Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dãy số

Hoạt động khởi động: Gọi u1; u2; u3; ...; un lần lượt là diện tích các tình huống có độ dài cạnh là 1; 2; 3; ...; n. Tính u3 và u4.

Trả lời:

u3=3.3=9

u4=4.4=16

1. Dãy số là gì?

Khám phá 1: Cho hàm số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ u(n) = n2.

Tính u(1), u(2), u(50), u(100).

Trả lời:

Ta có:

u(1) = 12 = 1;

u(2) = 22 = 4;

u(50) = 502 = 2 500;

u(100) = 1002 = 10 000.

Khám phá 2: Cho hàm số:

v: {1;2;3;4;5} $\to$R

n $\mapsto$v(n) = 2n.

Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).

Trả lời:

v(1) = 2.1 = 2;

v(2) = 2.2 = 4;

v(3) = 2.3 = 6;

v(4) = 2.4 = 8;

v(5) = 2.5 = 10.

Thực hành 1: Cho dãy số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ un = n3.

a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Trả lời:

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn.

b) 

u(1) = 13 = 1;

u(2) = 23 = 8;

u(3) = 33 = 27;

u(4) = 43 = 64;

u(5) = 53 = 125.

Vận dụng 1: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.

Trả lời:

a) s:1;2;3;4;5→R

                          n↦s(n)=π.n2

b) s(1)=π.12=π

s(5)=π.52=25π

2. Cách xác định dãy số

Khám phá 3: Cho các dãy số (an), (bn), (cn), (dn) được xác định như sau:

+) a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4.

+) bn = 2n.

+) 

+) dn là chu vi của đường tròn có bán kính n.

Tính bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Trả lời:

+) Bốn số hạng đầu của dãy (an­) là: a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (bn­) là:

b1 = 2.1 = 2;

b2 = 2.2 = 4;

b3 = 2.3 = 6;

b4 = 2.4 = 8.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (Cn­) là:

c1 = 1;

c2 = c1 + 1 = 1 + 1 = 2;

c3 = c2 + 1 = 2 + 1 = 3;

c4 = c3 + 1 = 3 + 1 = 4.

+) dn là chu vi của đường tròn có bán kính n được xác định bởi công thức: dn = 2πn.

Khi đó bốn số hạng đầu của dãy (dn­) là:

d1 = 2π.1 = 2π;

d2 = 2π.2 = 4π;

d3 = 2π.3 = 6π;

d4 = 2π.4 = 8π.

Thực hành 2: Cho dãy số (un) xác định bởi {u1=3un+1=2un(n≥1)

a) Chứng minh u2=2.3;u3=22.3;u4=23.3

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (un).

Trả lời:

a) u2=2.u1=2.3

u3=2.u2=2.2.3=22.3

u4=2.u3=2.22.3=23.3

b) un=2n−1.3

Vận dụng 2: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ (Hình 1). Gọi un là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (un) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát un.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Trả lời:

a) Ta có u1 = 14, khi đó:

u2 = 14 + 1 = 15;

u3 = 15 + 1 = 14 + 2.1;

u4 = 14 + 3.1

Khi đó công thức tổng quát của dãy số (u­n) là: un = 14 + (n – 1).1.

b) Hệ thức truy hồi của dãy số (un) là: 

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Khám phá 4: Cho hai dãy số (an) và (bn) được xác định như sau: an = 3n + 1, bn = – 5n.

a) So sánh an và an + 1, ∀n ∈ ℕ*.

b) So sánh bn và bn + 1, ∀n ∈ ℕ*.

Trả lời:

a) Ta có: an = 3n + 1, an + 1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4

Vì n ∈ ℕ* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay an + 1 > an.

b) Ta có: bn = – 5n, bn + 1 = – 5(n + 1) = – 5n – 5

Vì n ∈ ℕ* nên – 5n – 5 < – 5n hay bn – 1 < bn.

Thực hành 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (un) với un=2n−1n+1

b) (xn) với xn=n+24n

c) (tn) với tn=(−1)n.n2

Trả lời:

a) Ta có: un=2n−1n+1=2−3n+1<un+1=2−3n+2∀n∈N∗

Vậy (un) là dãy số tăng

b) Ta nhận thấy các số hạng của dãy (xn) đều là số dương. Ta lập tỉ số hai số hạng liên tiếp của dãy:

xn+1xn=n+1+14n+1n+14n=n+24.(n+1)<1,∀n∈N∗

Suy ra xn+1<xn,∀n∈N∗

Vậy (xn) là dãy số giảm

c) Ta có: t1=−1;t2=4;t3=−9. Suy ra t1<t2,t2>t3.

Vậy (tn) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm

Vận dụng 3: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi u1 = 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, un là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi vt = 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, vn là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Trả lời:

a) (un) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên nên (un) là dãy số giảm.

b) (vn) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới nên (vn) là dãy số tăng.

4. Dãy số bị chặn

Khám phá 5: Cho dãy số (un) với un=1n. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Trả lời:

∀n∈N∗. Ta có: un>0;un<1

Thực hành 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (an) với $a_n=\cos \frac{\pi }{n}$;

b) (bn) với $b_n=\frac{n}{n+1}$.

Trả lời:

a) Vì $-1\le \cos \frac{\pi }{n}\le 1$ nên $-1\le a_n\le 1$, ∀n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (an) bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (an) bị chặn.

b) Ta có: $b_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ* nên $\frac{1}{n+1}>0$ nên $1-\frac{1}{n+1}<1$ hay bn < 1.

Vì n ∈ ℕ* nên $\frac{n}{n+1}>0$ hay bn > 0.

Suy ra 0 < bn < 1. Do đó (bn) là dãy bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (bn) bị chặn.

Bài tập

Bài tập 1: Tìm u2,u3 và dự đoán công thức số hạng tổng quát un) của dãy số:

{u1=1un+1=un1+un(n≥1)

Trả lời:

u2=12;u3=13

un=1n

Bài tập 2: Cho dãy số (un) với $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$. Tìm u1, u2, u3 và dự đoán công thức số hạng tổng quát của un.

Trả lời:

Ta có:

Dự đoán công thức tổng quát:

Bài tập 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (yn) với yn=n+1−−−−−√−n−−√

Trả lời:

Ta có:

yn=n+1−−−−−√−n−−√=(n+1√−n√).(n+1√+n√)n+1√+n√=1n+1√+n√

yn+1=1n+2√+n+1√

∀n∈N∗,yn+1<yn

Vậy dãy số (yn) là dãy số giảm

Bài tập 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (an) với $a_n={\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}$;

b) (un) với $u_n=\frac{6n-4}{n+2}$.

Trả lời:

a) Vì $0\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}\le 1,\forall n\in N^{\ast }$ và $-1\le \cos \frac{n\pi }{4}\le 1,\forall n\in N^{\ast }$ nên $-1\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}\le 2,\forall n\in N^{\ast }$

Do đó $-1\le a_n\le 2,\forall n\in N^{\ast }$

Suy ra dãy số (an) bị chặn.

b) Ta có: $u_n=\frac{6n-4}{n+2}=6-\frac{16}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3

$\Rightarrow -\frac{16}{n+2}\ge -\frac{16}{3}$

$\Rightarrow 6-\frac{16}{n+2}\ge 6-\frac{16}{3}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{2}{3}$.

Mặt khác n ∈ ℕ* nên n > 0 do đó $\frac{16}{n+2}>0$ khi đó un < 6.

Suy ra $\frac{2}{3}\le u_n<6$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (un) bị chặn.

Bài tập 5: Cho dãy số (un) với un=2n−1n+1

Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn

Trả lời:

un=2n−1n+1=2−3n+1

Ta có ∀n∈N∗,un+1=2−3n+2>un=2−3n+1

Vậy dãy số (un) là dãy số tăng

un=2−3n+1>−1,∀n∈N∗. Vậy dãy số (un) bị chặn dưới

un=2−3n+1<2,∀n∈N∗. Vậy dãy số (un) bị chặn trên

Suy ra dãy số (un) bị chặn

Bài tập 6: Cho dãy số (un) với $u_n=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm các giá trị của a để:

a) (un) là dãy số tăng;

b) (un) là dãy số giảm.

Trả lời:

Ta có: $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+1+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1}=\frac{\left(\left(n+1\right)a+2\right)\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(na+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{\left(n^2+2n+1\right)a+2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(n^2+2n\right)a+2n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{a-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Vì n ∈ ℕ* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu un+1 – un phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (un) là dãy số tăng thì un+1 – un > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (un) là dãy số giảm thì un+1 – un < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.

Bài tập 7: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Trả lời:

u1=1;u2=1;u3=2;u4=3;u5=5;u6=8;u7=13;u8=21

Ta có dãy số (un): ⎧⎩⎨⎪⎪u1=1u2=1un=un−1+un−2