Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Khởi động: Làm thế nào để tính chiều cao BC khi biết khoảng cách AB và góc A trong hình bên?

Trả lời:

Để tính được chiều cao BC thì ta dựa vào tỉ số lượng giác.

Xét tam giác ABC vuông tại B có: $\tan A=\frac{BC}{AB}$.

Suy ra BC = AB.tanA = 64.tanA (m).

Vậy để tính chiều cao BC khi biết khoảng cách AB và góc A ta dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn.

1. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Khám phá 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 1).

a) Hãy tính sin B theo b và a, cos B theo c và a. Sử dụng các kết quả tính được để giải thích tại sao lại có các đẳng thức: b = a . sin B; c = a . cos B.

b) Hãy tính tan B theo b và c, cot B theo c và b. Sử dụng các kết quả tính được ở trên để giải thích tại sao lại có các đẳng thức: b = c . tan B; c = b . cot B.

Trả lời:

a) sin B = b / a

=> b = a . Sin B

cos B = c / a

=> c = a . cos B 

b) tan B = b / c 

=> b = c .tan B

cot B = c / b

=> c = cot B . b

Thực hành 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài cạnh huyền bằng 20 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông trong mỗi trường hợp sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):

a) $\hat{B}=36°;$

b) $\hat{C}=41°.$

Trả lời:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\hat{B}=36°$ , ta có:

• AB = BC . cos B = 20 . cos 36° ≈ 16,18 (cm).

• AC = BC . sin B = 20 . sin 36° ≈ 11,76 (cm).

Vậy AB ≈ 16,18 cm; AC ≈ 11,76 cm.

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\hat{C}=41°$ , ta có:

• AB = BC . sin C = 20 . sin 41° ≈ 13,12 (cm).

• AC = BC . cos C = 20 . cos 41° ≈ 15,09 (cm).

Vậy AB ≈ 13,12 cm; AC ≈ 15,09 cm.

Thực hành 2: Tính độ dài cạnh góc vuông x của mỗi tam giác vuông trong Hình 3 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Vận dụng 1: Một cần cẩu đang nâng một khối gõ trên sông. Biết tay cẩu AB có chiều dài là 16 m và nghiêng một góc 42° so với phương nằm ngang (Hình 4). Tính chiều dài BC của đoạn dây cáp (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

BC = AB.sin(42o) = 10,7 m

2. Giải tam giác vuông

Khám phá 2: Cho tam giác ABC (Hình 5). Em hãy cho biết trong các trường hợp nào sau đây, ta có thể tính được tất cả các cạnh và các góc của tam giác. Giải thích cách tính.

Trả lời:

Ta xét các trường hợp sau:

– Trường hợp 1 khi biết độ dài hai cạnh của tam giác vuông thì ta sẽ tìm được cạnh còn lại (áp dụng định lí Pythagore) và các góc (áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn).

– Trường hợp 2 khi biết được số đo hai góc thì ta tính được số đo của góc còn lại (dựa vào định lí tổng ba góc trong một tam giác) nhưng chưa đủ dữ kiện để tính độ dài các cạnh của tam giác.

– Trường hợp 3 khi biết một cạnh và một góc của tam giác vuông ta sẽ tìm được hai cạnh còn lại và các góc (áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn).

Vậy trong các trường hợp đã cho, trường hợp 1 và trường hợp 3 ta có thể tính được tất cả các cạnh và các góc của tam giác.

Vận dụng 2: Trong Hình 9, cho OH = 4 m, ${\mathrm{AOH^\backslash widehat\{AOH\}AOH}}^{}=42°,{\mathrm{HOB^\backslash widehat\{HOB\}HOB}}^{}=28°.$ Tính chiều cao AB của cây.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Biết AC = 16 cm và $BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC=68°$ (Hình 10).

Trả lời:

Ta có AD = BC = 16.tan(68o) = 39,6 cm

AB = DC = 16.cot(68o) = 6,46 cm

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có BC = 20 cm, ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}=22°,ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB=30°.$

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC.

b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Trả lời:

a) Gọi BH là đường cao hạ từ B xuống AC.

Khi đó, BH là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC.

Xét tam giác BHC vuông tại H có ${\mathrm{HCB^\backslash widehat\{HCB\}HCB}}^{}=30°$, ta có:

BH = BC . sin${\mathrm{HCB^\backslash widehat\{HCB\}HCB}}^{}$ = 20 . sin 30° = 10 (cm).

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC là 10 cm.

b) Xét tam giác ABC, ta có: ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}+{\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}+{\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=180°$ .

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-{\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}-{\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}$ = 180° - 22° - 30° = 128°.

Ta có $\widehat{BAH}=180°-BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC=180°-128°=52°.$

Xét tam giác ABH vuông tại H có ${\mathrm{BAH^\backslash widehat\{BAH\}BAH}}^{}=52°$  nên

• BH = AB.sin${\mathrm{BAH^\backslash widehat\{BAH\}BAH}}^{}$, suy ra $AB=\frac{BH}{\sin \widehat{BAH}}=\frac{10}{\sin 52°}\approx 12,7\text{(cm)}$ .

• BH = AH.tan${\mathrm{BAH^\backslash widehat\{BAH\}BAH}}^{}$, suy ra $AH=\frac{BH}{\tan \widehat{BAH}}=\frac{10}{\tan 52°}\approx 7,8\text{(cm)}$ .

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BHC vuông tại H, ta có:

BC2 = CH 2 + BH2

Suy ra $CH=\sqrt{B{C}^2–B{H}^2}=\sqrt{{20}^2–{10}^2}=10\sqrt{3}\text{(cm)}$ .

Do đó $AC=CH-AH\approx 10\sqrt{3}-7,8\approx 9,5\text{(cm)}$ .

Vậy độ dài các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC là AB ≈ 12,7 cm, AC ≈ 9,5 cm và ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=128°$.

c) Gọi AK là đường cao hạ từ A xuống BC.

Khi đó, AK là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Xét tam giác ACK vuông tại K có ${\mathrm{ACK^\backslash widehat\{ACK\}ACK}}^{}=30°$  và AC ≈ 9,5 cm nên ta có:

$AK=AC.\sin {\mathrm{ACK^\backslash widehat\{ACK\}ACK}}^{}\approx 9,5.\sin 30°\approx 4,8\text{(cm)}$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC khoảng 4,8 cm.

Bài tập 3: Một người đẩy một vật lên hết một con dốc nghiêng một góc 35° (Hình 11).

Tính độ cao của vật so sới mặt đất biết độ dài con dốc là 4 m.

Trả lời:

Bài tập 4: Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B). Khi đi từ A đến B, An phải đi đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB (Hình 12). Biết AB = 762 m, $\hat{A}=6°,\hat{B}=4°.$

a) Tính chiều cao h của con dốc.

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ khi lên dốc là 4 km/h và tốc độ khi xuống dốc là 19 km/h.

Trả lời:

a) Ta có tan ACH = 

<=>

Lại có tan BCH = 

<=>

Mà 

=> 

<=>HC = 762 : (9,51 + 14,3) = 32

=> h = 32

b) Ta có 

=> AC =  = 306,13 (m) = 0,306 (km)

Tương tự ta có BC =  (m) = 0,458 (km)

Thời gian mất khi đi lên dốc là: t = s / v = 0,306 / 4 = 0,0765 (giờ)

Thời gian mất khi đi xuống dốc là: t = s / v = 0,458 / 19 = 0,024 (giờ)

Lúc bắt đầu đi là 6h sáng 

=> Sau khi đến trường là: 6 + 0,0765 + 0,024 = 6,1005 (giờ) = 6 giờ 6 phút

Vậy bạn AN đến trường lúc 6 giờ 6 phút