Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phép chiếu song song

Hoạt động khởi động: Các tia nắng song song theo phương I khi chiếu tới biển báo giao thông hình chữ nhật ABCD tạo thành bóng trên mặt đường (xem hình bên). Bóng của biển báo này có dạng hình gì? Tại sao?

Trả lời:

Bóng của biển này có dạng hình bình hành.

+) Ta có: mp(AA’D’D) // mp(BB’C’C)

Mặt đất cắt các mp(AA’D’D) và mp(BB’C’C) lần lượt tại các giao tuyến A’D’ và B’C’. Do đó A’D’ // B’C’ (1).

+) Ta lại có: mp(ABB’A’) // mp(DD’C’C)

Mặt đất cắt các mp(ABB’A’) và mp(DD’C’C) lần lượt tại các giao tuyến A’B’ và D’C’. Do đó A’B’ // D’C’ (2).

Từ (1) và (2) ta có A’B’C’D’ là hình bình hành.

1. Khái niệm phép chiếu song song

Khám phá 1: Trong mở đầu:

a) Các tia sáng AA', BB', DD' có song song với nhau hay không?

b) Nếu cách xác định bóng C' của điểm C trên mặt đường.

Trả lời:

a) Các tia sáng AA', BB', DD' song song với nhau

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với l và cắt mặt đất tại C'. Ta được bóng C' của điểm C trên mặt đường.

Thực hành 1: Tìm phương chiếu, mặt phẳng chiếu của phép chiếu song song được mô tả trong Hình 2.

Trả lời:

Quan sát hình vẽ trên, ta được:

+) Phương chiếu là đường thẳng a;

+) Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng (Q).

Vận dụng 1: Tìm ảnh của hình hộp ABEF.DCGH qua phép chiếu song song được mô tả trong Hình 3.

Trả lời:

- Ảnh của hình hộp ABEF.DCGH là hình A'B'E'F'.D'C'G'H'

2. Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song

Khám phá 2: Trong Hình 4, xét phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và song song với phương chiếu.

a) Khi điểm M thay đổi trên đường thẳng a thì ảnh M’ của nó thay đổi ở đâu?

b) Từ đó hãy chỉ ra ảnh của đường thẳng a qua phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P).

Trả lời:

a) Khi điểm M thay đổi trên đường thẳng a thì ảnh M’ của nó thay đổi ở trên đường thẳng a’.

b) Ảnh của đường thẳng a qua phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P) là đường thẳng a’.

Khám phá 3: Trong Hình 5, xét phép chiếu theo phương l với mặt phẳng chiếu (P). Biết a//b với a⊂(Q) và b⊂(R). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hình chiếu a', b' của a, b trong hai trường hợp (Q)//(R);(Q)≡(R)

Trả lời:

Nếu (Q)//(R) thì a'//b

Nếu (Q)≡(R) thì a′≡b′

Thực hành 2: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và AB = 2CD, hình chiếu song song của ABCD là tứ giác A’B’C’D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ cũng là một hình thang và A’B’ = 2C’D’.

Trả lời:

- Hình chiếu song song của hình thang ABCD là tứ giác A’B’C’D’. Vì AB // CD và $\frac{AB}{CD}=2$ nên theo tính chất phép chiếu song song thì A’B’ // C’D’ và $\frac{A\text{'}B\text{'}}{C\text{'}D\text{'}}=\frac{AB}{CD}=2$ hay A’B’ = 2C’D’.

Vận dụng 2: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC và hình chiếu song song của tam giác ABC là tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng hình chiếu M' của M là trung điểm của B'C' và hình chiếu G' của G cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'

Trả lời:

Do phép chiếu song song không làm thay đổi tỷ lệ độ dài các đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song nên B′M′M′C′=BMMC=1. Do đó M' là trung điểm của B'C' 

Ta có AGAM=A′G′A′M′=23 nên G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Khám phá 4: Quan sát Hình 7 và cho biết các tia nắng song song đã tạo ra hình chiếu của hình hộp như thế nào trên nền nhà.

Trả lời:

- Dựa vào quan sát Hình 7, ta thấy hình chiếu của hình hộp chữ nhật trên nền nhà là một hình hộp chữ nhật khác đồng dạng với hình hộp chữ nhật ban đầu.

Thực hành 3: Gọi tên các hình khối có hình biểu diễn là các hình trong Hình 10

Trả lời:

a) Hình hộp chữ nhật

b) Hình lăng trụ tam giác

c) Hình chóp có đáy là hình thang

Vận dụng 3: Vẽ hình biểu diễn của một hình chóp tam giác SABC đặt trên một hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó

b) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó

c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song nhau

d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau

Trả lời:

- Mệnh đề đúng là: a và b

Bài tập 2: Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.

Trả lời:

Bài tập 3: Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn

Trả lời:

Bài tập 4: Cho hai điểm A, B nằm ngoài mặt phẳng (α) và đường thẳng d cắt (α). Giả sử đường thẳng AB cắt (α) tại điểm O. Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên (α) theo phương của đường thẳng d. Ba điểm O, A’, B’ có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn d sao cho:

a) A’B’ = AB;

b) A’B’ = 2AB.

Trả lời:

Hình chiếu của O theo phương d trên (α) là O

3 điểm O, A, B thẳng hàng nên hình chiếu A', B', O thẳng hàng

Ta có: A′B′OA′=ABOA

a) Để A'B' = AB thì OA = OA'. 

Vậy d là đường thắng song song với AA" với OA' = OA

b) Để A'B' = 2AB thì OA' = 2OA. 

Vậy d là đường thắng song song với AA" với OA' = 2OA

Bài tập 5: Vẽ hình biểu diễn của:

a) Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều;

b) Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều;

c) Hình hộp.

Trả lời:

a)

+) Hình biểu diễn của mặt đáy là tam giác, hình biểu diễn của mặt bên là các hình bình hành.

b)

Hình biểu diễn của mặt đáy là lục giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, đồng thời song song với đường chéo nối hai đỉnh còn lại. Hình biểu diễn của mặt bên là các hình bình hành.

c)

Hình biểu diễn của các mặt là hình bình hành.