Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Khởi động: Độ cao h (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh t giây được cho bởi công thức h = t(20 – 5t). Có thể tính được thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất không?

Trả lời:

Trước khi quả bóng được đánh lên và khi quả bóng chạm đất thì quả bóng đều ở độ cao là h = 0.

Thay h = 0 vào công thức đã cho, ta được:

t(20 – 5t) = 0

t = 0 hoặc 20 – 5t = 0

t = 0 hoặc t = 4.

Do đó, t = 0 giây là lúc quả bóng chưa được đánh lên cao, t = 4 giây là thời gian quả bóng được đánh lên và sau đó chạm đất.

Vậy thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất là 4 giây.

1. Phương trình tích

Khám phá 1: Cho phương trình (x + 3)(2x – 5) = 0. (1)

a) Các giá trị $x=-\mathrm{3,}x=\frac{5}{2}$ có phải là nghiệm của phương trình không?

b) Nếu số x0 khác −3 và khác $\frac{5}{2}$ thì x0 có phải là nghiệm của phương trình không? Tại sao?

Trả lời:

a) x = -3 là nghiệm của phương trình (1) vì x = -3 là nghiệm của phương trình x + 3 = 0

x =  là nghiệm của phương trình (1) vì x =  là nghiệm của phương trình 2x – 5 = 0

b) Nếu số  khác -3 và khác và khác   thì x0 không phải nghiệm của phương trình (1) vì nghiệm của phương trình (1) là x = -3 hoặc x = 

Thực hành 1: Giải các phương trình:

a) (x – 7)(5x + 4) = 0;

b) $\left(2x+9\right)\left(\frac{2}{3}x-5\right)=0.$

Trả lời:

Thực hành 2: Giải các phương trình:

a) 2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0;

b) x(3x + 5) – 6x – 10 = 0.

Trả lời:

a) Ta có: 2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0

(x + 6)(2x + 5) = 0

x + 6 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

x = –6 hoặc $x=\frac{-5}{2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –6 và $x=\frac{-5}{2}$

b) Ta có: x(3x + 5) – 6x – 10 = 0

x(3x + 5) – 2(3x + 5) = 0

(3x + 5)(x – 2) = 0

3x + 5 = 0 hoặc x – 2 = 0

$x=\frac{-5}{3}$ hoặc x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-5}{3}$ và x = 2.

Vận dụng 1: Giải bài toán trong Hoạt động khởi động (trang 6).

Trả lời:

Trước khi quả bóng được đánh lên và khi quả bóng chạm đất thì quả bóng đều ở độ cao là h = 0.

Thay h = 0 vào công thức đã cho, ta được:

t(20 – 5t) = 0.

t = 0 hoặc 20 – 5t = 0

t = 0 hoặc t = 4.

Do đó t = 0 giây là lúc quả bóng chưa được đánh lên cao, t = 4 giây là thời gian quả bóng được đánh lên và sau đó chạm đất.

Vậy thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất là 4 giây.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Khám phá 2: Xét hai phương trình $2x+\frac{1}{x-2}-4=\frac{1}{x-2}\left(1\right)$ và 2x – 4 = 0 (2).

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?

b) x = 2 có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?

c) x = 2 có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?

Trả lời:

a) Để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) ta từ cả 2 vế của phương trình (1) cho  với điều kiện x  2

b) x = 2 là nghiệm của phương trình (2) vì 2x – 4 = 0 => x = 2

c) x = 2 không phải nghiệm của phương trình 1 vì phương trình (1) chứa ẩn trong mẫu thức của phân thức  => Phương trình (1) có điều kiện xác định là x – 2 0 hay x  2.

Thực hành 3: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{5}{x+7}=\frac{-14}{x-5};$

b) $\frac{3}{3x-2}=\frac{x}{x+2}-1.$

Trả lời:

Khám phá 3: Cho phương trình $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1.$

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

$\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$

$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}$

$\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

x2 + x = x2 – 4

x = – 4

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) x = – 4 có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Trả lời:

a) Điều kiện xác định của phương trình đã cho là x – 2 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0.

Suy ra x ≠ 2 và x ≠ –1.

Vậy điều kiện xác định của phương trình đã cho là x ≠ 2 và x ≠ –1.

b) Cách thực hiện mỗi phép biến đổi lần lượt như sau:

$\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$

$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}$ (quy đồng mẫu thức ở vế phải và rút gọn vế phải)

$\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$(quy đồng mẫu thức hai phân thức)

x2 + x = x2 – 4 (khử mẫu của hai phân thức ở hai vế)

x = – 4 (trừ hai vế cho x2)

c) Từ câu b, theo các bước biến đổi và ta thấy x = – 4 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình nên x = – 4 có là nghiệm của phương trình đã cho.

Thực hành 4: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2;$

b) $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}.$

Trả lời:

a)      

Điều kiện xác định của phương trình là x + 5  0 hay x  -5 

=>        

=>        

=> 

=> 2x + 12 – x – 5 = 0

=> x + 7 = 0

=> x = -7 ( thoả mãn x  -5)

Vậy nghiệm của phương trình là x = -7

b) 

Điều kiện xác định của phương trình là x – 2  0 và x – 3  0 hay x  2 và x  3

=> 

=> 2(x – 3) – 3(x – 2) = 3x – 20

=> 2x – 6 – 3x + 6 = 3x – 20 

=> -x = 3x – 20

=> -4x = -20

=> x = 5 ( Thoả mãn điều kiện x  2 và x  3)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5

Vận dụng 2: Hai thành phố A và B cách nhau 120 km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi 20%.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Giải các phương trình:

a) 5x(2x – 3) = 0;

b) (2x – 5)(3x + 6) = 0;

c) $\left(\frac{2}{3}x-1\right)\left(\frac{1}{2}x+3\right)=0;$

d) (2,5t – 7,5)(0,2t + 5) = 0.

Trả lời:

a) Ta có: 5x(2x – 3) = 0

               5x = 0 hoặc 2x – 3 = 0

               x = 0 hoặc $x=\frac{3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x=\frac{3}{2}$

b) Ta có: (2x – 5)(3x + 6) = 0

               2x – 5 = 0 hoặc 3x + 6 = 0

               $x=\frac{5}{2}$ hoặc x = –2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5}{2}$ và x = –2.

c) Ta có: $\left(\frac{2}{3}x-1\right)\left(\frac{1}{2}x+3\right)=0$

               $\frac{2}{3}x-1=0$ hoặc $\frac{1}{2}x+3=0$

               $\frac{2}{3}x=1$ hoặc $\frac{1}{2}x=-3$

               $x=\frac{3}{2}$ hoặc x = –6.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{3}{2}$ và x = –6.

d) Ta có: (2,5t – 7,5)(0,2t + 5) = 0

               2,5t – 7,5 = 0 hoặc 0,2t + 5 = 0

               2,5t = 7,5 hoặc 0,2t = –5

               x = 5 hoặc x = –25.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = –25.

Bài tập 2: Giải các phương trình:

a) 3x(x – 4) + 7(x – 4) = 0;

b) 5x(x + 6) – 2x – 12 = 0;

c) x2 – x – (5x – 5) = 0;

d) (3x – 2)2 – (x + 6)2 = 0.

Trả lời:

a) 3x(x – 4) + 7(x – 4) = 0

=> (x – 4)(3x + 7) = 0

=> x – 4 = 0 hoặc 3x + 7 = 0

=> x = 4 hoặc x = 

Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 và x = 

b) 5x(x + 6) – 2x – 12 = 0

=> 5x(x + 6) – 2(x + 6) = 0

=> (x + 6)(5x – 2) = 0

=> x + 6 = 0 hoặc 5x – 2 = 0

=> x = -6 hoặc x = 

Vậy nghiệm của phương trình là x = -6 và x = 

c) x2 – x – (5x – 5) = 0

=> x(x – 1) – 5(x – 1) = 0

=> (x – 1)(x – 5) = 0

=> x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0

=> x = 1 hoặc x = 5

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 5

d) (3x – 2)2 – (x + 6)2 = 0

=> (3x – 2 – x – 6)(3x – 2 + x + 6) = 0

=> (2x – 8)(4x + 4) = 0

=> 2x – 8 = 0 hoặc 4x + 4 = 0

=> 2x = 8 hoặc 4x = -4

=> x = 4 hoặc x = -1

Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 và x = -1

Bài tập 3: Giải các phương trình:

a) $\frac{x+5}{x-3}+2=\frac{2}{x-3};$

b) $\frac{3x+5}{x+1}+\frac{2}{x}=3;$

c) $\frac{x+3}{x-2}+\frac{x+2}{x-3}$ = 2;

d) $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{x^2-4}.$

Trả lời:

b) Điều kiện xác định: x ≠ –1; x ≠ 0.

Ta có: $\frac{3x+5}{x+1}+\frac{2}{x}=3$

            $\frac{x\left(3x+5\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{3x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}$

            x(3x + 5) + 2(x + 1) = 3x(x + 1)

            3x2 + 5x + 2x + 2 = 3x2 + 3x

            5x + 2x – 3x = –2

            4x = –2

            $x=\frac{-1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{-1}{2}$

d) Điều kiện xác định: x ≠ 2; x ≠ –2.

Ta có: $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{x^2-4}$

         $\frac{{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{{\left(x-2\right)}^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{16}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

         (x + 2)2 – (x – 2)2 = 16

         (x + 2 + x – 2)(x + 2 – x + 2) = 16

         2x . 4 = 16

         8x = 16

         x = 2 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 4: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km. Sau 1 giờ 40 phút, trên cùng quãng đường đó, một xe máy đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.

Trả lời:

Đổi: 1 giờ 40 phút = (giờ)

Gọi tốc độ của xe đạp là x (km/h) (x > 0)

Khi đó, tốc độ xe máy là 3x (km/h)

Thời gian xe đạp đi từ A đến B là:  (giờ)

Thời gian xe máy đi từ A đến B là: 

Xe đạp đi từ A đến B mất nhiều thời gian hơn xe máy đi từ A đến B là   giờ, nên ta có: 

=> 180 – 60 = 8x

=> 8x = 120

=> x = 15 (thoả mãn điều kiện)

Vậy vận tốc xe đạp là 15 (km/h) và vận tốc xe máy là 45 (km/h).

Bài tập 5: Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000 đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.

Trả lời:

Gọi x là số công nhân dự định tham gia lúc đầu (x ∈ ℕ*).

Theo dự định, số tiền mà mỗi công nhân được chia là: $\frac{12600000}{x}$(đồng).

Theo thực tế, số công nhân tham gia hội thao là: 80%x = 0,8x (công nhân).

Theo thực tế, số tiền mà mỗi công nhân được chia là: $\frac{12600000}{\mathrm{0,8}x}=\frac{15750000}{x}$(đồng).

Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{12600000}{x}=\frac{15750000}{x}-105000$

$\frac{840}{x}=\frac{1050}{x}-7$

$\frac{210}{x}=7$

x = 30 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 30 người.