Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Hoạt động khởi động: Hình bên biểu diễn xích đu IA có độ dài 2m dao động quanh trục IO vuông góc với trục Ox trên mặt đất và A’ là hình chiếu của A lên Ox. Tọa độ s của A’ trên trục Ox được gọi là li độ của A và (IO, IA) = α được gọi là li độ góc của A. Làm cách nào để tính li độ dựa vào li độ góc?

Trả lời:

Kẻ AH vuông góc với IO tại H

Xét tam giác AHI vuông tại H, có:

AH = sinα . IA = 2sinα (m).

AH cũng chính là li độ của A nên s = 2sinα.

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Khám phá 1: Trong Hình 1, M và N lần lượt là các điểm biểu diễn của các góc lượng giác 2π3 và −π4 trên đường tròn lượng giác. Xác định toạ độ của M và N trong hệ trục toạ độ Oxy.

Trả lời:

M(12;3√2)

N(2√2;−2√2)

Thực hành 1: Tính sin$\left(-\frac{2\pi }{3}\right)$ và tan495°.

Trả lời:

Ta có: sin$\left(-\frac{2\pi }{3}\right)$ = -sin$\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ta có tan495° = – tan135° = – tan45° = $-\frac{\text{cos}45°}{\sin 45°}$ = -1.

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

Thực hành 2: Sử dụng máy tính cầm tay để tính cos75o và tan(−19π6).

Trả lời:

cos75o=6√−2√4≈0,26

tan(−19π6)=−3√3≈−0,58

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Khám phá 2:

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao sin2α + cos2α = 1.

b) Chia cả hai vễ của biểu thức ở câu a) cho cos2α ta được đẳng thức nào?

c) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho sin2α ta được đẳng thức nào?

Trả lời:

a) M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác nên tọa độ điểm M là (cosα; sinα) nên MH = sinα, OH = cosα.

Ta lại có: MH2 + OH2 = 1 (định lí Pythagore)

Hay sin2α + cos2α = 1.

b) Vì OH = cosα > 0 nên cos2α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho cos2α, ta được:

c) Vì MH = sinα > 0 nên sin2α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho sin2α, ta được:

Thực hành 3: Cho tanα=23 với π<α<3π2. Tính cosα và sinα

Trả lời:

Vì π<α<3π2 nên điểm biểu diễn góc α trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III. Do đó, sinα < 0 và cosα < 0

Ta có: tan2α+1=1cos2α

Do đó, cosα=−9√13√

Và sin2α+cos2α=1

Suy ra sinα=−4√13√

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

Khám phá 3: Cho $\alpha =\frac{\pi }{3}$. Biểu diễn các góc lượng giác – α, α + π, π – α, $\frac{\pi }{2}-\alpha$ trên đường tròn lượng giác và rút ra mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc này với giá trị lượng giác của góc α.

Trả lời:

Biểu diễn góc lượng giác $-\frac{\pi }{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$

Thực hành 4: 

a) Biểu diễn cos638o qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0o đến 45o

b) Biểu diễn cot19π5 qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến π4

Trả lời:

a) cos638o=cos(−82o)=cos(82o)=sin8o

b) cot19π5=cot4π5=−cotπ5

Vận dụng: Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu bởi điểm B và C.

a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng (13 + 10sinα) mét với α là số đo của một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Tính độ cao của điểm B so với mặt đất khi α = – 30°.

b) Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Trả lời:

a) Ta có điểm B là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo góc là α trên đường tròn lượng giác có bán kính bằng 10 nên tọa độ điểm B(10cosα; 10sinα).

Vì vậy chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sinα (mét).

Với α = – 30° ta có chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sin.(– 30°) = 8 (mét).

b) Đặt (OA, OC) = β = α – 90°

Nếu điểm B cách mặt đất 4m thì 13 + 10sinα = 4

⇔ sinα = $-\frac{9}{10}$

Ta có sinα = cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cosβ = $-\frac{9}{10}$

⇒ sinβ = $-\sqrt{1^2-{\left(\frac{9}{10}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{19}}{10}$

Vì vậy chiều cao từ điểm C đến mặt đất là: 13 + 10sinβ = 13 + 10.$\left(-\frac{\sqrt{19}}{10}\right)$ ≈ 8,64 (mét).

Bài tập

Bài tập 1: Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) sinα=35 và cosα=−45

b) sinα=13 và cotα=12

c) tanα=3 và cotα=13

Trả lời:

Đẳng thức câu a và c có thể đồng thời xảy ra.

Đẳng thức câu b không thể đồng thời xảy ra do cot2α+1=1sin2α

Bài tập 2: Cho sinα = $\frac{12}{13}$ và cosα = $-\frac{5}{13}$. Tính $\sin \left(-\frac{15\pi }{2}-\alpha \right)-\text{cos}\left(13\pi +\alpha \right)$.

Trả lời:

Bài tập 3: Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a) sinα=513 và π2<α<π

b) cosα=25 và 0o<α<90o

c) tanα=3–√ và π<α<3π2

d) cotα=12 và 270o<α<360o

Trả lời:

a) cosα=−1213

tanα=−512

cotα=−125

b) sinα=21√5

tanα=21√2

cotα=221√

c) sinα=3√2

cosα=12

cotα=3√3

d) sinα=25√

cosα=15√

tanα=2

Bài tập 4: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ hoặc từ 0 đến 45° và tính:

a) cos$\frac{21\pi }{6}$;

b) sin$\frac{129\pi }{4}$;

c) tan1 020°.

Trả lời:

a) Ta có: .

b) .

c) tan1 020° = tan(3.180° – 60°) = tan(180° – 60°) = – tan60° = – cot30°.

Bài tập 5: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) sin4α−cos4α=1−2cos2α

b) tanα+cotα=1sinα.cosα

Trả lời:

a) sin4α−cos4α=(sin2α−cos2α).(sin2α+cos2α)

=(sin2α−cos2α).1=sin2α+cos2α−2.cos2α=1−2.cos2α

b) tanα+cotα=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αsinα.cosα=1sinα.cosα

Bài tập 6: Rút gọn các biểu thức sau:

Trả lời:

b) cos$\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ − sin$\left(\pi +\alpha \right)$ = sinα – (−sinα) = sinα + sinα = 2sinα.

c) sin$\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)$ + cos$\left(-\alpha +6\pi \right)$ − tan$\left(\alpha +\pi \right)$.cot$\left(3\pi -\alpha \right)$

= −sin$\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ + cos$\left(6\pi -\alpha \right)$ − tan$\left(\alpha +\pi \right)$.cot$\left(2\pi +\pi -\alpha \right)$

= −cosα + cosα – tanα.(−cotα).

= 0 + tanα.cotα

= 1.

Bài tập 7: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng đứng và in bóng vuông góc xuông mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được 3110 vòng là bao nhiêu. Biết độ dài thanh OM là 15cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Trả lời:

Sau khi thah OM quay được 3 vòng, vị trí của thanh là OA. Quay tiếp 110, thanh sẽ tạo với OA 1 góc α=2π/10=π/5.

Độ dài của bóng O'M' = OM.cosα = 15.cosπ/5 = 12,1 (cm).

Bài tập 8: Khi đạp xe di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau một phút di chuyển , khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả sử độ dàu của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Trả lời:

Sau một phút di chuyển, van V đã quay được một góc lượng giác có số đo góc là: α = 11.60 = 660 (rad).

Khi đó tọa độ điểm V biểu diễn cho góc lượng giác trên có tọa độ là:

V(58.cosα; 58.sinα) ≈ (56; 15,2)

Khi đó khoảng cách từ van đến mặt đất khoảng 58 – 15,2 = 42,8 cm.