Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hai đường thẳng song song

Hoạt động khởi động: Mô tả vị trí giữa các cặp đường thẳng a và b, b và c, c và d có trong hình bên

Trả lời:

2 đường thẳng a và b nằm chéo nhau

2 đường thẳng b và c song song với nhau

2 đường thẳng c và d nằm chéo nhau

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Khám phá 1: 

a) Nếu các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng a, b cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Cho tứ diện ABCD. Hai đường thẳng AB và CD có cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào không?

Trả lời:

a) Các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng là:

+) Hình 1a): Hai đường thẳng a và b trùng nhau.

+) Hình 1b): Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại một điểm M.

+) Hình 1c): Hai đường thẳng a và b song song.

b) Hai đường thẳng AB và CD không cùng nằm trong một mặt phẳng nào cả.

Thực hành 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và CD;

b) SA và SC;

c) SA và BC.

Trả lời:

a) AB và CD cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD).  ABCD là hình bình hành nên AB // CD

b) SA và SC cùng nằm trong mặt phẳng (SAC). Do đó SA và SC cắt nhau tại S.

c) Giả sử SA và BC cùng nằm trong mặt phẳng (P). Suy ra đường thẳng AC cũng nằm trong (P). Do đó (P) chứa cả 4 điểm của tứ diện SABC (vô lí do S không nằm trong mặt phẳng (ABCD)).

Vậy SA và BC không cùng nằm trong một mặt phẳng và chéo nhau. 

Vận dụng 1: Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.

Trả lời:

+) Hai đường thẳng a và b nằm trong mặt phẳng phía trên của cầu sắt và song song với nhau.

+) Hai đường thẳng c và d nằm trong mặt phẳng phía trên của cầu sắt và cắt nhau tại điểm A.

+) Hai đường thẳng e và f không cùng nằm trong một mặt phẳng nên e và f là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song

Khám phá 2: 

a) Trong không gian, cho điểm M ở ngoài đường thẳng d. Đặt (P) = mp(M, d). Trong (P), qua M vẽ đường thẳng d’ song song với d, đặt (Q) = mp(d, d’). Có thể khẳng định hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau không?

b) Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt nhau theo ba giao tuyến a, b, c phân biệt với a = (P) ∩ (R); b = (Q) ∩ (R); c = (P) ∩ (Q) (Hình 8).

Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c không?

Trả lời:

a) Do M∈d′;d′∈(Q) nên M∈(Q)

Với 1 đường thẳng d và 1 điểm M không thuộc d, ta chỉ xác định duy nhất một mặt phẳng đi qua chúng nên (P) trùng (Q)

b) M∈a;a∈(P) nên M∈(P)

M∈b;b∈(Q) nên M∈(Q)

Do đó M là giao điểm của hai mặt phẳng (P) và (Q). 

Ta có: c=(P)∩(Q) 

Suy ra c∈M

Thực hành 2: Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD).

Trả lời:

Ta có ADMS là hình thang nên SM // AD

Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua S và song song với AD nên SM phải trùng với d.

Mà SM ⊂ (SAD)

Do đó d ⊂ (SAD).

Khám phá 3: Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (Hình 13a).

Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp(a, c) và mp(M, b) (Hình 13 b). Do b // c nên ta có d//b và d//c. Giải thích tại sao d phải trùng với a. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa a và b.

Trả lời:

Ta có: mp(a, c) = mp(M, c) và mp(a, b) = mp(m, b)

Mà d là giao tuyến của mp(a, c) và mp(M, b)

Suy ra M ∈ d

Ta lại có d//b và d//c

Do đó d phải trùng a.

Thực hành 3: Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh IJNM là một hình thang

b) Tìm vị trị của điểm M để IJNM là hình bình hành

Trả lời:

a) Mặt phẳng (P) đi qua IJ, mặt phẳng (ACD) đi qua CD

Mà I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD nên IJ//BD

Nên (P) giao với (ACD) tại MN//IJ//CD

Vậy IJMN là hình thang có đáy là MN và IJ

b) Để IJMN là hình bình hành thì IJ = MN

Mà IJ=12CD nên MN=12CD 

Vậy M là trung điểm của AC

Vận dụng 2: Một chiếc lều (Hình 16a) được minh họa như Hình 16b.

a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.

b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.

Trả lời:

a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song là: P, Q, R

b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy là: P, Q, S

Bài tập

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b.

b) Đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b.

Trả lời:

a) Mệnh đề: “Hai đường thẳng a và b song song, đường thẳng c cắt a thì c cũng cắt b” là một mệnh đề sai vì c và b cũng có thể chéo nhau (không đồng phẳng).

b) Mệnh đề: “Hai đường thẳng a và b song song, đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b là một mệnh đề sai.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác ABC (Hình 17). Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt (SBC) tại N. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN).

Trả lời:

Gọi I là giao điểm của AM và BC. Trong mặt phẳng (SAI), kẻ đường thẳng d song sóng SA cắt SI tại N

Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN) là đường thẳng đi qua C và song song với SA và MN

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?

a) Ta có: CD // AB

CD ⊂ (SCD), AB ⊂ (SAB)

S ∈ (SAB) ∩ (SCD)

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD.

b) Trong mặt phẳng (SAD), kẻ đường thằng qua M song song với AD cắt SD tại N.

Mà AD // BC nên MN // BC.

Do đó mp(M, BC) = mp(MN, BC).

Vậy N là giao điểm của SD với (MBC).

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. Hai mặt phẳng (IAC) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx. Chứng minh rằng Cx//SB.

Trả lời:

Mặt phẳng (SBC) và (SAD) giao nhau tại đường thẳng d đi qua S và song song với BC

Trong mặt phẳng (SAD), kéo dài AI cắt d tại K.

AI⊂(AIC) nên K∈(ACI)

Ta có C và K là 2 điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (CIA) nên CK là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (CIA)

Trong mặt phẳng (SADK) ta có AD//SK, I là trung điểm của SD nên AD = SK. Mà AB = BD. Suy ra SK = BC

Ta có SK//BC, SK = BC nên SBCK là hình bình hành.

Suy ra CK//SB. Hay Cx//SB

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng ICD cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a.

b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK // BC //AD.

Trả lời:

a) +) Trong mặt phẳng (SBD) có DI cắt SB tại N.

Mà DI ⊂ (ICD)

Do đó (ICD) cắt SB tại N.

+) Trong mặt phẳng (SAC) có CI cắt SA tại M.

Mà CI ⊂ (ICD)

Do đó (ICD) cắt SA tại M.

+)

b) Ta có:

(SAD) ∩ (ABCD) = AD

(SBC) ∩ (ABCD) = BC

(SAD) ∩ (SBC) = SK

Mà AD // BC

⇒ SK // AD // BC.

Bài tập 6: Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế.

Trả lời:

- Hình a: Các dây điện song song với nhau.

- Hình b: Các mép của viên gạch song song với nhau.

- Hình c: Các mép của bậc thang song song với nhau.

- Hình d: Các mép của phím đàn song song với nhau.

- Hình e: Các mép của các ngăn trên giá sách song song với nhau.

- Hình g: Các mép của viên gạch song song với nhau.

=> Một số ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế: Các cạnh bàn đối diện nhau song song với nhau, các mép tường đối diện nhau song song với nhau,…