Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Khởi động: Tại một cửa hàng, chị An mua 1,2 kg thịt lợn và 0,7 kg thịt bò hết 362 000 đồng; chị Ba mua 0,8 kg thịt lợn và 0,5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000 đồng. Làm thế nào để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò?

Trả lời:

Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò (x, y > 0)

Giá tiền 1,2 kg thịt lợn là 1,2x (đồng).

Giá tiền 0,7 kg thịt bò là 0,7y (đồng).

Số tiền chị An mua là hết 362 000 đồng nên ta có 1,2x + 0,7y = 362 000. (1)

Giá tiền 0,8 kg thịt lợn là 0,8x (đồng).

Giá tiền 0,5 kg thịt bò là 0,5y (đồng).

Số tiền chị Ba mua là hết 250 000 đồng nên ta có 0,8x + 0,5y = 250 000.      (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}$

Để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò thì ta cần giải phương trình $\{\begin{array}{c}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}$.

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Khám phá 1: Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-2y=1\left(1\right)\\ -2x+3y=-1.\left(2\right)\end{array}$

Thực hiện giải hệ phương trình này theo hướng dẫn sau:

– Từ phương trình (1), hãy biểu diễn x theo y.

– Thế x được biểu diễn ở trên vào phương trình (2), để nhận được một phương trình ẩn y.

– Giải phương trình ẩn y đó, rồi suy ra nghiệm của hệ.

Trả lời:

– Từ phương trình (1), ta có x = 2y + 1.

– Thế x = 2y + 1 vào phương trình (2), ta có –2(2y + 1) + 3y = –1.

– Giải phương trình ẩn y thu được:

–2(2y + 1) + 3y = –1

–4y – 2 + 3y = –1

4y – 3y = –2 + 1

y = –1.

Suy ra x = 2 . (–1) + 1 = (–2) + 1 = –1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (–1; –1).

Thực hành 1: Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{array}{c}x+2y=-2\\ 5x-4y=11;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}2x-y=-5\\ -2x+y=11;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}3x+y=2\\ 6x+2y=4.\end{array}$

Trả lời:

a) 

<=> 

<=> 

<=> 

<=> 

<=> 

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 

b) 

<=>

<=>

<=>Hệ phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

c) 

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Khám phá 2: Cho hai hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}3x=6\\ x+y=5;\end{array}\right(I)$       $\left\{\begin{array}{c}2x-y=1\\ x+y=5.\end{array}\right(II)$

a) Giải hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II) bằng phương pháp thế. Có nhận xét gì về nghiệm của hai hệ này?

b) Bằng cách cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được một phương trình mới. Thay phương trình thứ nhất của hệ (II) bằng phương trình mới đó. Có nhận xét gì về kết quả nhận được?

Trả lời:

Thực hành 2: Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{array}{c}2x-5y=-14\\ 2x+3y=2;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}4x+5y=15\\ 6x-4y=11.\end{array}$

Trả lời:

a) Trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho, ta được –8y = –16. Suy ra y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 2x + 3 . 2 = 2 hay 2x = –4. Do đó x = –2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (–2; 2).

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:

$\{\begin{array}{c}12x+15y=45\\ 12x-8y=22.\end{array}$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 23y = 23. Suy ra y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta được 4x + 5 . 1 = 15 hay 4x = 10. Do đó $x=\frac{5}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{5}{2};1\right).$

Vận dụng 1: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; –2) và B(–1; 3).

Trả lời:

Để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A thì phải thoả mãn phương trình

-2 = 2a + b (I)

Để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B thì phải thoả mãn phương trình

3 = -a + b (II)

Từ (I) và (II) ta có hệ phương trình

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3) thì a = -5/3 và b = 4/3

3. Tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay

Thực hành 3: Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau bằng máy tính cầm tay:

a) $\{\begin{array}{c}2x-y=4\\ 3x+5y=-19;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}-3x+5y=12\\ 2x+y=5.\end{array}$

Trả lời:

a) $\{\begin{array}{c}2x-y=4\\ 3x+5y=-19;\end{array}$

– Ấn nút ON để khởi động máy.

– Ấn nút MODE, ấn nút 5, ấn nút 1, rồi nhập các hệ số như sau:

Màn hình hiện ra kết quả như hình sau:

– Ấn , kết quả như hình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{1}{13};-\frac{50}{13}\right).$

b) $\{\begin{array}{c}-3x+5y=12\\ 2x+y=5.\end{array}$

– Ấn nút ON để khởi động máy.

– Ấn nút MODE, ấn nút 5, ấn nút 1, rồi nhập các hệ số như sau:

Màn hình hiện ra kết quả như hình sau:

– Ấn , kết quả như hình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1; 3).

4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Khám phá 3: Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh. Trong dịp tết trồng cây năm 2022, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số 288 cây. Gọi x, y lần lượt là số học sinh lớp 9A và lớp 9B (x ∈ ℕ*, y ∈ ℕ*).

a) Từ dữ liệu đã cho, lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị số học sinh của hai lớp và số cây trồng được.

b) Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và cho biết mỗi lớp bao nhiêu học sinh.

Trả lời:

Thực hành 4: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 64 m. Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 88 m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó.

Trả lời:

Gọi x (m), y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật (0 < y < x < 64).

Diện tích ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật đó là: xy (m2).

Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là 64 m nên 2(x + y) = 64 hay x + y = 32.       (1)

Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật sau khi tăng là: x + 2 (m)

Chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật sau khi tăng là: y + 3 (m)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật sau khi tăng kích thước là: (x + 2)(y + 3) (m2).

Theo bài, sau khi tăng chiều dài và chiều rộng thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 88 m2 nên ta có phương trình:

(x + 2)(y + 3) = xy + 88

xy + 3x + 2y + 6 = xy + 88

3x + 2y = 82.         (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=32\\ 3x+2y=82\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}y=32-x\\ 3x+2y=82\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}y=32-x\\ 3x+2\left(32-x\right)=82\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}y=32-x\\ 3x+64-2x=82\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}y=32-x\\ x=18\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}y=14\\ x=18\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 18 m, chiều rộng của mảnh vườn là 14 m.

Thực hành 5: Cân bằng phương trình hóa học sau bằng phương pháp đại số.

NO + O2 → NO2

Trả lời:

Gọi x,y,z lần lượt là hệ số của NO, O2, NO2 thoả mãn cân bằng phương trình hoá học

xNO + yO2  zNO2

Cân bằng nguyên tử NO, số nguyên tử O ở hai vế ta được hệ:

Chọn z = 2, suy ra x = 2, y = 1

Vậy phương trình được cẩn bằng như sau: 

2NO + O2  2NO2

Vận dụng 1: Giải bài toán trong Hoạt động khởi động (trang 15).

Trả lời:

Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò (x, y > 0)

Giá tiền 1,2 kg thịt lợn là 1,2x (đồng).

Giá tiền 0,7 kg thịt bò là 0,7y (đồng).

Số tiền chị An mua là hết 362 000 đồng nên ta có 1,2x + 0,7y = 362 000. (1)

Giá tiền 0,8 kg thịt lợn là 0,8x (đồng).

Giá tiền 0,5 kg thịt bò là 0,5y (đồng).

Số tiền chị Ba mua là hết 250 000 đồng nên ta có 0,8x + 0,5y = 250 000.      (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}$.

Để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò thì ta cần giải phương trình thu được.

Ta giải phương trình:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}$

$\{\begin{array}{c}12x+7y=3620000\\ 8x+5y=2500000\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 6, ta được:

$\{\begin{array}{c}48x+28y=14480000\\ 48x+30y=15000000\end{array}$

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

–2y = – 520 000, suy ra y = 260 000 (thỏa mãn).

Thay y = 260 000 vào phương trình 8x + 5y = 2 500 000, ta được:

8x + 5 . 260 000 = 2 500 000

8x = 1 200 000

x = 150 000 (thỏa mãn).

Vậy giá tiền 1 kg thịt lợn là 150 000 đồng và giá tiền 1 kg thịt bò là 260 000 đồng.

Bài tập

Bài tập 1: Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ 2x-y=7;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 3x-4y=2;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}4x+5y=-2\\ 2x-y=-8;\end{array}$

d) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ -3y=5.\end{array}$

Trả lời:

a) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}$

$\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ y=2x-7\end{array}$

$\{\begin{array}{c}3x+2x-7=3\\ y=2x-7\end{array}$

$\{\begin{array}{c}5x=10\\ y=2x-7\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=2\\ y=2x-7\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=2\\ y=-3\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; −3).

b) $\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=y+3\\ 3\left(y+3\right)-4y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=y+3\\ 3y+9-4y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=y+3\\ y=7\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=10\\ y=7\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (10; 7).

c) $\{\begin{array}{c}4x+5y=-2\\ 2x-y=-8\end{array}$

$\{\begin{array}{c}4x+5y=-2\\ y=2x+8\end{array}$

$\{\begin{array}{c}4x+5\left(2x+8\right)=-2\\ y=2x+8\end{array}$

$\{\begin{array}{c}4x+10x+40=-2\\ y=2x+8\end{array}$

$\{\begin{array}{c}14x=-42\\ y=2x+8\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=-3\\ y=2\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (−3; 2).

d) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ -3y=5\end{array}$

$\{\begin{array}{c}3x-\frac{5}{3}=3\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}3x=\frac{14}{3}\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=\frac{14}{9}\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{14}{9};-\frac{5}{3}\right)$

Bài tập 2: Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{array}{c}4x+y=2\\ \frac{4}{3}x+\frac{1}{3}y=1;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}x-y\sqrt{2}=0\\ 2x+y\sqrt{2}=3;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2;\end{array}$

d) $\{\begin{array}{c}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\ \left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5.\end{array}$

Trả lời:

a) 

<=>

=> Vô lí

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

b) 

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ó 

c) 

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 

d) 

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 

Bài tập 3: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(1; 2) và B(3; 8);

b) A(2; 1) và B(4; –2).

Trả lời:

Bài tập 4: Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. So với tháng thứ nhất, trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vược 15%, tổ hai sản xuất vượt 20% nên trong tháng này, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Trả lời:

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được (x, y ∈ ℕ*).

Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy nên ta có x + y  = 800. (1)

Trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất được là:

x + 15%x = 115%x = 1,15x (chi tiết máy)

Trong tháng thứ hai, tổ hai sản xuất được là:

y + 20%y = 120%y = 1,2y (chi tiết máy).

Theo đề bài, ta có phương trình 1,15x + 1,2y = 945.         (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=800\\ \mathrm{1,15}x+\mathrm{1,2}y=945\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}x=800-y\\ \mathrm{1,15}\left(800-y\right)+\mathrm{1,2}y=945\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}x=800-y\\ 920-\mathrm{1,15}y+\mathrm{1,2}y=945\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}x=800-y\\ \mathrm{0,05}y=25\end{array}$

                                                         $\{\begin{array}{c}x=300\\ y=500\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy trong tháng thứ nhất, tổ một sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy.

Bài tập 5: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo khoác xuất khẩu. Nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo. Biết rằng mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo. Hỏi trong một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo? (Năng suất may áo của mỗi tổ trong các ngày là như nhau.)

Trả lời:

Gọi x, y lần lượt là số áo mỗi tổ may được trong một ngày (x, y  N*)

Tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo, nên có:

7x + 5y = 1540

Mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo, nên có:

y-x = 20

Vậy, x và y là nghiệm của hệ phương trình: 

Vậy trong một ngày tổ một may được 120 chiếc áo, tổ hai may được 140 chiếc áo.

Bài tập 6: Trên một cánh đồng, người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng bao nhiêu? Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn.

Trả lời:

Bài tập 7: Cân bằng các phương trình hóa học sau bằng phương pháp đại số.

a) Ag + Cl2 → AgCl

b) CO2 + C → CO

Trả lời:

a) Gọi x, y lần lượt là hệ số của Ag và Cl2 thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

xAg + yCl2 → AgCl

Cân bằng số nguyên tử Ag, số nguyên tử Cl ở hai vế, ta được $\{\begin{array}{c}x=1\\ 2y=1.\end{array}$

Giải hệ phương trình trên, ta được $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=\frac{1}{2}.\end{array}$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$Ag+\frac{1}{2}C{l}_2\to AgCl$

Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được

2Ag + yCl2 → 2AgCl

b) Gọi x, y lần lượt là hệ số của CO2 và C thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

xCO2 + yC → CO

Cân bằng số nguyên tử C, số nguyên tử O ở hai vế, ta được $\{\begin{array}{c}x+y=1\\ 2x=1.\end{array}$

Giải hệ phương trình trên, ta được: $\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{2}.\end{array}$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$\frac{1}{2}C{O}_2+\frac{1}{2}C\to CO$

Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được

CO2 + C → 2CO