Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Khám phá 1: Cho dãy số (un) với $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với n như thế nào thì |un| bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

Trả lời:

a) Ta có:

Với n = 100 có |u100| =  = 0,01.

Với n = 1 000 có |u1000| =  = 0,001.

Khi đó ta có bảng:

b) Với n > 100 thì |un| < 0,01.

Với n > 1000 thì |un| < 0,001.

c) Khi n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 càng nhỏ.

Thực hành 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim1n2

b) lim(−34)n

Trả lời:

a) lim1n2=0

b) Do ∣∣−34∣∣=34<1

Nên lim(−34)n=0

Khám phá 2: Cho dãy số (un) với $u_n=\frac{2n+1}{n}$.

a) Cho dãy số (vn) với vn = un – 2. Tìm giới hạn lim vn.

b) Biểu diễn các điểm u1, u2, u3, u4 trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm un khi n trở nên rất lớn?

Trả lời:

a) Ta có: $v_n=\frac{2n+1}{n}-2=\frac{1}{n}$

Khi đó $\lim \frac{1}{n}=0$.

Vậy $\lim v_n=0$.

b) Ta có:$u_1=\frac{2.1+1}{1}=3;u_2=\frac{2.2+1}{2}=\frac{5}{2};u_3=\frac{2.3+1}{3}=\frac{7}{3};u_4=\frac{2.4+1}{4}=\frac{9}{4}$;

Biểu diễn trên trục số, ta được:

Có nhận xét gì về vị trí của các điểm un Nhận xét: Khi n trở nên rất lớn lớn thì các giá trị un càng gần 2.

Thực hành 2: Tìm các giới hạn sau:

a) lim(2+(23)n)

b) lim(1−4nn)

Trả lời:

a) Đặt un=2+(23)n. Ta có: un−2=(23)n

Suy ra lim(un−2)=lim(23)n=0

Vậy limun=2 hay lim(2+(23)n)=2

b) Đặt vn=1−4nn=1n−4 hay vn+4=1n

Suy ra: lim(vn+4)=lim1n=0

Vậy limvn=−4 hay lim(1−4nn)=−4

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Khám phá 3: Ở trên ta đã biết $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{3n^2+1}{n^2}=1$.

a) Tìm các giới hạn lim 3 và $\lim \frac{1}{n^2}$.

b) Từ đó, nêu nhận xét về $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)$ và lim 3 + $\lim \frac{1}{n^2}$.

Trả lời:

a) Ta có: lim 3 = 3, $\lim \frac{1}{n^2}=0$.

b) Đặt $u_n=3+\frac{1}{n^2}\iff u_n-3=\frac{1}{n^2}$

Suy ra $\lim \left(u_n-3\right)=\lim \frac{1}{n^2}=0$

$\Rightarrow \lim u_n=3$

Ta có: lim 3 + $\lim \frac{1}{n^2}$ = 3 + 0 = 3.

Vậy $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)$ = lim 3 + $\lim \frac{1}{n^2}$.

Thực hành 3: Tìm các giới hạn sau:

a) lim2n2+3nn2+1

b) lim4n2+3√n

Trả lời:

a) Ta có: 2n2+3nn2+1=2+3n−2n2+1=2+3n−2n21+1n2

Từ đó: lim2n2+3nn2+1=lim2+lim3n−lim2n2lim1+lim1n2=2+0+01+0=2

b) Ta có: 4n2+3√n=4n2+3√n2√=4n2+3n2−−−−−√=4+3n2−−−−−√

Từ đó: lim4n2+3√n=lim4+3n2−−−−−√=lim(4+3n2)−−−−−−−−−−−√=lim4+lim3n2−−−−−−−−−−−√=4+0−−−−√=2

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Khám phá 4: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích Sn của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limSn và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Trả lời:

a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Ta có: u1 = 1.$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$; u2 = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$; u3 = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$; u4 = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$; ...

Diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: $u_k={\left(\frac{1}{2}\right)}^k,\left(k=1,2,3,\mathrm{...}\right)$

b) Tổng diện tích Sn của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta được:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}.\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$.

c) Ta có: limSn = $\lim \left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=\lim 1-\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1$.

Khi đó limSn = 2u1.

Thực hành 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1+13+(13)2+...+(13)n+...

Trả lời:

lim(1+13+(13)2+...+(13)n+...)=11−13=32

Vận dụng: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính R2 rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính R4 rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục. Tính tổng diện tích các hình tròn.

Trả lời:

Tổng diện tích các hình tròn là: 

S=R2+2.(R2)2+4.(R4)2+...=R2.(1+12+122+....)

Ta có: lim(1+12+122+....)=11−12=2

Vậy S=2R2

4. Giới hạn vô cực

Khám phá 5: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu un (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

a) Với n như thế nào thì un vượt quá 10 000; 1 000 000?

b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì un vượt quá S?

Trả lời:

a) Diện tích của hình vuông un dựng ở bước thứ n là: un = n2 (đơn vị diện tích).

Để un vượt quá 10 000 thì n2 > 10 000 ⇔ n > 100.

Để un vượt quá 1 000 000 thì n2 > 1 000 000 ⇔ n > 1000.

b) Để un vượt quá S thì un > S ⇔ n2 > S ⇔ n > $\sqrt{S}$.

Bài tập

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim−2n+1n

b) lim16n2−2√n

c) lim42n+1

d) limn2−2n+32n2

Trả lời:

a) lim−2n+1n=lim(−2+1n)=lim(−2)+lim1n=−2+0=−2

b) lim16n2−2√n=lim16n2−2n2−−−−−√=lim(16−2n2)−−−−−−−−−−−−√=lim16−lim2n2−−−−−−−−−−−−√=16−0−−−−−√=4

c) lim42n+1=lim4n2+1n=02+0=0

d) limn2−2n+32n2=lim(12−1n+32n2)=lim12−lim1n+lim32n2=12−0+0=12

Bài tập 2: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{...}$;

b) $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n+\mathrm{...}$ .

Trả lời:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=-\frac{1}{2}$ và công bội $q=-\frac{1}{2}$ bằng:$S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{...}=\frac{u_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=-\frac{1}{3}$.

b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}$bằng: $S=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n+\mathrm{...}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$.

Bài tập 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444... dưới dạng một phân số

Trả lời:

0,444...=49

Bài tập 4: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và Sn là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an, Sn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limSn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính pn và Qn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Trả lời:

a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (an) với số hạng đầu là u1 = 1 và công bội $\frac{1}{2}$ nên công thức tổng quát của an = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

Ta có: $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}$

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: $S=\lim S_n=\lim \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

b) Chu vi pn của hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 4 và công bội q = $\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là: $p_n=4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

Ta có: $Q_n=4+4.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{4}+\mathrm{...}+4.\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}$

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: $Q=\lim Q_n=\lim \left(4+4.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{4}+\mathrm{...}+4.\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}\right)=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$.

Bài tập 5: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông H0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình Hn(n=1,2,3,...)

Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13

H2 có 5.5=52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13.13=132;...

Từ đó, nhận được Hn có 5n hình vuông, mỗi hình có cạnh bằng 13n

a) Tính diện tích Sn của Hn và tính limSn

b) Tính chu vi pn của Hn và tính limpn

Trả lời:

a) Sn=5n.(13n)2=5n9n=(59)n

limSn=lim(59)n=0

b) pn=5n.4.13n=4.(53)n

limpn=lim4.(53)n=+∞