Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Sau bài học này, ta tính số tuổi trung bình của khách hàng nam và nữ như sau:

Độ tuổi trung bình của khách hàng nam là:

$\frac{25.4+35.6+45.10+55.7+65.3}{30}\approx 45$.

Độ tuổi trung bình của khách hàng nữ là:

$\frac{25.3+35.9+45.6+55.3+65.2}{23}\approx 42$.

1. Số liệu ghép nhóm

Khám phá 1: Sử dụng dữ liệu ở biểu đồ trong Mở đầu, hoàn thiện bảng thống kê về số lượng khách hàng nữ theo tuổi sau:

Trả lời:

Thực hành 1: Một cửa hàng đã thống kê số ba lô bán được mỗi ngày trong tháng 9 với kết quả cho như sau:

Hãy chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm, hiệu chỉnh bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.

Trả lời:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: R = 29 – 10 = 19.

Độ dài mỗi nhóm L > $\frac{R}{k}=\frac{19}{5}=3,8$.

Chọn L = 4 và chia các dữ liệu thành các nhóm [45; 49), [49; 53), [53; 57), [57; 61), [61; 65).

Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

2. Số trung bình

Khám phá 2: Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời 40 cau hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:

a) Tính giá trị đại diện c1;1≤i≤5, của từng nhóm số liệu

b) Tính n1c1+n2c2+n3c3+n4c4+n5c5

c) Tính x¯¯¯=n1c1+n2c2+n3c3+n4c4+n5c540

Trả lời:

a) c1=18,5;c2=23,5;c3=28,5;c4=33,5;c5=38,5

b) n1c1+n2c2+n3c3+n4c4+n5c5=1200

c) x¯¯¯=n1c1+n2c2+n3c3+n4c4+n5c540=120040=30

Thực hành 2: Hãy ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1 trong Hoạt động khám phá 2.

Trả lời:

Ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1 là:

$\overline{x}=\frac{n_1{c}_1+n_2{c}_2+n_3{c}_3+n_4{c}_4+n_5{c}_5}{40}=\frac{1200}{40}=30$ (câu hỏi).

Thực hành 3: Hãy ước lượng cân nặng trung bình của học sinh trong Ví dụ 2 sau khi ghép nhóm và so sánh kết quả tìm được với cân nặng trung bình của mẫu số liệu gốc.

Trả lời:

Cân nặng trung bình của học sinh trong lớp 11 xấp xỉ là 

(47.4+51.5+55.7+59.7+63.5):28=55,6 (kg)

Giá trị ước lượng cân nặng trung bình xấp xỉ bằng cân nặng trung bình của mẫu số liệu gốc

3. Mốt

Khám phá 3: Từ mẫu số liệu ở hoạt động khởi động, hãy cho biết khách hàng nam và khách hàng nữ ở khoảng độ tuổi nào mua bảo hiểm nhân thọ nhiều nhất. Ta có thể biết mốt của mẫu số liệu đó không?

Trả lời:

Ta có bảng thống kê sau:

Dựa vào bảng số liệu trên ta thấy:

Đối với nam: Độ tuổi từ 40 đến 50 mua bảo hiểm nhiều nhất.

Đối với nữ: Độ tuổi từ 30 đến 40 mua bảo hiểm nhiều nhất.

Ta có thể biết được mốt của mẫu số liệu bằng cách như sau:

Đối với nam, mốt của mẫu số liệu là:

$M_0=40+\frac{10-6}{10-6+10-7}.(50-40)\approx 46$ (tuổi).

Đối với nữ, mốt của mẫu số liệu là:

$M_0=30+\frac{9-3}{9-3+9-6}.(40-30)\approx 37$ (tuổi).

Thực hành 4: Hãy sử dụng dữ liệu ở mở đầu để tư vấn cho đại lí xác định khách hàng nam và nữ ở tuổi nào hay mua bảo hiểm nhất

Trả lời:

Số khách hàng mua bảo hiểm ở từng độ tuổi được thống kê như sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nam là [40;50)

Do đó um=40,nm−1=6;nm+1=7;um+1−um=50−40=10

Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là: 

M0=40+10−6(10−6)+(10−7).10=45,7

Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nam 46 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nữ là [30;40)

Do đó um=30,nm−1=3;nm+1=6;um+1−um=40−30=10

Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là: 

M0=30+9−3(9−3)+(9−6).10=36,7

Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nữ 37 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất

Bài tập

Bài tập 1: Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét):

a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném.

b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên.

d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất?

Trả lời:

a) Cự li trung bình ở mỗi lần ném là:

$\overline{x}=\frac{72,1+72,9+70,2+...+72,9+72,7+70,7}{30}\approx 71,56$ (mét).

b)

c) Ta có:

Cự li trung bình ước lượng là:

$\frac{69,6.4+70,4.2+71,2.7+72.12+72,8.5}{30}=71,52$ (m).

d) Anh Văn ném được khoảng 73 mét cao nhất.

Bài tập 2: Người ta đếm số xe ô tô đi qua một trạm thu phí mỗi phút trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ 30 phút sáng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

a) Tìm số xe trung bình đi qua trạm thu phí trong mỗi phút

b) Tổng hợp lại số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng trung bình số xe đi qua trạm thu phí trong mỗi phút từ bảng tần số ghép nhóm trên.

Trả lời:

a) Số xe trung bình đi qua trạm thu phí trong mỗi phút là 17,4 xe

b) 

c) Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Trung bình số xe đi qua trạm thu phí mỗi phút xấp xỉ bằng:

8.5+13.9+18.3+23.9+28.430=17,7

Bài tập 3: Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:

Hãy ướng lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trả lời:

Ta có bảng giá trị đại diện sau:

$\overline{x}=\frac{18.3+23.6+28.15+33.27+38.22+43.14+48.5}{92}\approx 35$ (quyển).

Mốt của mẫu số liệu trên là:

$M_0=36+\frac{27-25}{27-25+27-22}.(35-32)\approx 37$.

Bài tập 4: Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trả lời:

- Chiều cao của 200 cây keo được thống kê như bảng sau:

Chiều cao trung bình của 200 cây xấp xỉ bằng:

(8,65.20+8,95.35+9,25.60+9,55.55+9,85.30):200=9,31 (m)

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [9,1;9,4)

Do đó: um=9,1;nm−1=35;nm+1=55;um+1−um=9,4−9,1=0,3

Mốt của mẫu số liệu trên là:

M0=9,1+60−35(60−35)+(60−55).0,3=9,35 (m)