Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Hoạt động khởi động: Trong hình bên, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình s = 17cos5πt với s (cm) là tọa độ của điểm M trên trục Ox và t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm?

Trả lời:

Độ dài bóng OM bằng 10 cm khi s = 10 hoặc s = -10.

Khi s = 10. Ta có: 17cos5πt=10

Khi s = 10. Ta có: 17cos5πt=−10

Từ đó, ta có thể xác định được các thời điểm t

1. Phương trình tương đương

Khám phá 1: Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau:

a) x – 1 = 0;

b) x2 – 1 = 0;

c) $\sqrt{2x^2-1}=x$.

Trả lời:

a) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S1 = {1}.

b) x2 – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S2 = { – 1; 1}.

c) $\sqrt{2x^2-1}=x$

$\Rightarrow 2x^2-1=x^2$

$\Rightarrow x^2=1$

Thay x = 1 và x = – 1 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 1 là thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S3 = {1}.

Ta có nhận xét:

S1 = S3 ⊂ S2.

Thực hành 1: Chỉ ra lỗi sai trong phép biển đổi phương trình dưới đây:

x2=2x⇔x2x=2⇔x=2

Trả lời:

- Trong phép biến đổi phương trình trên, ta chia cả 2 vế cho x khi x chưa khác 0

2. Phương trình sinx = m

Khám phá 2:

a) Có giá trị nào của x để sinx = 1,5 không?

b) Trong Hình 1, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Trả lời:

a) Vì – 1 ≤ x ≤ 1 mà 1,5 > 1 nên không tồn tại giá trị của x để sinx = 1,5.

b) Trên Hình 1, những điểm trên đường tròn biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5 là điểm M và N.

Điểm M biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là $\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in Z$.

Điểm N biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là $\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in Z$.

Thực hành 2: Giải các phương trình sau:

a) sinx=3√2

b) sin(x+30o)=sin(x+60o)

Trả lời:

a) Vì 3√2=sinπ3 nên ta có phương trình sinx=3√2. Do đó phương trình có các nghiệm là:

x=π3+k2π,k∈Z và x=π−π3+k2π=2π3+k2π,k∈Z

b) sin(x+30o)=sin(x+60o)

⇔x+30o=x+60o+k.360o,k∈Z hoặc x+30o=180o−x−60o+k.360o,k∈Z

⇔x=45o+k.180o,k∈Z

3. Phương trình cosx = m

Khám phá 3: Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = $-\frac{1}{2}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Trả lời:

Trên đường tròn lượng giác điểm M và N biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = $-\frac{1}{2}$.

Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: $\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$.

Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: $-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$

Thực hành 3: Giải các phương trình sau:

a) cosx=−3

b) cosx=cos15o

c) cos(x+π12)=cos3π12

Trả lời:

a) Với mọi x∈R ta có −1≤cosx≤1

Vậy phương trình cosx=−3 vô nghiệm

b) cosx=cos15o 

⇔x=15o+k360o,k∈Z hoặc x=−15o+k360o,k∈Z

c) cos(x+π12)=cos3π12

⇔x+π12=3π12+k2π,k∈Z hoặc x+π12=−3π12+k2π,k∈Z

⇔x=π6+k2π,k∈Z hoặc x=−π3+k2π,k∈Z

4. Phương trình tanx = m

Khám phá 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho T là điểm trên trục tang có tọa độ là (1; $\sqrt{3}$) (Hình 5). Những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có tanx = $\sqrt{3}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Trả lời:

Ta thấy M và N là hai điểm biểu diễn các góc lượng giác thỏa mãn tanx = $\sqrt{3}$.

Điểm M là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$.

Điểm N là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo $-\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in Z$.

Thực hành 4: Giải các phương trình sau: 

a) tanx=0

b) tan(30o−3x)=tan75o

Trả lời:

a) tanx=0

⇔x=kπ,k∈Z

b) tan(30o−3x)=tan75o

⇔30o−3x=75o+kπ,k∈Z

⇔x=−15o−kπ3,k∈Z

5. Phương trình cotx = m

Khám phá 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho C là điểm trên trục côtang có tọa độ là (– 1; 1) (Hình 7). Những điểm nào biểu diễn góc lượng giác x có cotx = – 1? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Trả lời:

Trên đường tròn lượng giác hai điểm M và N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc x thỏa mãn cotx = – 1.

Điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc $\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in Z$.

Điểm N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc $-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in Z$.

Thực hành 5: Giải các phương trình sau:

a) cotx=1

b) cot(3x+30o)=cos75o

Trả lời:

a) cotx=1

⇔x=π4+kπ,k∈Z

b) cot(3x+30o)=cos75o

⇔3x+30o=75o+kπ,k∈Z

⇔x=15o+kπ3,k∈Z

6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

Thực hành 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:

a) cosx = 0,4;

b) tanx = $\sqrt{3}$.

Trả lời:

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: cos1,16 ≈ 0,4 nên cosx = cos1,16 do đó các nghiệm của phương trình là x = 1,16 + k2π và x = – 1,16 + k2π với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1,16 + k2π; – 1,16 + k2π, k ∈ ℤ}.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: tan$\frac{\pi }{3}$ = $\sqrt{3}$ nên tanx = tan$\frac{\pi }{3}$ do đó các nghiệm của phương trình là x = $\frac{\pi }{3}$ + k$\pi$ với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left(\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in Z\right)$.

Vận dụng: Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là x=17cos5πt (cm) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng |x| vừa bằng 10. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Trả lời:

Ta có |x|=10

⇔|17cos5πt|=10

⇔17cos5πt=10 hoặc 17cos5πt=−10

• Với 17cos5πt=10

⇔5πt=0,94+k2π,k∈Z hoặc 5πt=−0,94+k2π,k∈Z

⇔t=0,06+0,4k,k∈Z hoặc t=−0,06+0,4k,k∈Z

• Với 17cos5πt=−10

⇔5πt=2,2+k2π,k∈Z hoặc 5πt=−2,2+k2π,k∈Z

⇔t=0,14+0,4k,k∈Z hoặc t=−0,14+0,4k,k∈Z

Bài tập

Bài tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin2x = $\frac{1}{2}$;

b) sin$\left(x-\frac{\pi }{7}\right)$ = sin$\frac{2\pi }{7}$;

c) sin4x - cos$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ = 0.

Trả lời:

a) Vì sin$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{1}{2}$ nên ta có phương trình sin2x = sin$\frac{\pi }{6}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $\left(\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in Z\right)$.

b) sin$\left(x-\frac{\pi }{7}\right)$= sin$\frac{2\pi }{7}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $\left(\frac{3\pi }{7}+k2\pi ;\frac{6\pi }{7}+k2\pi ,k\in Z\right)$.

c) sin4x - cos$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $\left(\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3};-\frac{2\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5},k\in Z\right)$.

Bài tập 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos(x+π3)=3√2

b) cos4x=5π12

c) cos2x=1

Trả lời:

a) cos(x+π3)=3√2

⇔x+π3=π6+k2π,k∈Z hoặc x+π3=−π6+k2π,k∈Z

⇔x=−π6+k2π,k∈Z hoặc x=−π2+k2π,k∈Z

b) cos4x=5π12

⇔4x=5π12+k2π,k∈Z hoặc 4x=−5π12+k2π,k∈Z

⇔x=5π48+kπ2,k∈Z hoặc x=−5π48+kπ2,k∈Z

c) cos2x=1

⇔cosx=1 hoặc cosx=−1

⇔x=k2π,k∈Z hoặc x=π+k2π,k∈Z

⇔x=kπ,k∈Z

Bài tập 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) tanx = tan55°;

b) tan$\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$=0.

Trả lời:

a) tanx = tan55° (điều kiện xác định x ≠ 90° + k180°).

⇔ x = 55° + k180°, k ∈ ℤ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {55° + k180°, k ∈ ℤ}.

b) tan$\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$=0 (điều kiện xác định $2x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in Z$)

$\iff 2x+\frac{\pi }{4}=k\pi ,k\in Z$

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left(-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in Z\right)$.

Bài tập 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cot(12x+π4)=−1

b) cot3x=−3√3

Trả lời:

a) cot(12x+π4)=−1

⇔12x+π4=3π4+kπ,k∈Z

⇔x=π+2kπ,k∈Z

b) cot3x=−3√3

⇔3x=2π3+kπ,k∈Z

⇔x=2π9+kπ3,k∈Z

Bài tập 5: Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Trả lời:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: sinx = cosx

⇔ cosx = cos$\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in Z\right)$.

Bài tập 6: Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức s=10sin(10t+π2). Vào các thời điểm nào thì s=−53–√ cm?

Trả lời:

Khi: s=−53–√ thì 10sin(10t+π2)=−53–√

 ⇔sin(10t+π2)=−3√2

⇔10t+π2=−π3+k2π,k∈Z hoặc 10t+π2=π−−π3+k2π,k∈Z

⇔t=−112+15k,k∈Z hoặc t=112+15k,k∈Z

Bài tập 7: Trong Hình 10, ngọn đèn hải đăng H cách bờ biển yy’ một khoảng HO = 1km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $\frac{\pi }{10}$ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị tọa độ yM của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với tọa độ yS = – 1 (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Trả lời:

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: $\alpha =\frac{\pi }{10}t$ rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

MO = tanα.1 = tan$\left(\frac{\pi }{10}t\right)$.

Vậy tọa độ yM = tan$\left(\frac{\pi }{10}t\right)$.

b) Xét tan$\left(\frac{\pi }{10}t\right)$ = -1

$\iff$ tan$\left(\frac{\pi }{10}t\right)$ = tan$\left(-\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff$ $\frac{\pi }{10}t$ = $-\frac{\pi }{4}$ + k$\pi$, k$\in$Z

$\iff$ t = -2,5 + 10k, k$\in$Z

Vì t ≥ 0 nên tại các thời điểm t = -2,5 + 10k, k$\in$Z, k$\ge$1 thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.