Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khởi động: Số lượng cây ăn trái của trang trại Đất Lành được cho trong bảng sau:

Số liệu trên được biểu diễn trong biểu đồ hình quạt tròn bên.

Hình các phần được chia từ hình tròn trong biểu đồ bên gọi là gì? Làm thế nào để vẽ được chúng?

Trả lời:

Hình các phần được chia từ hình tròn trong biểu đồ gọi là hình quạt tròn.

Để vẽ được hình quạt tròn, ta vẽ một đường tròn và chia đường tròn đã vẽ thành các cung, tô màu phần bên trong các cung ta được các hình quạt tròn.

1. Độ dài cung tròn

Khám phá 1: Một hàng rào bao quanh một sân cỏ hình tròn có bán kính 10 m (Hình 1) được ghép bởi 360 phần bằng nhau. Hãy tính:

a) Độ dài của toàn bộ hàng rào.

b) Độ dài của mỗi phần hàng rào.

c) Độ dài của n phần hàng rào.

Trả lời:

Thực hành 1: Tính độ dài cung 72° của một đường tròn có bán kính 25 cm.

Trả lời:

Cung 72°, bán kính 25 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 25\cdot 72}{180}=10\pi \approx 31,42\text{(cm).}$

Vận dụng 1: Tính độ dài của đoạn hàng rào từ A đến B của sân cỏ trong Hình 3, cho biết ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=80°$.

Trả lời:

2. Hình quạt tròn

Khám phá 2:

a) Ta có thể tính diện tích của miếng bánh pizza trong Hình 4a theo góc ở tâm và bán kính của ổ bánh hay không?

b) Chia một hình tròn bán kính R thành 360 phần bằng nhau.

i) Tính diện tích của mỗi phần đó.

ii) Tính diện tích phần hình tròn ghép bởi n phần bằng nhau nói trên (Hình 4b).

Trả lời:

a) Ta có thể tính diện tích của miếng bánh pizza trong Hình 4a theo góc ở tâm và bán kính của ổ bánh.

b) Một hình tròn bán kính R có diện tích là: πR2 (đơn vị diện tích).

i) Chia hình tròn thành 360 phần bằng nhau thì diện tích mỗi phần là: $\frac{\pi R^2}{360}$ (đơn vị diện tích).

ii) Diện tích phần hình tròn ghép bởi n phần bằng nhau là: $n\cdot \frac{\pi R^2}{360}$ (đơn vị diện tích).

Thực hành 2: Tính diện tích hình quạt tròn bán kính R = 20 cm, ứng với cung 72°.

Trả lời:

Hình quạt tròn bán kính R = 20 cm, ứng với cung 72° có diện tích là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot {20}^2\cdot 72}{360}=80\pi \approx 251,33{\text{(cm}}^2\text{).}$

Vận dụng 2: Tính diện tích của miếng bánh pizza có dạng hình quạt tròn trong Hình 8. Biết OA = 15 cm và $\widehat{AOB}=55°$

Trả lời:

3. Hình vành khuyên

Khám phá 3:

a) Vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính r = 5 cm và đường tròn (C’) tâm O bán kính R = 8 cm.

b) Tính diện tích S của (C) và diện tích S’ của (C’).

c) Hãy cho biết hiệu số (S’ – S) biểu diễn diện tích của phần nào trên Hình 9.

Trả lời:

a)

b) Diện tích S của đường tròn (C) là: S = π.52 = 25π (cm2).

Diện tích S’ của đường tròn (C’) là: S’ = π.82 = 64π (cm2).

c) Hiệu số (S’ – S) biểu diễn diện tích phần giới hạn bởi hai đường tròn (C) và (C’).

Thực hành 3: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 10 cm) và (O; 20 cm) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Vận dụng 3: Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) với R > r. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm B, C sao cho BC vừa là dây cung của (O; R), vừa là tiếp tuyến của đường tròn (O; r) tại A (Hình 11).

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC theo r và R.

b) Cho $BC=a\sqrt{3}.$ Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) theo a.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Tính độ dài các cung 30°; 90°; 120° của đường tròn (O; 6 cm).

Trả lời:

Xét đường tròn (O; 6 cm):

⦁ Cung 30°, bán kính 6 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 30}{180}=\pi \approx 3,14\text{(cm).}$

⦁ Cung 90°, bán kính 6 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 90}{180}=3\pi \approx 9,42\text{(cm).}$

⦁ Cung 120°, bán kính 6 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 120}{180}=4\pi \approx 12,57\text{(cm).}$

Bài tập 2: Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có số đo lần lượt là 30°; 90°; 120° của hình tròn (O; 12 cm).

Trả lời:

Bài tập 3: Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có độ dài lần lượt là 8 cm, 15 cm của hình tròn (O; 5 cm).

Trả lời:

Diện tích của hình quạt tròn bán kính R (cm), ứng với cung n° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}\cdot \frac{R}{2}=l\cdot \frac{R}{2}{\text{(cm}}^2\text{).}$

Xét hình tròn (O; 5 cm):

⦁ Nếu cung có độ dài 8 cm thì diện tích hình quạt tròn tương ứng là:

$S=l\cdot \frac{R}{2}=8\cdot \frac{5}{2}=20{\text{(cm}}^2\text{).}$

⦁ Nếu cung có độ dài 15 cm thì diện tích hình quạt tròn tương ứng là:

$S=l\cdot \frac{R}{2}=15\cdot \frac{5}{2}=37,5{\text{(cm}}^2\text{)}.$

Bài tập 4: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 9 cm) và (O; 12 cm).

Trả lời:

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 9 cm) và (O; 12 cm) là:

S = π(R2 – r2) = π(122 – 92) = 63π ≈ 197,92 (cm2).

Bài tập 5: Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55 cm và cung có số đo là 95° (Hình 12).

Trả lời:

Gọi các điểm như hình vẽ. Kẻ OH ⊥ AB.

Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O. Do đó đường cao OH đồng thời là đường phân giác và đường trung tuyến của tam giác.

Khi đó ${\mathrm{AOH^\backslash widehat\{AOH\}AOH}}^{}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 95°=47,5°$ và H là trung điểm của AB hay $AH=\frac{AB}{2}=\frac{55}{2}=27,5\text{(cm).}$

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có:

⦁ $AH=OA\cdot cos\widehat{AOH}.$ Suy ra $OA=\frac{AH}{cos\widehat{AOH}}=\frac{27,5}{cos47,5°}\approx 40,71\text{(cm).}$

⦁ $OH=AH\cdot \cot \widehat{AOH}=27,5\cdot \cot 47,5\approx 25,20\text{(cm).}$

Diện tích tam giác OAB là: $S_1=\frac{1}{2}OH\cdot AB\approx \frac{1}{2}\cdot 25,20\cdot 55=693{\text{(cm}}^2\text{).}$

Diện tích hình quạt tròn OAB là:

$S_2=\frac{\pi \cdot O{A}^2\cdot n}{360}\approx \frac{\pi \cdot 40,{71}^2\cdot 95}{360}\approx 1373,96{\text{(cm}}^2\text{).}$

Diện tích hình viên phân cần tìm là:

$S=S_2-S_1\approx 1373,96-693=680,96{\text{(cm}}^2\text{).}$

Bài tập 6: Một máy kéo nông nghiệp có đường kính bánh xe sau là 124 cm và đường kính bánh xe trước là 80 cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng?

Trả lời:

Bài tập 7: Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 11°58’ vĩ độ Bắc. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40 000 km. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo.

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đà-Lạt.)

Trả lời:

Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40 000 km nên bán kính của Trái Đất là khoảng: $R=\frac{40000}{2\pi }=\frac{20000}{\pi }\text{(km).}$

Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 11°58’ vĩ độ Bắc nên cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo có số đo là $11°{58}^{\prime }=\left(11\frac{58}{60}\right)°.$

Vậy độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot \frac{20000}{\pi }\cdot \left(11\frac{58}{60}\right)}{180}=\frac{35900}{27}\approx 1329,63\text{(km).}$