Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Các công thức lượng giác

Hoạt động khởi động: Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

Trả lời:

Đặt chiều rộng cổng AH = d.

⇒ OA = OB = $\frac{1}{2}$d.

Xét tam giác OBB’ vuông tại B’, có:

$\sin \widehat{BOB\text{'}}=\frac{BB\text{'}}{OB}=\frac{27}{\frac{d}{2}}=\frac{54}{d}$.

Vì  nên sđ = 2.sđ $\Rightarrow \widehat{AOC}=2\widehat{BOB\text{'}}$

Xét tam giác OCC’ vuông tại C’, có:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:

Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là $\frac{108}{d}\sqrt{1-{\left(\frac{54}{d}\right)}^2}$.

1. Công thức cộng

Khám phá 1: Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ sau đây:

Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.

Trả lời:

Từ hay cách tính OM−→−.ON−→−, ta có:

cos(α−β)=xM.xN+yM.yN

cos(α−β)=OM.cosβ.ON.cosα+OM.sinβ.ON.sinα

cos(α−β)=cosβ.cosα+sinβ.sinα

Thay β bằng -β, ta được:

cos(α+β)=cos−β.cosα+sin−β.sinα

cos(α+β)=cosβ.cosα−sinβ.sinα

Thực hành 1: Tính sin$\frac{\pi }{12}$ và tan$\frac{\pi }{12}$.

Trả lời:

Ở ví dụ 1 ta có: cos$\frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Suy ra tan.

2. Công thức góc nhân đôi

Khám phá 2: Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β=α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Trả lời:

Khi β=α, ta có:

cos(α+α)=cosα.cosα−sinα.sinα

cos2α=cos2α−sin2α

sin(α+α)=sinα.cosα+cosα.sinα

sin2α=2sinαcosα

tan(α+α)=tanα+tanα1−tanα.tanα

tan2α=2tanα1−tan2α

Thực hành 2: Tính cos$\frac{\pi }{8}$ và tan$\frac{\pi }{8}$.

Trả lời:

+) Ta có:

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

Khám phá 3: Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a) cos(α−β) và cos(α+β)

b) sin(α−β) và sin(α+β)

Trả lời:

a) cos(α−β)+cos(α+β)

= cos(α).cos(β)+sin(α).sin(β)+cos(α).cos(β)−sin(α).sin(β)

= 2.cos(α).cos(β)

cos(α−β)−cos(α+β)

= cos(α).cos(β)+sin(α).sin(β)−cos(α).cos(β)+sin(α).sin(β)

= 2.sin(α).sin(β)

b) sin(α−β)+sin(α+β)

= sin(α).cos(β)−cos(α).sin(β)+sin(α).cos(β)+cos(α).sin(β)

= 2.sin(α).cos(β)

sin(α−β)−sin(α+β)

= sin(α).cos(β)−cos(α).sin(β)−sin(α).cos(β)−cos(α).sin(β)

= −2.cos(α).sin(β)

Thực hành 3: Tính giá trị của các biểu thức sin$\frac{\pi }{24}$cos$\frac{5\pi }{24}$ và sin$\frac{7\pi }{8}$sin$\frac{5\pi }{8}$.

Trả lời:

Ta có:

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

Khám phá 4: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác a=α+β2 và b=α−β2, ta được các đẳng thức nào?

Trả lời:

cosa.cosb=12[cos(a−b)+cos(a+b)]

cosα+β2.cosα−β2=12[cos(α+β2−α−β2)+cos(α+β2+α−β2)]

cosα+β2.cosα−β2=12.(cosα+cosβ)

sina.sinb=12[cos(a+b)−cos(a−b)]

sinα+β2.sinα−β2=12[cos(α+β2+α−β2)−cos(α+β2−α−β2)]

sinα+β2.sinα−β2=12.(cosα−cosβ)

sina.cosb=12[sin(a−b)+sin(a+b)]

sinα+β2.cosα−β2=12[sin(α+β2−α−β2)+sin(α+β2+α−β2)]

sinα+β2.cosα−β2=12(sinβ+sinα)

sinb.cosa=12[sin(b−a)+sin(a+b)]

sinα−β2.cosα+β2=12[sin(α−β2−α+β2)+sin(α+β2+α−β2)]

sinα−β2.cosα+β2=12(sinα−sinβ)

Thực hành 4: Tính cos$\frac{7\pi }{12}$ + cos$\frac{\pi }{12}$.

Trả lời:

Vận dụng: Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm. Tính sinα và cosα, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trả lời:

Ta có AH = 120. Suy ra R = 120 : 2 = 60 (cm)

sinα=BB′R=2760=920

cosα=1−sin2α−−−−−−−−√=319√20 do có 0<α<π2

CC' = R.sin2α = R.2.sinα.cosα = 60. 2.920.319√20≈48,2 (cm)

Bài tập

Bài tập 1: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a) $\frac{5\pi }{12}$;

b) – 555°.

Trả lời:

a) Ta có:

b) Ta có:

– 555° = $\frac{\pi .\left(-555°\right)}{180°}=-\frac{37\pi }{12}=-\left(3\pi +\frac{\pi }{12}\right)$ rad.

Khi đó:

Bài tập 2: Tính sin(α+π6), cos(π4−α) biết sinα=−513 và π<α<3π2.

Trả lời:

Do π<α<3π2 nên cosα<0

cosα=−1−sin2α−−−−−−−−√=−1213

sin(α+π6)=sinα.cosπ6+cosα.sinπ6=−513.3√2+−1213.12=−53√−1226

cos(π4−α)=cosπ4.cosα+sinπ4.sinα=−1213.2√2+−513.2√2=−172√26

Bài tập 3: Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

a) sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$;

b) sin$\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{4}$ và $\pi <\alpha <2\pi$.

Trả lời:

a) Ta có:  (vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$).

Khi đó:

b) Ta có: 

Khi đó:

Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 2–√sin(α+π4)−cosα

b) (cosα+sinα)2−sin2α

Trả lời:

a) 2–√sin(α+π4)−cosα

= −2–√cosα−cosα

= −(2–√+1)cosα

b) (cosα+sinα)2−sin2α

= cos2α+sin2α+2sinα.cosα−2sinα.cosα

= 1

Bài tập 5: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) $\text{cos}2\alpha =\frac{2}{5}$ và $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$;

b) $\sin 2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$.

Trả lời:

a) Ta có: $\text{cos}2\alpha =2{\text{cos}}^2\alpha -1=\frac{2}{5}$

$\iff {\text{cos}}^2\alpha =\frac{7}{10}$

$\iff \text{cos}\alpha =\frac{\sqrt{70}}{10}$ (vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$).

Mặt khác $\text{cos}2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =\frac{2}{5}$

$\iff {\sin }^2\alpha =\frac{3}{10}$

$\iff \sin \alpha =-\frac{\sqrt{30}}{100}$ (vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$).

Khi đó:

b) $\sin 2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$.

Ta có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\iff \pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}$

Ta có: $\text{cos}2\alpha =2{\text{cos}}^2\alpha -1=-\frac{\sqrt{65}}{9}$

$\iff {\text{cos}}^2\alpha =\frac{9-\sqrt{65}}{18}$

$\iff \text{cos}\alpha =\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}$ (vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$).

Mặt khác $\text{cos}2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =-\frac{\sqrt{65}}{9}$

$\iff {\sin }^2\alpha =\frac{\sqrt{65}+1}{18}$

$\iff \sin \alpha =\frac{\sqrt{65}+1}{18}$ (vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$).

Khi đó:

Bài tập 6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có sinA = sinBcosC + sinC.cosB.

Trả lời:

Trong tam giác ABC, ta có: Aˆ+Bˆ+Cˆ=π

Ta có: sinA=sin(π−B−C)

sinA=sin(B+C)

sinA=sinB.cosC+cosB.sinC

Bài tập 7: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn ${\mathrm{CAD^CAD}}^{}=30°$. Tính tan${\mathrm{BAD^BAD}}^{}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.

Trả lời:

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

tan${\mathrm{CAD^BAC}}^{}=\frac{3}{4}$.

Ta lại có: ${\mathrm{CAD^BAD}}^{}={\mathrm{CAD^BAC}}^{}+{\mathrm{CAD^CAD}}^{}$

Xét tam giác ABD vuông tại B có:

$\tan {\mathrm{BAD^BAD}}^{}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=\tan {\mathrm{BAD^BAD}}^{}.AB=2,34.4\approx 9,36$.

⇒ CD = BD – BC ≈ 9,36 – 3 = 6,36.

Bài tập 8: Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I,A,M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trị của pít-tông khi α=π2 và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8 cm, viết công thức tính toạ độ xM của điểm M trên trục Ox theo α.

b) Làm tròn α=0. Sau 1 phút chuyển động, xM = -3cm. Xác định xM sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trả lời:

a) Khi α=π2  thì M ở vị trí O, H ở vị trí I. Ta có IO = HM = AM

xM=IM−OI=IH+HM−OI=IH+AM−AM=IH=IA.cosα

xM=8cosα

b) Sau khi chuyển động 1 phút, trục khuỷu quay được một góc là α

Khi đó xM = -3cm. Suy ra cosα=−38

Sau khi chuyển động 2 phút, trục khuỷu quay được một góc là 2α

xM=8.cos2α=8.(2cos2α−1)=−5,75

Bài tập 9: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc (OA, OM) là α.

a) Tính sinα và cosα.

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Trả lời:

a) Tính sinα và cosα

Từ điểm M kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy.

Ta có: MH = 60 – 30 = 30 m.

Khi đó hoành độ điểm M là 30.

Mặt khác hoành độ điểm M là: xM = 31.cosα.

⇒ cosα = $\frac{30}{31}$

⇒ $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{30}{31}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{61}}{31}$.

b) Vì các cánh quạt tạo thành 3 góc bằng nhau nên ${\mathrm{MOP^MOP}}^{}=MOP^NOP={\mathrm{MOP^MON}}^{}=120°$

Vì vậy chiều cao của điểm P so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.

Ta có: $\text{cos}{\mathrm{AOP^AOP}}^{}\approx \sqrt{1-0,{96}^2}=0,28$.

Ta có: ${\mathrm{AOP^AON}}^{}={\mathrm{AOP^AOP}}^{}+{\mathrm{AOP^PON}}^{}$

Vì vậy chiều cao của điểm N so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.