Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Trung vị

Khám phá 1:

a) Sử dụng biểu đồ ở hoạt động khởi động, hoàn thiện bảng thống kê sau:

b) Tìm các nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên mỗi đội.

Trả lời:

a) 

b)

- Nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên đội Sao La là [180;185)

- Nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên đội Kim Ngưu là [185;190)

Thực hành 1: Hãy trả lời câu hỏi ở hoạt động khởi động.

Trả lời:

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

+) Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Sao La là:

$\overline{x_1}=\frac{172,5.2+177,5.4+182,5.5+187,5.5+192,5.4}{20}\approx 183,75$ (cm).

Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Kim Ngưu là:

$\overline{x_2}=\frac{172,5.2+177,5.3+182,5.4+187,5.10+192,5.1}{20}\approx 183,75$ (cm).

Theo chiều cao trung bình thì cả hai đội có chiều cao như nhau.

+) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x1; x2; x3; ...; x20 là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(x10 + x11)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x1; x2 ∈ [170; 175); x3; x4; x5; x6 ∈ [175; 180); x7; x8; x9; x10; x11 ∈ [180; 185).

Do đó $\frac{1}{2}$(x10 + x11) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Sao La là:

$M_e=180+\frac{\frac{20}{2}-(2+4)}{5}(185-180)=184$.

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y1; y2; y3; ...; y20 là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(y10 + y11)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y1; y2 ∈ [170; 175); y3; y4; y5 ∈ [175; 180); y6; y7; x8; x9 ∈ [180; 185); x10; x11; ...; x19 ∈ [185; 190); x20 ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x10 + x11) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Kim Ngưu là:

$M_e=190+\frac{\frac{20}{2}-(2+3+4)}{10}(195-190)=190,5$.

Dựa vào số trung vị ta thấy chiều cao của đội Kim Ngưu nhỉnh hơn chiều cao của đội Sao La.

Vận dụng 1: Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chức muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất để tiếp tục thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây?

Trả lời:

Số vận động viên tham gia chạy là: n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124 

Gọi x1;x2;x3;...;x124 lần lượt là thời gian chạy của các vận động viên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Do x1,...,x5∈[21;21,5);x6,...,x17∈[21,5;22); x18,...,x49∈[22;22,5);x50,...,x94∈[22,5;23);... nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [22,5;23) 

Ta có: n=124;nm=45;C=5+12+32=49;um=22,5;um+1=23

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Me=22,5+1242−4945.(23−22,5)=22,6

Vậy ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá 22,6 giây

2. Tứ phân vị

Khám phá 2: Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm 25% các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất. Hỏi huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ bao nhiêu giờ trở lên vào nhóm này?

Trả lời:

Số vận động viên được khảo sát là: n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39.

Gọi x1; x2; ...; x39 là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x1; x2; x3 ∈ [0; 2), x4; ...; x11 ∈ [2; 4), x12; ...; x23 ∈ [4; 6), x24; ...; x35 ∈ [6; 8), x36; ...; x39 ∈ [8; 10).

Do đó đối với dãy số liệu x1; x2; ...; x39 thì:

- Tứ phân vị thứ nhất là x10 thuộc nhóm [2; 4);

- Tứ phân vị thứ hai là x20 thuộc nhóm [4; 6);

- Tứ phân vị thứ ba là x30 thuộc nhóm [6; 8).

Vậy huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ x30 (giờ) trở lên.

Thực hành 2: Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Trả lời:

Số lần thực hiện cuộc gọi là: n = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33

Gọi x1;x2;x3;...;x33 lần lượt là thời gian thực hiện cuộc gọi theo thứ tự không gian

Do x1,...,x8∈[0;60);x9,...,x18∈[60;120);x19,...,x25∈[120;180); x26,...,x30∈[180;240);....

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là 12(x16+x17) thuộc nhóm [60;120) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là Q2=60+332−810(120−60)=111

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là 12(x8+x9) thuộc nhóm [60;120) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là Q1=60+334−810(120−60)=61,5

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là 12(x24+x25) thuộc nhóm [120;180) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là Q3=120+3.334−187(180−120)=177,8

Vận dụng 2: Một phòng khám thống kê số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày trong 4 tháng năm 2022 ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Quản lí phòng khám cho rằng có khoảng 25% số ngày khám có nhiều hơn 35 bệnh nhân đến khám. Nhận định trên có hợp lí không?

Trả lời:

Hiệu chỉnh bảng số liệu ta được:

Tổng số số ngày có bệnh nhân đến khám là: 7 + 8 + 7 + 6 + 2 = 30.

Gọi x1; x2; ...; x30 lần lượt là số bệnh nhân đến khám bệnh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x1; ...; x7 ∈ [0,5; 10,5), x8; ...; x15 ∈ [10,5; 20,5), x16; ...; x22 ∈ [20,5; 30,5), x23; ...; x28 ∈ [30,5; 40,5), x29; x30 ∈ [40,5; 50,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x8 ∈ [10,5; 20,5) nên

Q1 = $10,5+\frac{\frac{30}{4}-7}{8}.(20,5-10,5)\approx 11,1$.

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x15 và x16. Vì x15 ∈ [10,5; 20,5) và x16 ∈ [20,5; 25,5) nên ta có: Q2 = 20,5.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x24 ∈ [30,5; 40,5) nên

Q3 = $30,5+\frac{\frac{3.30}{4}-22}{6}.(40,5-30,5)\approx 31,3$.

Bài tập

Bài tập 1: Lương tháng của một số nhân viên văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.

Trả lời:

a) Tứ phân vị thứ nhất là: 9,01

Tứ phân vị thứ hai là: 10,8

Tứ phân vị thứ ba là: 12,35

b)

c) Gọi x1;x2;x3;...;x24 lần lượt là số nhân viên theo thứ tự không gian

Do x1,...,x3∈[6;8);x4,...,x9∈[8;10);x10,...,x17∈[10;12); x18,...,x24∈[12;14)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là 12(x12+x13) thuộc nhóm [10;12) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là Q2=10+242−98(12−10)=10,75

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là 12(x6+x7) thuộc nhóm [8;10) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là Q1=8+244−36(10−8)=9

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là 12(x18+x19) thuộc nhóm [12;14) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là Q3=12+3.244−177(14−12)=12,3

Bài tập 2: Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau:

a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng tứ phân vị của mẫu số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.

Trả lời:

a) Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

6; 8; 8; 10; 11; 11; 12; 13; 14; 14; 14; 15; 18; 18; 21; 22; 23; 24; 25; 25.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 ta được: $Q_2=\frac{14+14}{2}=14$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 ta được:

$Q_1=\frac{11+11}{2}=11$.

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 15 và 16 ta được:

$Q_3=\frac{21+22}{2}=21,5$.

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Ta có bảng hiểu chỉnh bảng trên như sau:

Gọi x1; x2; ...; x20 là lương tháng của nhân viên một văn phòng theo thứ tự không giảm.

Ta có: x1; ...; x4 ∈ [5,5; 10,5), x5; ...; x12 ∈ [10,5; 15,5), x13; x14 ∈ [15,5; 20,5), x15; ...; x20 ∈ [20,5; 25,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x10 và x11. Vì x10; x11 ∈ [10,5; 15,5) nên Q2 = $10,5+\frac{\frac{20}{2}-4}{8}(15,5-10,5)=14,25$.

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung bình cộng của x5 và x6. Vì x5; x6 ∈ [10,5; 15,5) nên $Q_1=10,5+\frac{\frac{20}{4}-4}{8}(15,5-10,5)=11,125$.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung bình cộng của x15 và x16. Vì x15; x16 ∈ [20,5; 25,5) nên $Q_3=20,5+\frac{\frac{3.20}{4}-14}{6}(25,5-20,5)\approx 21,3$.

Bài tập 3: Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trả lời:

Số trung bình của dãy số liệu xấp xỉ bằng:

(0,925.10+0,975.20+1,025.35+1,075.15+1,125.5):85=1,016

Nhóm chứa mốt của dãy số liệu là: [1,0;1,05)

M0=1,0+35−20(35−20)+(35−15).(1,05−1,0)=1,02

Gọi x1;x2;x3;...;x85 lần lượt là số viên pin theo thứ tự không gian

Do x1,...,x10∈[0,9;0,95);x11,...,x30∈[0,95;1,0);x31,...,x65∈[1,0;1,05); x66,...,x80∈[1,05;1,1);x81,...,x85∈[1,1;1,15)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là 12(x42+x43) thuộc nhóm [1,0;1,05) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là Q2=1,0+852−3035(1,05−1,0)=1,02

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là 12(x21+x22) thuộc nhóm [0,95;1,0) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là Q1=0,95+854−1020(1,0−0,95)=0,98

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là 12(x63+x64) thuộc nhóm [1,0;1,05) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là Q3=1,0+3.854−3035(1,05−1,0)=1,048

Bài tập 4: Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị : kg).

a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ướng lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và cân nặng lợn con mới sinh giống B.

Trả lời:

a) Ta có bảng tần số ghép lớp như sau:

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

$\overline{x_1}=\frac{1,05.8+1,15.28+1,25.32+1,35.17}{8+28+32+17}\approx 1,22$ (kg).

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

$\overline{x_2}=\frac{1,05.13+1,15.14+1,25.24+1,35.14}{13+14+24+14}\approx 1,21$ (kg).

Suy ra cân nặng trung bình của hai giống lợn con đều gần như nhau.

+) Tổng số lợn con giống A là 85 con.

Gọi x1; ...; x85 là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống A theo thứ tự không giảm.

Ta có: x1; ...; x8 ∈ [1,0; 1,1), x9; ...; x36 ∈ [1,1; 1,2), x37; ...; x68 ∈ [1,2; 1,3), x69; ...; x85 ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị x43 ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_2=1,2+\frac{\frac{85}{2}-36}{32}.(1,3-1,2)\approx 1,22$ (kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(x21 + x22) và x21, x22 ∈ [1,1; 1,2) nên

$Q_1=1,1+\frac{\frac{85}{4}-8}{28}.(1,2-1,1)\approx 1,15$ (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(x63 + x64) và x63; x64 ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_3=1,2+\frac{\frac{3.85}{4}-36}{32}.(1,3-1,2)\approx 1,29$ (kg).

+) Tổng số lợn con giống B là 65 con.

Gọi y1; ...; y65 là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống B theo thứ tự không giảm.

Ta có: y1; ...; y13 ∈ [1,0; 1,1), y14; ...; y27 ∈ [1,1; 1,2), y28; ...; y51 ∈ [1,2; 1,3), y52; ...; y65 ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị y33 ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_2=1,2+\frac{\frac{65}{2}-27}{24}.(1,3-1,2)\approx 1,22$ (kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(y16 + y17) và y16, y17 ∈ [1,1; 1,2) nên

$Q_1=1,1+\frac{\frac{65}{4}-13}{14}.(1,2-1,1)\approx 1,12$ (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(y49 + x50) và y49; y50 ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_3=1,2+\frac{\frac{3.65}{4}-27}{24}.(1,3-1,2)\approx 1,29$ (kg).