Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khởi động: Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình bên. Khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé không? Kiểm tra bằng cách nào?

Trả lời:

• Hình vuông bé (màu cam) có diện tích là 1 800 m2.

Khi đó, cạnh thửa ruộng bé hình vuông là: $\sqrt{1800}=\sqrt{900.2}=30\sqrt{2}$ (m).

Chu vi thửa ruộng bé là: $30\sqrt{2}.4=120\sqrt{2}$(m).

• Hình vuông lớn có diện tích (màu vàng) là 3 200 m2.

Khi đó, cạnh thửa ruộng lớn hình vuông là: $\sqrt{3200}=\sqrt{1600.2}=40\sqrt{2}$.

• Hình tam giác vuông (màu xanh) có hai cạnh góc vuông là hai cạnh của của hai hình vuông trong hình vẽ trên.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông (màu xanh), ta có:

Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông (màu xanh) là:

${\left(30\sqrt{2}\right)}^2+{\left(40\sqrt{2}\right)}^2=\sqrt{1800+3200}$

=$\sqrt{5000}=\sqrt{2500.2}=50\sqrt{2}$ (m).

Chu vi tam giác vuông là: $30\sqrt{2}+40\sqrt{2}+50\sqrt{2}=120\sqrt{2}\left(m\right)$.

Vậy khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé.

1. Trục căn thức ở mẫu

Khám phá 1: Bốn ô vuông diện tích $\frac{1}{2}{m}^2$ ghép thành cửa sổ như Hình 1.

a) Hai bạn An và Mai tính độ dài cạnh a (m) của mỗi ô cửa.

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.

b) Biết rằng $\sqrt{2}\approx 1,4142$  Không dùng máy tính cầm tay, hai bạn tìm giá trị gần đúng của độ dài mỗi ô cửa.

Theo em, bạn nào sẽ tìm ra đáp số nhanh hơn?

Trả lời:

Thực hành 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

Trả lời:

Thực hành 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Trả lời:

a) 

b) 

c) 

Vận dụng 1: Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở Hình 2 có diện tích bằng nhau. Tính chiều cao h của hình thang.

Trả lời:

2. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khám phá 2: Hình vuông ABCD được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như Hình 3.

a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF.

b) Tính độ dài đường chéo của hình vuông ABCD theo hai cách khác nhau.

Trả lời:

a) Vì AMIN là hình vuông nên AM = IN = 2 cm, $\widehat{ANI}={90}^o$.

Xét tam giác ANI vuông tại N, áp dụng định lí Pythagore, ta có

AI2 = AN2 + IN2 = 22 + 22 = 8.

Suy ra $AI=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\left(cm\right)$.

Vì CEIF là hình vuông nên IE = CF = 3 cm, $\widehat{IEC}={90}^o$.

Xét tam giác IEC vuông tại E, áp dụng định lí Pythagore, ta có

IC2 = IE2 + EC2 = 32 + 32 = 18.

Suy ra $IC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\left(cm\right)$

Vậy độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF  lần lượt là $2\sqrt{2}cm$ và $3\sqrt{2}cm$

b)

Cách 1: Độ dài đường chéo hình vuông là:

AC = AI + IC = $2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Cách 2:

• Vì BMIE là hình chữ nhật nên BM = IE = 3 cm.

• Vì DNIF là hình chữ nhật nên IN = DF = 2 cm.

Độ dài cạnh AB là: AB = AM + BM = 2 + 3 = 5 (cm).

Độ dài cạnh BC là: BC = BE + EC = 2 + 3 = 5 (cm).

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAC}={90}^o$ , suy ra tam giác ABC vuông tại B.

Xét tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore, ta có

AC2 = AB2 + BC2 = 52 + 52 = 50.

Suy ra $AC=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ (cm).

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông ABCD là $5\sqrt{2}cm$.

Thực hành 3: Rút gọn các biểu thức:

Trả lời:

a) 

= 

= 2

= 

b) 

= 

= 4

=  + 

= 

= 

= 3

c) (2 - 

= 2 - 

= 2

= 7 

Thực hành 4: Rút gọn các biểu thức sau:

Trả lời: