Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

Khởi động: Hãy mô tả các vị trí của Mặt Trời so với đường chân trời ở các thời điểm Mặt Trời lặn khác nhau trong hình dưới đây.

Trả lời:

⦁ Hình a): Đường chân trời và Mặt Trời không giao nhau.

⦁ Hình b): Đường chân trời tiếp xúc với Mặt Trời.

⦁ Hình c): Đường chân trời cắt Mặt Trời.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Khám phá 1: Nêu nhận xét về số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O) trong mỗi hình sau:

Trả lời:

a) Đường thẳng a không tiếp xúc vớid dường tròn (O)

b) Đưởng thẳng a cắt đường tròn (O) tại 1 điểm

c) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 2 điểm

Thực hành 1: Cho đường tròn (J; 5 cm) và đường thẳng c. Gọi K là chân đường vuông góc vẽ từ J xuống c, d là độ dài của đoạn thẳng JK. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường tròn (J; 5 cm) trong mỗi trường hợp sau:

a) d = 4 cm;

b) d = 5 cm;

c) d = 6 cm.

Trả lời:

a)

Ta có d = 4 cm, R = 5 cm.

Vì d < R nên đường thẳng c cắt đường tròn (J; 5 cm) tại hai điểm.

b)

Ta có d = 5 cm, R = 5 cm.

Vì d = R nên đường thẳng c tiếp xúc với đường tròn (J; 5 cm) tại điểm K.

c)

Ta có d = 6 cm, R = 5 cm.

Vì d > R nên đường thẳng c và đường tròn (J; 5 cm) không giao nhau.

Vận dụng 1: Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 72 cm, tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Trả lời:

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Khám phá 2: Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; R), đường thẳng d đi qua A và vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên d (M khác A).

a) Giải thích tại sao ta có OA = R và OM > R.

b) Giải thích tại sao d và (O) không thể có điểm chung nào khác ngoài A.

Trả lời:

a) Vì A là một điểm nằm trên đường tròn O => OA = R

Xét tam giác OAM vuông tại A => OM là cạnh huyền và OM > OA 

=> OM > R

b) Đường thẳng d đã được xác định là vuông góc với OA tại điểm A. Vì vậy, đường thẳng d không thể cắt đường tròn (O; R) tại một điểm khác ngoài A.

Thực hành 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH (Hình 8). Tìm tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) tại H.

Trả lời:

Ta có BC đi qua H thuộc đường tròn (A; AH) và BC ⊥ AH nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

Vận dụng 2: Một diễn viên xiếc đi xe đạp trên một sợi dây cáp căng (Hình 9). Ta coi sợi dây là tiếp tuyến của mỗi bánh xe, xác định các tiếp điểm.

Trả lời:

- Tiếp điểm là giao điểm tiếp xúc của nan hoa với dây cáp.

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Khám phá 3: Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A (Hình 10).

a) Chứng minh hai tam giác ABO và ACO bằng nhau.

b) Tìm các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau trong Hình 10.

Trả lời:

Thực hành 3: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (I; 6 cm) và ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết ${\text{EMF^widehat{EMF}EMF}}^{}=60°.$

a) Tính số đo $\widehat{EMI}$ và ${\text{EIF^widehat{EIF}EIF}}^{}.$

b) Tính độ dài MI.

Trả lời:

a) Ta có EMI và EIF = EMF/2 = 60o/2 = 30o

b) Ta có ME = OE.cot 30o

=> ME = 6. cot 30o = 6 cm

Mà MI = 

Thực hành 4: Tìm giá trị của x trong Hình 12.

Trả lời:

- Ta có BA, BC là hai tiếp tuyến của đường tròn (D) cắt nhau tại B nên BA = BC hay 4x – 9 = 15, suy ra 4x = 24 nên x = 6.

Vận dụng 3: Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm O, bán kính 15 cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M (Hình 13). Cho biết khoảng cách OM là 35 cm.

a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

b) Tính số đo $\widehat{\text{AMB}}$ tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM và số đo $\widehat{\text{AOB}}$ (kết quả làm tròn đến phút).

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Trong Hình 14, MB, MC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C; ${\text{COB^widehat{COB}COB}}^{}=130°.$ Tính số đo $\stackrel{}{}CMB^\backslash widehat\{CMB\}CMB.$

Trả lời:

Ta có COM = COB / 2 = 130o / 2 = 65o

=> OMC = 180o – OCM – COM = 180o – 90o – 65o = 25o

Mà CMB = 2OMC 

=> CMB = 50o

Bài tập 2: Quan sát Hình 15. Biết AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C. Tính giá trị của x.

Trả lời:

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên AB = AC hay 7x – 4 = 3x + 8.

Giải phương trình:

7x – 4 = 3x + 8

4x = 12

  x = 3.

Vậy x = 3.

Bài tập 3: Trong Hình 16, AB = 9, BC = 12, AC = 15 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Trả lời:

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có đường tròn (O) nằm trong và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Biết AM = 6 cm, BP = 3 cm, CE = 8 cm (Hình 17). Tính chu vi tam giác ABC.

Trả lời:

Ta có:

⦁ AE, AM là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A nên AE = AM = 6 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⦁ BM, BP là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại B nên BM = BP = 3 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⦁ CP, CE là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C nên CP = CE = 8 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + CA = AM + BM + BP + CP + CE + AE

= 6 + 3 + 3 + 8 + 8 + 6 = 34 (cm).

Bài tập 5: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{ACB}$ có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của ${\text{COA^widehat{COA}COA}}^{};$

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Trả lời:

a) Chứng minh ACB có số đo bằng 90°:

Ta có:

- AI = IC (vì I là trung điểm của AC)

- OA = OC = R (vì là bán kính của đường tròn)

Do đó, tam giác AIO và CIO là tam giác cân tại I.

Vậy, góc AIC = góc CIB, và góc AIO = góc CIO.

Từ đó, ta thấy rằng tổng của góc AIC và góc CIO bằng 180°.

Nhưng góc AIO = góc CIO = 90° (vì tiếp tuyến Ax cắt đường tròn tại góc vuông).

Vậy, góc ACB có số đo bằng 90°.

Độ dài của BC theo R:

Khi AC = R, theo định lý Pythagoras, ta có 

Với AC=R và AB=2R (vì AB là đường kính của đường tròn), ta có:

b) Chứng minh OM là tia phân giác của COA:

Vì I là trung điểm của AC, nên OI là tia phân giác của góc COA (vì tam giác AOC là tam giác đều, I nằm trên đường trung bình của góc COA).

Vì vậy, OM cũng là tia phân giác của COA.

c) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R):

Vì OM là tia phân giác của góc COA và OI là tia phân giác của góc COA, nên theo tính chất của tia phân giác, ta có   

Vì OI là đường trung tuyến của tam giác AOC (vì I là trung điểm của AC), nên theo định lý Euclid, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Bài tập 6: Cho đường tròn (O; 5 cm) điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M.

a) Tính độ dài của MA và MB.

b) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài của CD.

Trả lời:

Bài tập 7: Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) sao cho MA và MB là hai tiếp tuyến (A, B là hai tiếp điểm) thỏa mãn ${\text{AMB^widehat{AMB}AMB}}^{}=60°.$ Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.

Trả lời:

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó ∆MAB cân tại M, lại có $\widehat{\text{AMB}}=60°$ nên ∆MAB là tam giác đều.

Suy ra MA = MB = AB.

Chu vi ∆MAB là: MA + MB + AB = 3AB.

Theo bài, chu vi tam giác MAB là 18 cm nên 3AB = 18, do đó AB = 6 (cm).

Vậy AB = 6 cm.

Bài tập 8: Trong Hình 18, AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

a) Tính bán kính r của đường tròn (O).

b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO.

Trả lời:

a) Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

OB2 + AB2 = OA2

=> OB2 = OA2 – AB2

=> r2 = (r + 2)2 – 42

=> r2 = r2 + 2.2.r + 4 – 42

=> r2 – r2 – 4r = -12

=> -4r = -12

=> r = 3

b) OA = r + 2 = 3 + 2 = 5