Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3: Góc ở tâm, góc nội tiếp

Khởi động: Hình ngôi sao năm cánh trong Hình a được vẽ lại như Hình b. Phần tô màu xanh trên đường tròn từ điểm A đến điểm B được gọi là gì? Làm thế nào để biểu diễn số đo của nó?

Trả lời:

1. Góc ở tâm

Khám phá 1: Cho hai điểm A, B trên đường tròn (O; R). Nêu nhận xét về đỉnh và cạnh của ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}.$

Trả lời:

Thực hành 1: Tính số đo góc ở tâm $\widehat{EOA}$ và ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}$ trong Hình 3. Biết AC và BE là hai đường kính của đường tròn (O).

Trả lời:

Ta có EOA = COB = 57o

Ta có  AOB = 360o – COB – AOE – DOE – COB = 360o – 57o – 57o – 28o – 95o = 123o

2. Cung, số đo cung

Khám phá 2: Vẽ vào vở đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm trên (O). Dùng bút chì khác màu tô hai phần của đường tròn được phân chia bởi hai điểm A và B.

Trả lời:

Khám phá 3: Cho OA và OB là hai bán kính vuông góc với nhau của đường tròn (O), C là điểm trên cung nhỏ AB (Hình 7). Ta coi số đo của một cung nhỏ là số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

a) Xác định số đo của cung AB.

b) So sánh số đo của hai cung ${AC}^{}$ và $\stackrel{}{AB}.$

$Trả\; lời:$

a) Số đo của cung AB là số đo của ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}$ và bằng 90°.

b) Ta có số đo của cung AC là số đo của ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOC}}^{}.$

Mà ${\mathrm{AOC^\backslash widehat\{AOC\}AOC}}^{}<{\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}$ nên số đo của cung AC nhỏ hơn số đo của cung AB.

Thực hành 2: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau (Hình 9). Xác định số đo của các cung $\stackrel{}{AB},\stackrel{}{AC}$ và $\stackrel{}{AD}.$

Trả lời:

Vận dụng 2: Xác định số đo cung AB trong hình ngôi sao năm cánh (Hình 10).

Trả lời:

Số đo cung AB < 90^o

Khám phá 4: Trên đường tròn (O), vẽ hai cung nhỏ $\stackrel{}{AB},\stackrel{}{BC}$ sao cho ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=18°,\widehat{BOC}=32°$ và tia OB ở giữa hai tia OA, OC (Hình 11). Tính số đo của các cung $\stackrel{}{AB},\stackrel{}{BC},\stackrel{}{AC}.$

Trả lời:

Thực hành 3: Trên cung AB có số đo 90° của đường tròn (O), lấy điểm M sao cho cung AM có số đo 15°. Tính số đo của cung MB.

Trả lời:

Vận dụng 3: Bạn Hùng làm một cái diều với thân diều là hình tứ giác SAOB sao cho OS là đường phân giác của ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}$ và ${\mathrm{ASB^\backslash widehat\{ASB\}ASB}}^{}=106°.$ Thanh tre màu xanh lá được uốn cong thành cung AB của đường tròn tâm O và SA, SB là hai tiếp tuyến của (O), (Hình 12). Tính số đo của $\stackrel{}{AB}.$

Lời giải:

Vì SA, SB lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) tại A, B nên SA ⊥ OA tại A và SB ⊥ OB hay ${\mathrm{SAO^\backslash widehat\{SAO\}SAO}}^{}={\mathrm{SBO^\backslash widehat\{SBO\}SBO}}^{}=90°.$

Xét tứ giác SAOB có: ${\mathrm{SAO^\backslash widehat\{SAO\}SAO}}^{}+{\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}+{\mathrm{SBO^\backslash widehat\{SBO\}SBO}}^{}+ASB^\backslash widehat\{ASB\}ASB=360°$(tổng các góc của một tam giác).

Suy ra ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=360°-\left(SAO^\backslash widehat\{SAO\}SAO+{\mathrm{SBO^\backslash widehat\{SBO\}SBO}}^{}+{\mathrm{ASB^\backslash widehat\{ASB\}ASB}}^{}\right)$

Do đó ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=360°-\left(90°+90°+106°\right)=360°-286°=74°.$

$3.\; Góc\; nội\; tiếp$

Khám phá 5: Quan sát Hình 13. Hãy cho biết trong các góc ${\mathrm{APB^\backslash widehat\{APB\}APB}}^{},{\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{},AMB^\backslash widehat\{AMB\}AMB,AQB^\backslash widehat\{AQB\}AQB,$ góc nào có đỉnh nằm trên đường tròn (O).

Trả lời:

Các góc APB, АОВ, AMB có đỉnh nằm trên đường tròn (O)

Thực hành 4: Cho tam giác đều MNP có ba đỉnh nằm trên đường tròn (I). Hãy chỉ ra các góc nội tiếp của đường tròn (I) và tính số đo của các góc nội tiếp đó.

Trả lời:

Vận dụng 4: Cho hai điểm E và F nằm trên đường tròn (O). Có bao nhiêu góc nội tiếp chắn cung EF?

Trả lời:

Có vô số góc nội tiếp chắn cung EF vì với mỗi điểm M (khác E và F) nằm trên đường tròn (O) thì ta có một góc nội tiếp.

Khám phá 6: Quan sát Hình 15. Ta có góc nội tiếp ${\mathrm{AMB^\backslash widehat\{AMB\}AMB}}^{}$ chắn cung AB trên đường tròn (O). Cho biết ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=60°.$

a) Tính số đo $\stackrel{}{AB}.$

b) Dùng thước đo góc để tìm số đo ${\mathrm{AMB^\backslash widehat\{AMB\}AMB}}^{}.$

c) Có nhận xét gì về hai số đo của ${\mathrm{AMB^\backslash widehat\{AMB\}AMB}}^{}$ và $\stackrel{}{AB}?$

Trả lời:

a) Vì góc nội tiếp AMB chắn cung AB trên đường tròn (O), nên số đo của góc nội tiếp AMB là gấp đôi số đo của cung AB. Do đó, AMB = 2.AOB = 2.60o = 120o

b) Để đo số đo của góc AMB, ta sử dụng thước đo góc và đặt thước đo lên AB sao cho một cạnh của thước đo trùng với AB và cạnh kia của thước đo trùng với AM hoặc MB. Khi đó, số đo của góc AMB chính là số đo đo được trên thước đo góc.

c) Hai số đo của AMB và AB có mối quan hệ là góc nội tiếp AMB chắn cung AB trên đường tròn. Do đó, số đo của góc AMB luôn gấp đôi số đo của cung AB.

Thực hành 5: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn (O) sao cho ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=50°,$ ${\mathrm{BOC^\backslash widehat\{BOC\}BOC}}^{}=30°,$ điểm B thuộc cung nhỏ AC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cung nhỏ $\stackrel{}{AB},\stackrel{}{AC}$ và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau. Tìm số đo các góc sau:

a) ${\mathrm{BCA^\backslash widehat\{BCA\}BCA}}^{},{\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{};$

b) ${\mathrm{MBA^\backslash widehat\{MBA\}MBA}}^{},{\mathrm{BAN^\backslash widehat\{BAN\}BAN}}^{}.$

Trả lời:

Vận dụng 5: Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn MN (Hình 20). Nếu bóng được đặt ở điểm X thì $\widehat{MXN}$ gọi là góc sút từ vị trí X. Hãy so sánh các góc sút ${\mathrm{MXN^\backslash widehat\{MXN\}MXN}}^{},{\mathrm{MYN^\backslash widehat\{MYN\}MYN}}^{},{\mathrm{MZN^\backslash widehat\{MZN\}MZN}}^{}.$

Trả lời:

Xét đường tròn chứa cung MN, ta có ${\mathrm{MXN^\backslash widehat\{MXN\}MXN}}^{},\widehat{MYN},\widehat{MZN}$ là các góc nội tiếp chắn cung MN nên ${\mathrm{MXN^\backslash widehat\{MXN\}MXN}}^{}={\mathrm{MYN^\backslash widehat\{MYN\}MYN}}^{}={\mathrm{MZN^\backslash widehat\{MZN\}MZN}}^{}.$

Vậy các góc sút ${\mathrm{MXN^\backslash widehat\{MXN\}MXN}}^{},{\mathrm{MYN^\backslash widehat\{MYN\}MYN}}^{},{\mathrm{MZN^\backslash widehat\{MZN\}MZN}}^{}$ bằng nhau.

Bài tập

Bài tập 1: Cho đường tròn (O; 5 cm) và điểm M sao cho OM = 10 cm. Qua M vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo góc ở tâm được tạo bởi hai tia OA và OB.

Trả lời:

Xét tam giác OAM vuông tại A

Ta có cos MOA = 5 / 10 = 1 / 2 

=> MOA = 60o

Mà AOB = 2MOA = 120o

Bài tập 2: Cho tam giác đều ABC. Vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Hãy so sánh các cung $\stackrel{}{BD},\stackrel{}{DE},\stackrel{}{EC}.$

Trả lời:

Bài tập 3: Dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung. Cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ.

a) Tính số đo mỗi cung.

b) Chứng minh khoảng cách OH từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng $\frac{AB}{2}.$

Trả lời:

Bài tập 4: Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào những thời điểm sau?

a) 2 giờ;

b) 8 giờ;

c) 21 giờ.

Trả lời:

Góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau là: 360° : 12 = 30°.

a) Vào thời điểm 2 giờ (kim giờ chỉ số 2, kim phút chỉ số 12) thì góc ở tâm tạo thành giữa hai kim đồng hồ là:

2 . 30° = 60°.

b) Vào thời điểm 8 giờ (kim giờ chỉ số 8, kim phút chỉ số 12) thì góc ở tâm tạo thành giữa hai kim đồng hồ là:

4 . 30° = 120°.

c) Vào thời điểm 21 giờ (kim giờ chỉ số 9, kim phút chỉ số 12) thì góc ở tâm tạo thành giữa hai kim đồng hồ là:

3 . 30° = 90°.

Bài tập 5: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và $\left(O;\frac{R\sqrt{3}}{2}\right).$ Một tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại hai điểm A và B. Tính số đo cung AB.

Trả lời:

Gọi điểm I là điểm tiếp tuyến của đường tròn (O;R) với AB

Xét tam giác AIO vuông tại I

cos AOI =  : R= 

=> AOI = 30o

Mà AOB = 2.AOI = 2.30o = 60o

Bài tập 6: Xác định số đo các cung $\stackrel{}{AB},\stackrel{}{BC},\stackrel{}{CA}$ trong mỗi hình vẽ sau.

Trả lời:

Bài tập 7: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung nhỏ AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng ${\mathrm{MSD^\backslash widehat\{MSD\}MSD}}^{}=2{\mathrm{MBA^\backslash widehat\{MBA\}MBA}}^{}.$

Trả lời:

Vì SM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M nên SM ⊥ OM tại M.

Xét ∆SMO vuông tại M có ${\mathrm{MSO^\backslash widehat\{MSO\}MSO}}^{}+MOS^\backslash widehat\{MOS\}MOS=90°$ (1) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Lại có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau nên AB ⊥ CD tại O, do đó ${\mathrm{MOA^\backslash widehat\{MOA\}MOA}}^{}+{\mathrm{MOS^\backslash widehat\{MOS\}MOS}}^{}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\mathrm{MSO^\backslash widehat\{MSO\}MSO}}^{}=MOA^\backslash widehat\{MOA\}MOA.$ (3)

Xét đường tròn (O), ${\mathrm{MOA^\backslash widehat\{MOA\}MOA}}^{}$ và ${\mathrm{MBA^\backslash widehat\{MBA\}MBA}}^{}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AB. Do đó ${\mathrm{MBA^\backslash widehat\{MBA\}MBA}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{MOA^\backslash widehat\{MOA\}MOA}}^{}$ hay ${\mathrm{MOA^\backslash widehat\{MOA\}MOA}}^{}=2{\mathrm{MBA^\backslash widehat\{MBA\}MBA}}^{}.$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra ${\mathrm{MSO^\backslash widehat\{MSO\}MSO}}^{}=2{\mathrm{MBA^\backslash widehat\{MBA\}MBA}}^{}$ hay ${\mathrm{MSD^\backslash widehat\{MSD\}MSD}}^{}=2{\mathrm{MBA^\backslash widehat\{MBA\}MBA}}^{}.$