Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

Hoạt động khởi động: Hai đồ thị ở hai hình dưới đây cho biết phí gửi xe y của ô tô con (tính theo 10 nghìn đồng) theo thời gian gửi x (tính theo giờ) của hai bãi xe. Có nhận xét gì về sự thay đổi của số tiền phí phải trả theo thời gian gửi ở mỗi bãi đỗ xe?

Trả lời:

+) Bãi xe A:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần.

+) Bãi xe B:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần theo nấc.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Khám phá 1: Cho hàm số y=f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪1;0≤x≤11+x;1<x≤25−x;2<x≤3 có đồ thị như Hình 1

Tại mỗi điểm x0=1 và x0=2, có tồn tại giới hạn limx→x0f(x) không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x0) không?

Trả lời:

• Với x0=1: Ta có:

limx→1+f(x)=1+1=2

limx→1−f(x)=1

Suy ra: không tồn tại limx→1f(x)

• Với x0=2: Ta có:

limx→2+f(x)=5−2=3

limx→2−f(x)=1+2=3

Suy ra limx→2f(x)=3 và limx→2f(x)=f(2)

Thực hành 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = 1 – x2 tại điểm x0 = 3;

b)  tại điểm x0 = 1.

Trả lời:

a) Ta có: $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\left(1-x^2\right)=-8$ và f(3) = 1 – 32 = – 8.

Do đó $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=-8$

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 3.

b) Tại x0 = 1:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=2$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x\right)=-1$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

Do đó không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x0 = 1.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Khám phá 2: Cho hàm số y=f(x)={x+1;1<x≤2k;x=1

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm x0∈(1;2)

b) Tìm limx→2−f(x) và so sánh giá trị này với f(2)

c) Với giá trị nào của k thì limx→1+f(x)=k?

Trả lời:

a) Tại mỗi điểm x0∈(1;2) ta có: f(x0)=x0+1 và limx→x0f(x)=limx→x0(x+1)

Suy ra limx→x0f(x)=f(x0)

Vậy với mỗi điểm x0∈(1;2) thì hàm số y = f(x) liên tục

b) limx→2−f(x)=limx→2−(x+1)=2+1=3

f(2)=2+1=3

Vậy limx→2−f(x)=f(2)

c) limx→1+f(x)=limx→1+(x+1)=1+1=2

Thực hành 2: Xét tính liên tục của hàm số: $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên [1; 2].

Trả lời:

Đặt $y=f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$

Với mọi x0 ∈ (1; 2), ta có:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=\sqrt{x_0-1}+\sqrt{2-x_0}=f\left(x_0\right)$

Ta lại có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(1\right)$;

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(2\right)$.

Vậy hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ liên tục trên [1; 2].

Vận dụng 1: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

P(x)={4,5x;0<x≤4004x+k;x>400 (k là một hằng số)

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên (0;+∞)

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên (0;+∞)?

Trả lời:

a) Với k = 0. Xét:

limx→400−P(x)=limx→400−4,5x=4,5.400=1800

limx→400+P(x)=limx→400−4x=4.400=1600

Suy ra không tồn tại limx→400P(x) và hàm số P(x) không liên tục tại x0=400

Vậy hàm số P(x) không liên tục trên (0;+∞)

b) Để hàm số P(x) liên tục trên (0;+∞) thì hàm số phải liên tục tại x0=400 hay limx→400P(x)=P(400)

Ta có:

limx→400−P(x)=limx→400−4,5x=4,5.400=1800

limx→400+P(x)=limx→400−(4x+k)=4.400+k=1600+k

Để tồn tại limx→400P(x) thì 1800 = 1600 + k. Suy ra k = 200

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

Khám phá 3: Cho hai hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$ và y = g(x) = $\sqrt{4-x}$.

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Trả lời:

a) +) Xét hàm số: y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$

Điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {1}.

+) Xét hàm số: y = g(x) = $\sqrt{4-x}$

Điều kiện xác định của hàm số là: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (– ∞; 4].

b) +) Xét hàm số f(x):

Với x0 ∈ ( – ∞; 1) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (– ∞; 1).

Với x0 ∈ ( 1; + ∞) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (1; + ∞).

+) Xét hàm số g(x):

Với x0 ∈ (– ∞; 4) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x_0}=g\left(x_0\right)$.

Tại x0 = 4 thì $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{4-x}=0=g\left(4\right)$.

Vậy hàm số liên tục trên (– ∞; 4].

Thực hành 3: Xét tính liên tục của hàm số y=x2−4−−−−−√

Trả lời:

y=x2−4−−−−−√ là hàm căn thức, có tập xác định (−∞;−2]∪[2;+∞) nên nó liên tục trên các khoảng (−∞;−2] và [2;+∞)

Thực hành 4: Cho hàm số f(x)={x2−2xx;x≠0a;x=0

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên R

Trả lời:

+) Với x ≠ 0 thì f(x) = $\frac{x^2-2x}{x}$ liên tục trên (– ∞; 0) và (0; + ∞).

+) Với x = 0 thì

Ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-2\right)=-2$ và f(0) = a.

Để y = f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0 do đó a = – 2.

Vận dụng 2: Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

T(x)=⎧⎩⎨⎪⎪10000;0<x≤0,710000+(x−0,7).14000;0,7<x≤20280200+(x−20).12000;x>20

Xét tính liên tục của hàm số T(x)

Trả lời:

T(x) = 10000 với 0<x≤0,7  là hàm số đa thức nên nó liên tục trên (0;0,7)

T(x) = 10000 +(x-0,7).14000 với 0,7<x≤20 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,7;20)

T(x) = 280200 +(x-20).12000 với x>20 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (20;+∞)

Ta có:

limx→0,7−T(x)=limx→0,7−10000=10000

limx→0,7+T(x)=limx→0,7+[10000+(x−0,7).14000]=10000

Suy ra: limx→0,7T(x)=T(0,7)

Vậy hàm số T(x) liên tục tại 0,7

limx→20−T(x)=limx→20−[10000+(x−0,7).14000]=280200

limx→20+T(x)=limx→20+[280200+(x−20).12000]=280200

Suy ra: limx→20T(x)=T(20)

Vậy hàm số T(x) liên tục tại 20

Vậy hàm số T(x) liên tục trên (0;+∞)

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Khám phá 4: Cho hai hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$ và y = g(x) = $\sqrt{4-x}$. Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.

Trả lời:

Xét hàm số y = h(x) = f(x) + g(x) = $\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}$ có tập xác định D = [4; +∞) \ {1}.

Tại x0 = 2 ∈ D thì $\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}\right)$ = 3 = h(2).

Do đó hàm số liên tục tại x0 = 2.

Thực hành 5: Xét tính liên tục của hàm số

a) y=x2−−√+3−x

b) y=x2−1x.cosx

Trả lời:

a) Hàm số y=x2−−√ và y=3−x liên tục với mọi x∈R.

Do đó hàm số y=x2−−√+3−x liên tục trên R.

b) Tập xác định của hàm số là D=(−∞;0)∪(0;+∞)

Hàm số y=x2−1x liên tục tại mọi điểm x0≠0

Hàm số y = cosx liên tục tại mọi điểm x0∈R

Do đó hàm số y=x2−1x.cosx liên tục trên các khoảng (−∞;0) và (0;+∞)

Vận dụng 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (– 1 < x < 1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích của tam giác ONP.

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (– 1; 1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }S\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }S\left(x\right)$.

Trả lời:

a) Xét tam giác OMN vuông tại M có:

MN = $\sqrt{O{N}^2-O{M}^2}=\sqrt{1-x^2}$

$\Rightarrow NP=2\sqrt{1-x^2}$

Diện tích của tam giác ONP là:

S(x) = $\frac{1}{2}$.NP.OM = $\frac{1}{2}$.2.$\sqrt{1-x^2}$.x = x$\sqrt{1-x^2}$

b) Trên (– 1; 1) hàm số y = $\sqrt{1-x^2}$ xác định và liên tục và hàm số y = x liên tục.

Do đó hàm số S(x) liên tục trên (– 1; 1).

c) Ta có:

$\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$.

Bài tập

Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x)={x2+1;x≥01−x;x<0 tại điểm x = 0

b) f(x)={x2+2;x≥1x;x<1 tại điểm x = 1

Trả lời:

a) limx→0−f(x)=limx→0−(1−x)=1−0=1

limx→0+f(x)=limx→0+(x2+1)=02+1=1

Suy ra: limx→0f(x)=f(0)

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0

b) limx→1−f(x)=limx→1−x=1

limx→1+f(x)=limx→1+(x2+2)=12+2=3

Suy ra không tồn tại limx→1f(x)

Vậy hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1

Bài tập 2: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Trả lời:

Ta có:

$\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x-2\right)=-4$.

f(-2) = a.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2

$\iff \underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)$= f(-2)

$\iff$a = -4

Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

Bài tập 3: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) f(x)=xx2−4

b) g(x)=9−x2−−−−−√

c) h(x)=cosx+tanx

Trả lời:

a) f(x)=xx2−4 là hàm số phân thức có tập xác định là (−∞;−2)∪(−2;2)∪(2;+∞)

Nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;2), (−2;2) và (2;+∞)

b) g(x)=9−x2−−−−−√ là hàm số căn thức có tập xác định là [−3;3] nên hàm só g(x) liên tục trên đoạn [−3;3]

c) h(x)=cosx+tanx là hàm số lượng giác có tập xác định là R\{π2+kπ}

Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.

Bài tập 4: Cho hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$. Xét tính liên tục của hàm số y = f(x).g(x) và y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

Trả lời:

+) Xét hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định D = [1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = f(x).g(x) liên tục trên D.

+) Xét hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ có tập xác định D = (1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục trên D.

Bài tập 5: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

C(x)=⎧⎩⎨⎪⎪60000;0<x≤2100000;2<x≤4200000;4<x≤24

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Trả lời:

C(x) = 60000 khi x∈(0;2) nên hàm số C(x) liên tục trên (0;2)

C(x) = 100000 khi x∈(2;4) nên hàm số C(x) liên tục trên (2;4)

C(x) = 200000 khi x∈(4;24) nên hàm số C(x) liên tục trên (4;24)

Ta có: 

limx→2−C(x)=60000

limx→2+C(x)=100000

Vậy không tồn tại limx→2 hay hàm số C(x) không liên tục tại 2

limx→4−C(x)=100000

limx→4+C(x)=200000

Vậy không tồn tại limx→4 hay hàm số C(x) không liên tục tại 4

Bài tập 6: Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là: 

F(r)={GMrR3;0<r<RGMr2;r≥R

Trong đó M là khối lương, R là bán kính của Trái đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0;+∞) không?

Trả lời:

+) Ta có: y = $\frac{GMr}{R^3}$ liên tục trên (0; R) và y = $\frac{GM}{r^2}$ liên tục trên (R; + ∞).

+) Tại r = R, ta có:

$\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GMr}{R^3}=\frac{GM}{R^2}$

$\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra $\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)$. Do đó $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$

Mà $F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$ nên $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra hàm số liên tục tại x = R.

Vậy hàm số liên tục trên (0; +∞).