 1: Dùng các dấu >, <, ≥, ≤ để diễn tả:

a) Tốc độ v đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4a.

b) Trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4b.

Trả lời:

a) Trong Hình 4a, biển báo chỉ tốc độ tối đa cho phép là 70 km/h.

Do đó ta có v ≤ 70 (v tính theo đơn vị km/h).

b) Trong Hình 4b, biển báo chỉ trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu không vượt quá 10 tấn.

Do đó ta có P ≤ 10 (P tính theo đơn vị tấn).

Bài tập 2: Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) m lớn hơn 8;

b) n nhỏ hơn 21;

c) x nhỏ hơn hoặc bằng 4;

d) y lớn hơn hoặc bằng 0.

Trả lời:

a) m > 8

b) n < 21

c) x  4

d) y 0

Bài tập 3: Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m > 5 với −4;

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức x2 ≤ y + 1 với 9;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức x > 1 với 3, rồi tiếp tục cộng với 2;

d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức m ≤ −1 với −1, rồi tiếp tục cộng với −7.

Trả lời:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m > 5 với – 4, ta được: m – 4 > 5 – 4 suy ra m – 4 > 1

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức x2 ≤ y + 1 với 9, ta được: x2 + 9 ≤ y + 10

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức x > 1 với 3, ta được 3x > 3

Tiếp tục cộng với 2, ta được: 3x + 2 > 5

d) Cộng hai vế của bất đẳng thức m ≤  - 1 với – 1, ta được m – 1 ≤ - 2

Tiếp tục cộng với – 7, ta được: m – 8 ≤ - 9.

Bài tập 4: So sánh hai số x và y trong mỗi trường hợp sau:

a) x + 5 > y + 5;

b) −11x ≤ −11y;

c) 3x – 5 < 3y – 5;

d) −7x + 1 > −7y + 1.

Trả lời:

a) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức x + 5 > y + 5 với –5 ta được:

x + 5 + (–5) > y + 5 + (–5

x > y.

Vậy x > y.

b) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức −11x ≤ −11y với $\frac{-1}{11}$  ta được:

$-11x.\left(\frac{-1}{11}\right)\ge -11y.\left(\frac{-1}{11}\right)$

x ≥ y.

Vậy x ≥ y.

c) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức 3x – 5 < 3y – 5 với 5 ta được:

3x – 5 + 5 < 3y – 5 + 5

3x < 3y.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức 3x < 3y với $\frac{1}{3}$  ta được:

$3x.\frac{1}{3}<3y.\frac{1}{3}$

x < y.

Vậy x < y.

d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức −7x + 1 > −7y + 1 với −1 ta được:

−7x + 1 + (−1) > −7y + 1 + (−1)

−7x > −7y.

Nhân vào hai vế của bất đẳng thức −7x > −7y với $-\frac{1}{7}$  ta được:

-7x.$\left(\frac{-1}{7}\right)$ < -7y .$\left(\frac{-1}{7}\right)$

x < y.

Vậy x< y.

Bài tập 5: Cho hai số a, b thỏa mãn a < b. Chứng tỏ:

a) b – a > 0;

b) a – 2 < b – 1;

c) 2a + b < 3b;

d) –2a – 3 > –2b – 3.

Trả lời:

a) Vì a < b => b – a > 0 (đpcm)

b) a – b < - 1 + 2

a – b < 1

Vì a < b => a – b < 0 => a – b < 1 => a – 2 < b – 1 (đpcm)

c) 2a + b < 3b

<=>2a – 2b < 0

<=>a – b < 0

Vì a < b => a – b < 0 => 2a + b < 3b (đpcm)

d) -2a – 3 > -2b – 3

<=>-2a + 2b > 0

<=>b – a > 0

Vì b > a => b – a >0 

=> -2a – 3 > -2b – 3 (đpcm)

Đố vui: Tìm lỗi sai trong lập luận sau:

Bạn Trang nhỏ tuổi hơn bạn Mai, bạn Mai nhẹ cân hơn bạn Tín. Gọi a và b lần lượt là số tuổi của bạn Trang và bạn Mai; b và c là số cân nặng của bạn Mai và bạn Tín. Vì a < b và b < c nên theo tính chất bắc cầu ta suy ra a < c. Vậy bạn Trang nhỏ tuổi hơn bạn Tín.

Trả lời:

Lỗi sai: khi b là số tuổi của bạn Mai thì b không thể là số cân nặng của bạn Mai. Vì vậy không thể suy ra bạn Trang nhỏ tuổi hơn bạn Tín.