Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khởi động: Tại một thời điểm, khi những tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông như hình bên. Với $\hat{C}=\widehat{C^{\prime }},$ so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}.$

Trả lời:

Với $\hat{C}=\widehat{C^{\prime }}$ nên $\tan \hat{C}=\tan \widehat{C^{\prime }}$.  (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\tan \hat{C}=\frac{AB}{AC}$ (2)

Xét tam giác A’B’C’ vuông tại A’, ta có: $\tan \widehat{C^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khám phá 1: Cho góc nhọn $\widehat{mOn}=\alpha .$ Lấy hai điểm A và A' trên On, kẻ hai đường thẳng qua A và A' vuông góc với On cắt Om lần lượt tại B và B'.

a) Có nhận xét gì về hai tam giác OAB và OA'B' ?

b) So sánh các cặp tỉ số:

$\frac{AB}{OA}$ và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{O{A}^{\prime }};\frac{AB}{OB}$và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{O{B}^{\prime }};\frac{OA}{OB}$và $\frac{O{A}^{\prime }}{O{B}^{\prime }}.$

Trả lời:

Thực hành 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn A trong mỗi tam giác vuông ABC có $\hat{B}=90°$ ở Hình 5 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

• Hình 5a:

Xét ∆ABC có  $\hat{B}=90°,\hat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}=0,8;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}=0,6;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}\approx 1,33;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}=0,75.$

• Hình 5b:

Xét ∆ABC có $\hat{B}=90°,\hat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{17}}\approx 0,24;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{\sqrt{17}}\approx 0,97;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{1}{4}=0,25;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{4}{1}=4.$

• Hình 5c:

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC2 = AB2 + BC2 nên BC2 = AC2 − AB2 = 32 − 22 = 5.

Suy ra $BC=\sqrt{5}$.

Xét ∆ABC có $\hat{B}=90°,\hat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,75;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}\approx 0,67;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,12;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0,89.$

• Hình 5d:

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=10+6=16$.

Suy ra $AC=\sqrt{16}=4$.

Xét ∆ABC có $\hat{B}=90°,\hat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0,61;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{4}\approx 0,79;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}\approx 0,77;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}\approx 1,29.$       

Vận dụng 1: Sử dụng tỉ số lượng giác để giải thích tình huống trong Hoạt động khởi động (trang 60).

Tại một thời điểm, khi những tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông như hình bên. Với $\hat{C}=\widehat{C^{\prime }},$  so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$  và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}.$

Trả lời:

Khám phá 2: 

a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a (Hình 6a). Tính độ dài cạnh huyền BC theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 45°.

b) Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng a (Hình 6b). Tính độ dài đường cao MH theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 30° và góc 60°.

Trả lời:

a) BC = 

sin BCA = 

cos BCA =  

tan BCA = 

cot BCA =  = 1

b) MH = 

sin NMH = 

cos NMH = 

tan NMH = 

cot NMH = 

sin MNH = 

cos NMH = 

tan NMH = 

cot NMH = 

Thực hành 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Trả lời:

Vận dụng 2: Tìm chiều cao của tháp canh trong Hình 7 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Khám phá 3: 

a) Tính các tỉ số lượng giác của góc α và của góc 90° – α trong Hình 8 theo a, b, c.

b) So sánh $\sin \hat{B}$  và $\cos \hat{C}$ , $\cos \hat{B}$  và $\sin \hat{C}$ , $\tan \hat{B}$  và $\cot \hat{C}$ , $\tan \hat{C}$  và $\cot \hat{B}.$

Trả lời:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A. Ta có:

• Các tỉ số lượng giác của góc α là:     

• Các tỉ số lượng giác của góc 90° − α là:

b) So sánh $\sin \hat{B}$  và $\cos \hat{C}$ , $\cos \hat{B}$  và $\sin \hat{C}$ , $\tan \hat{B}$  và $\cot \hat{C}$ , $\tan \hat{C}$  và $\cot \hat{B}.$

Ta có $\hat{C}=\alpha ;\hat{B}=90°-\alpha$

Từ câu a, ta có:

Vậy $\sin \hat{B}=\cos \hat{C};\cos \hat{B}=\sin \hat{C};\tan \hat{B}=\cot \hat{C};\tan \hat{C}=\cot \hat{B}.$

Thực hành 3: 

a) So sánh: sin 72° và cos 18°; cos 72° và sin 18°; tan 72° và cot 18°.

b) Cho biết sin 18° ≈ 0,31; tan 18° ≈ 0,32. Tính cos 72° và cot 72°.

Trả lời:

a) sin 72o  = cos 18o ; cos 72o = sin 18o; tan 72o = cot 18o

b) cos 72o =0,31 và cot 18o = 0,32

Vận dụng 3: Tia nắng chiếu qua điểm B của nóc tòa nhà tạo với mặt đất một góc x và tạo với cạnh AB của tòa nhà một góc y (Hình 9). Cho biết cos x ≈ 0,78 và cot x ≈ 1,25. Tính sin y và tan y (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

3. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn bằng máy tính cầm tay

Thực hành 4: 

a) Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn):

22°;            52°;            15°20';            52°18'.

b) Tìm các góc nhọn x, y, z, t trong mỗi trường hợp sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm hoặc đến phút):

sin x = 0,723;          cos y = 0,828;

tan z = 3,77;            cot t = 1,54.

Trả lời:

a) ⦁ Ta tính các tỉ số lượng giác của góc 22° bằng máy tính cầm tay như sau:

Vậy các tỉ số lượng giác của góc 22° là:

sin 22° ≈ 0,375;               cos 22° ≈ 0,927;

tan 22° ≈ 0,404;               cot 22° ≈ 2,475.

• Tương tự như đối với góc 22°, ta tính được các tỉ số lượng giác của góc 52° là:

sin 52° ≈ 0,788;               cos 52° ≈ 0,616;

tan 52° ≈ 1,280;               cot 52° ≈ 0,781.

⦁ Ta tính các tỉ số lượng giác của góc 15°20’ bằng máy tính cầm tay như sau:

Vậy các tỉ số lượng giác của góc 15°20’ là:

sin 15°20' ≈ 0,264;           cos 15°20' ≈ 0,964;

tan 15°20' ≈ 0,274;           cot 15°20' ≈ 3,647.

• Tương tự như đối với góc 15°20’, ta tính được các tỉ số lượng giác của góc 52°18’ là:

sin 52°18' ≈ 0,791;           cos 52°18' ≈ 0,612;

tan 52°18' ≈ 1,294;           cot 52°18' ≈ 0,773.

b) Ta tìm x, y, z, t khi biết sin x, cos y, tan z, cot t bằng máy tính cầm tay như sau:

Vậy:

⦁ x ≈ 46,30° hoặc x ≈ 46°18’;

• y ≈ 34,11° hoặc y ≈ 34°6’;

• z ≈ 75,14° hoặc z ≈ 75°8’;

• t ≈ 33,00° hoặc t ≈ 33°’0’.

Vận dụng 4: 

a) Vẽ một tam giác vuông có một góc bằng 40°. Đo độ dài các cạnh rồi dùng các số đo để tính các tỉ số lượng giác của góc 40°. Kiểm tra lại các kết quả vừa tính bằng máy tính cầm tay.

b) Vẽ một tam giác vuông có ba cạnh bằng 3 cm, 4 cm, 5 cm. Tính các tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn. Dùng thước đo góc để đo các góc nhọn. Kiểm tra lại các kết quả bằng máy tính cầm tay.

Trả lời:

a) Vẽ tam giác vuông có một góc bằng 40°.

• Chẳng hạn tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=40°$ .

• Ta đo độ dài các cạnh của tam giác ABC lần lượt là:

AB = 5 cm, AC = 4 cm và BC ≈ 6,4 cm.

• Từ các độ dài các cạnh đo được, ta có các tỉ số lượng giác của góc 40° như sau:

• Kiểm tra lại bằng máy tính, ta có:

sin 40° ≈ 0,64;                 cos 40° ≈ 0,77;

tan 40° ≈ 0,84;                 cot 40° ≈ 1,19.

Nhận xét: Tỉ số lượng giá sau khi vẽ hình, đo độ dài các cạnh và tính so với tính bằng máy tính cầm tay, ta thu được hai kết quả gần bằng nhau.

b) Vẽ một tam giác vuông có ba cạnh bằng 3 cm, 4 cm, 5 cm.

• Chẳng hạn tam giác MNP vuông có MP = 3 cm, MN = 4 cm, NP = 5 cm.

Ta có MP2 + MN2 = 32 + 42 = 52 = NP2.

Theo định lí Pythagore đảo, ta có tam giác MNP vuông tại M.

• Các tỉ số lượng giác của góc N là:

• Vì tam giác MNP vuông tại M nên $\hat{N}$  và $\hat{P}$  là hai góc phụ nhau.

Khi đó, các tỉ số lượng giác của góc P là:

Dùng thước đo góc, ta có: $\hat{P}\approx 53°;\hat{N}\approx 37°.$.

Từ các tỉ số lượng giác ở trên, sử dụng máy tính cầm tay, ta thu được kết quả xấp xỉ kết quả khi đo góc.

Bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác của góc B trong mỗi trường hợp sau:

a) BC = 5 cm; AB = 3 cm;

b) BC = 13 cm; AC = 12 cm;

c) $BC=5\sqrt{2}cm;AB=5cm;$

d) $AB=a\sqrt{3};AC=a.$

Trả lời:

a) Ta có AC = 

sin B = 

Tương tự ta có cos B  = 3/5 ; tan B = 4/3; cot B = 3/4

b) Ta có AB = 

sin B = 12/13 ; cos B = 5/13; tan B = 12/5; cot B = 5/12

c) Ta có AC =  = 5 cm

sin B = ; cos B = ; tan B = 1; cot B = 1

d) Ta có BC = 

sin B = ½; cos B = ; tan B = ; cot B = 

Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Trả lời:

Bài tập 3: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°:

a) sin 60°;

b) cos 75°;

c) tan 80°.

Trả lời:

a) sin 60° = cos (90° – 60°) = cos 30°;

b) cos 75° = sin (90° – 75°) = cos 15°;

c) tan 80° = cot (90° – 80°) = cot 10°.

Bài tập 4: Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau:

a) 26°;

b) 72°;

c) 81°27'.

Trả lời:

a) Ta tính các tỉ số lượng giác của góc 26° bằng máy tính cầm tay như sau:

Vậy các tỉ số lượng giác của góc 26° là:

sin 26° ≈ 0,44;       cos 26° ≈ 0,90;

tan 26° ≈ 0,49;       cot 26° ≈ 2,05.

• Tương tự như đối với góc 26°, ta tính được các tỉ số lượng giác của góc 72° là:

sin 72° ≈ 0,95;       cos 72° ≈ 0,31;

tan 72° ≈ 3,08;       cot 72° ≈ 0,32.

⦁ Ta tính các tỉ số lượng giác của góc 81°27’ bằng máy tính cầm tay như sau:

Vậy các tỉ số lượng giác của góc 81°27’ là:

sin 81°27' ≈ 0,99;  cos 81°27' ≈ 0,15;

tan 81°27' ≈ 6,65;  cot 81°27' ≈ 0,15.

Bài tập 5: Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau:

a) cos α = 0,6;

b) $\tan \alpha =\frac{3}{4}.$

Trả lời:

a) Để tìm α khi biết cos α = 0,6, ta ấn liên tiếp các nút sau đây:

Và được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 53,13°.

Khi ta ấn thêm nút  thì được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 53°8'.

Vậy α ≈ 53,13° hoặc α ≈ 53°8'.

b)

Để tìm α khi biết $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ , ta ấn liên tiếp các nút sau đây:

Và được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 36,87°.

Khi ta ấn thêm nút  thì được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 36°52'.

Vậy α ≈ 36,87° hoặc α ≈ 36°52'.

Bài tập 6: Tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất một góc α. Cho biết tòa nhà cao 21 m và bóng của nó trên mặt đất dài 15 m (Hình 10). Tính góc α (kết quả làm tròn đến độ).

Trả lời:

Bài tập 7: Một cái thang 12 m được đặt vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 7 m (Hình 11). Tính góc α tạo bởi thang và tường.

Trả lời: