Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Hoạt động khởi động: Bề mặt trên của mỗi bậc thang này được đặt như thế nào so với mặt đất?

Trả lời:

- Bề mặt trên của mỗi bậc thang được đặt song song với mặt đất.

1. Hai mặt phẳng song song

Khám phá 1: Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vẽ lại với các đỉnh A,B,C,D,A',B',C',D' như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng:

a) Có ba điểm chung không thẳng hàng

b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) Không có bất kì điểm chung nào

Trả lời:

a) Các cặp mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng là:

(ABC) và (ABD); (AA'B) và (ABB'); (BB'C) và (BCC');...

b) Không có cặp mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) Các cặp mặt phẳng không có điểm chung nào là:

(ABCD) và (A'B'C'D'); (ADD'A') và (BCC'B'); (ABB'A') và (DCC'D')

Vận dụng 1: Tìm một số mặt phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4.

Trả lời:

- Các mặt phẳng song song với nhau là: Các ngăn của giá sách, mặt của giá sách với mặt đất, các mặt của quyển sách,…

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Khám phá 2: Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q). Giả sử (P) và (Q) có điểm chung M thì (P) cắt (Q) theo giao tuyến c (Hình 5).

a) Gải thích tại sao đường thẳng c phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng a, b. Điều này có trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của (P) và (Q).

Trả lời:

a) Ta có: a // (Q) , a ⊂ (P) và (P) ∩ (Q) = {c} nên a // c.

Vì a, b và c đồng phẳng và a // c, a cắt b nên c phải cắt b.

Điều này trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) vì nếu lập luận như trên thay đường thẳng a bằng đường thẳng b thì b phải song song với c.

b) Do đó (P) và (Q) không có điểm chung vì vậy (P) // (Q).

Thực hành 1: Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD)

Trả lời:

Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra EF//BC. Do đó EF//(BCD)

Ta có FH là đường trung bình của tam giác ACD, suy ra FH//CD. Do đó EF//(ACD)

Mặt khác ta có mặt phẳng (EFH) chứa EF và FH, EF∩FH=F

Suy ra (EFH)//(BCD)

3. Tính chất của hai mặt phẳng song song

Khám phá 3:

a) Cho điểm A ở ngoài mặt phẳng (Q). Trong (Q) vẽ hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’. Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng a và b đi qua A và song song với (Q)?

b) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa mp(a, b) và (Q)?

Trả lời:

a) Để vẽ được đường thẳng a đi qua A và song song với mặt phẳng (Q) ta làm như sau: Từ điểm A vẽ đường thẳng a song song với đường thẳng a’ mà a’ nằm trong (Q) nên thỏa mãn a // (Q).

Tương tự từ điểm A vẽ đường thẳng b song song với đường thẳng b’ mà b’ nằm trong (Q) nên thỏa mãn b // (Q).

b) Ta có a, b ⊂ mp(a, b), a ∩ b = {A}, a // (Q) và b // (Q) nên mp(a, b) // (Q).

Khám phá 4: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thoả mãn (P)//(Q, (R)∩(P)=a và (R)∩(Q)=b. Xét vị trí tương đối của a và b

Trả lời:

- Vì hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 cùng nằm trong mặt phẳng R và không có điểm chung nên a // b

Thực hành 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo, tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và cắt đoạn thằng AC. Chứng minh các giao tuyến của (α) với hình chóp tạo thành một tam giác đều.

Trả lời:

+) Gọi M là giao điểm của mặt phẳng (α) với AC.

Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD và AB tại E và F.

Trong mặt phẳng (SAB), từ điểm F kẻ đường thẳng song song với SB cắt SA tại H.

Trong mặt phẳng (SAD), nối điểm E và H ta được mặt phặng (EFH) chính là mặt phẳng (α) cần dựng.

+) Xét tam giác ABD, có: EF // BD nên $\frac{EF}{BD}=\frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$ (định lí Thales).

Xét tam giác SAB, có: FH // SB nên $\frac{FH}{SB}=\frac{AF}{AB}=\frac{AH}{SA}$ (định lí Thales).

Xét tam giác SAD, có: EH // SD nên $\frac{EH}{SD}=\frac{AH}{SA}=\frac{AE}{AD}$ (định lí Thales).

Suy ra $\frac{EF}{BD}=\frac{FH}{SB}=\frac{EH}{SD}$

Mà tam giác SBD là tam giác đều nên BD = SB = SD.

Do đó EF = FH = EH. Vì vậy giao tuyến của (α) với hình chóp SABCD là hình tam giác đều.

Vận dụng 2: Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng (P), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi (P) với các bề mặt của các lớp bánh. Giải thích.

Trả lời:

- Bởi vì các lớp bánh là các mặt phẳng song song với nhau nên theo định lí 3, giao tuyến tạo bởi P và các lớp bánh song song với nhau.

4. Định lí Thalès trong không gian

Khám phá 5: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt cắt hai đường thẳng a và a’ tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B1 là giao điểm của AC’ với (Q) (Hình 12).

a) Trong tam giác ACC’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{AB}{BC}$ và $\frac{A{B}_1}{B_{1}C\text{'}}$?

b) Trong tam giác AA’C’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{A{B}_1}{B_{1}C}$ và $\frac{A\text{'}B\text{'}}{B\text{'}C\text{'}}$?

c) Từ đó, nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}},\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}},\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$.

Trả lời:

a) Mặt phẳng (ACC’) cắt (Q) và (R) lần lượt tại BB1 và CC’nên BB1 // CC’.

Áp dụng định lí Thales trong tam giác ACC’, ta có: $\frac{AB}{BC}=\frac{A{B}_1}{B_{1}C\text{'}}$ (1).

b) Mặt phẳng (AA’C’) cắt (P) và (Q) lần lượt tại AA’ và B’B1 nên B’B1 // AA’.

Áp dụng định lí Thales trong tam giác AA’C’, ta có: $\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{A\text{'}C\text{'}}$ (2).

c) Từ (1) và (2), ta có: $\frac{AB}{BC}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{B\text{'}C\text{'}}\iff \frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{AB+BC}{A\text{'}B\text{'}+B\text{'}C\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$

Thực hành 3: Cho hình chóp S.ABC có SA =9, SB = 12, SC = 15. Trên cạnh SA lấy các điểm M, N sao cho SM = 4, MN = 3, NA = 2. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC), lần lượt đi quá M, N, cắt SB theo thứ tự tại M', N' và cắt SC theo thứ tự tại M'', N''. Tính độ dài các đoạn thẳng SM', M''N'', N''C

Trả lời:

Trong tam giác SAB có MM'//AB nên SMSA=SM′SB. Suy ra SM′=163

Trong tam giác SAB có NN'//AB nên SNSA=SN′SB. Suy ra SN′=283 

Do đó M′N′=SN′−SM′=4

Trong tam giác SAC, có MM''//AC nên SMSA=SM′′SC. Suy ra SM′′=203

Trong tam giác SAC có NN''//AB nên SNSA=SN′′SC. Suy ra SN′′=353 

Do đó M′′N′′=SN′′−SM′′=5

N′′C=SC−SN′′=103 

5. Hình lăng trụ và hình hộp

Khám phá 6: Hình dạng của các đồ vật như hộp phấn, lồng đèn, hộp quà, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau?

Trả lời:

- Các hình trên đều có một cặp mặt phẳng đối diện song song với nhau.

Khám phá 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) Bốn mặt bên và mặt đấy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành

b) Các mặt AA'C'D và BB'D'D là hình bình hành

c) Bốn đoạn thẳng A'C, AC',B'D, BD' có cùng trung điểm

Trả lời:

Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AD//BC

a) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABB'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và A'B' nên AB//A'B'

Mà AA'// BB' nên mặt bên ABB'A' là hình bình hành

Tương tự ta có mặt bên BCC'B', CDD'C', ADD'A' là hình bình hành

Ta có: CD//C'D', A'B'//AB mà AB//CD nên C'D'//A'B'

B'C'//BC, A'D'//AD mà BC//AD nên B'C'//A'D'

Suy ra mặt đáy A'B'C'D' là hình bình hành

b) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ACC'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AC và A'C' nên AC//A'C'

Mà AA'//CC' nên ACC'A' là hình bình hành

Tương tự ta ó BB'D'D là hình bình hành

c) Ta có ACC'A' là hình bình hành nên AC', A'C là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (1)

BDD'B' là hình bình hành nên BD', B'D là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2)

Ta có (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABC'D') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và C'D' nên AB//C'D'

Mà ABCD là hình bình hành nên AB = DC; DCC'D' là hình bình hành nên DC=D'C'. Do dó AB=C'D'

Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Nên AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra A'C, AC', B'D, BD' có cùng trung điểm.

Thực hành 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’và một mặt phẳng (α) cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến MN, NP, PQ, QR, RS, SM như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác MNPQRS song song với nhau.

Trả lời:

+) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’)

(α) ∩ (ABCD) = MN

(α) ∩ (A’B’C’D’) = QR

⇒ MN // QR.

+) Ta có: (AA’D’D) // (BB’C’C)

(α) ∩ (AA’D’D) = MS

(α) ∩ (BB’C’C) = PQ

⇒ MS // PQ.

+) Ta có: (AA’B’B) // (DD’C’C)

(α) ∩ (AA’B’B) = NP

(α) ∩ (DD’C’C) = SR

⇒ NP // SR.

Vận dụng 3: Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.

Trả lời:

- Hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy là: Hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

Bài tập

Bài tập 1: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượT đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:

AA’ + CC’ = BB’ + DD’.

Trả lời:

+) Ta có:

(AA’B’B) // (DD’C’C)

(Q) ∩ (AA’B’B) = A’B’

(Q) ∩ (DD’C’C) = D’C’

⇒ A’B’ // D’C’ (1).

+) Tương tự ta có:

(AA’D’D) // (BB’C’C)

(Q) ∩ (AA’D’D) = A’D’

(Q) ∩ (BB’C’C) = B’C’

⇒ A’D’ // B’C’ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ nên O là trung điểm của AC và BD và O’ là trung điểm của A’C’ và B’D’.

+) Xét tứ giác ACC’A’, có: CC’ // AA’ nên ACC’A’ là hình thang, O là trung điểm của AC và O’ là trung điểm của A’C’ nên OO’ là đường trung bình của hình thang suy ra: $OO\text{'}=\frac{1}{2}\left(AA\text{'}+CC\text{'}\right)$ (1).

+) Xét tứ giác BB’D’D, có: BB’ // DD’ nên BB’D’D là hình thang, O là trung điểm của BD và O’ là trung điểm của B’D’ nên OO’ là đường trung bình của hình thang suy ra: $OO\text{'}=\frac{1}{2}\left(BB\text{'}+DD\text{'}\right)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra AA’ + CC’ = BB’ + DD’.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD

a) Chứng minh rằng (OMN)//(SBC)

b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm thuộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).

Trả lời:

a) Trong tam giác SBD có ON là đường trung bình nên ON//SB. Suy ra MN//(SBC)

Trong tam giác SAD có MN là đường trung bình nên MN//AD. Mà AD//BC nên MN//BC. Suy ra MN//(SBC)

Mặt phẳng (OMN) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và ON cùng song song với (SBC)

Do đó, (OMN)//(SBC)

b) Trong tam giác ABC có OE là đường trung bình nên OE//BC. Suy ra OE//(SBC)

Mà (OMN)//(SBC) nên E∈(OMN)

Ta có: (OMN)//(SBC); EF⊂(OMN) nên EF//(SBC)

Bài tập 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.

a) Chứng minh (CBE) // (ADF).

b) Chứng minh (DEF) // (MNN’M’).

Trả lời:

a) Ta có: BE // AF (ABEF là hình vuông) mà AF ⊂ (ADF) nên BE // (ADF).

BC // AD (ABCD là hình vuông) mà AD ⊂ (ADF) nên BC // (ADF)

Mặt khác BE, BC cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (CBE)

Vì vậy (CBE) // (ADF).

b) Trong mặt phẳng (ABF) có: NN’ // AD nên $\frac{AN\text{'}}{AF}=\frac{BN}{BF}$ (định lí Thales).

Trong mặt phẳng (ADC) có: MM’ // DC nên $\frac{AM\text{'}}{AD}=\frac{AM}{AC}$ (định lí Thales).

Ta có hình vuông ABCD và hình vuông ABEF là hai hình vuông bằng nhau vì cùng chung cạnh AB nên AC = BF mà AM = BN nên $\frac{BN}{BF}=\frac{AM}{AB}$ suy ra $\frac{AN\text{'}}{AF}=\frac{AM\text{'}}{AC}$.

Trong tam giác ADF, có $\frac{AN\text{'}}{AF}=\frac{AM\text{'}}{AC}$ nên M’N’ // DF (theo định lí Thales đảo).

Mà DF ⊂ (DEF) nên M’N’ // (DEF).

Ta có: MM’ // AD // DC (gt) mà DC ⊂ (DEF) nên MM’ // (DEF)

Ta lại có M’N’ và MM’ là hai đường thẳng cắt nhau tại M’ và cùng nằm trong (MNN’M’).

Vì vậy (DEF) // (MNN’M’).

Bài tập 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C. Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D', I là giao điểm của AC' và A'C

Do ACCA' là hình bình hành nên I là trung điểm của A'C

G1 là trọng tâm tam giác BDA' nên A′G1AO=23

Tam giác AA'C có A'O là trung tuyến, A′G1AO=23 nên G1 là trọng tâm của tam giác AA'C.

Mà I là trung điểm A'C nên G1∈AI và AG1=23AI

Mà AI=12AC′ nên AG1=13AC′

Tương tự ta có C′G2=13AC′

Suy ra G1,G2 chia AC' thành 3 đoạn thẳng bằng nhau

Bài tập 5: Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A’B’C’D’E’F’, Bình gắn hai thanh tre A1D1, F1C1 song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại O1 (Hình 19).

a) Xác định giao tuyến của mp(A1D1, F1C1) với các mặt bên của lăng trụ.

b) Cho biết A’A1 = 6AA1 và AA’ = 70 cm. Tính CC1 và C1C’.

Trả lời:

a) Ta có: A1D1 // (ABCDEF) và F1C1 // (ABCDEF)

Mà A1D1 cắt F1C1 tại O nên (A1F1D1C1) // (ABCDEF)

+) Ta có: giao tuyến của (ABCDEF) với (AA’B’B) là AB mà (A1F1D1C1) // (ABCDEF) nên giao tuyến của (A1F1D1C1) với (AA’B’B) là đường thẳng đi qua A1 song song với AB cắt BB’ tại B1.

Vì vậy giao tuyến của (A1F1D1C1) với (AA’B’B) là A1B1.

+) Giao tuyến của (A1F1D1C1) với (BB’C’C) là B1C1.

+) Giao tuyến của (A1F1D1C1) với (CC’D’D) là C1D1.

+) Ta có: giao tuyến của (ABCDEF) với (DD’E’E) là DE

Mà (A1F1D1C1) // (ABCDEF) nên giao tuyến của (A1F1D1C1) với (DD’E’E) là đường thẳng đi qua D1 song song với DE cắt EE’ tại E1.

Vì vậy giao tuyến của (A1F1D1C1) với (DD’E’E) là D1E1.

+) Giao tuyến của (A1F1D1C1) với (EE’F’F) là E1F1.

+) Giao tuyến của (A1F1D1C1) với (AA’F’F) là A1F1.

b) Ta có:

(A’B’C’D’E’F’) // (ABCDEF) và (ABCDEF) // (A1B1C1D1E1F1) nên (A’B’C’D’E’F’) // (A1B1C1D1E1F1).

(A’B’C’D’E’F’) ∩ (AA’C’C) = A’C’

(A1B1C1D1E1F1) ∩ (AA’C’C) = A1C1

(ABCDEF) ∩ (AA’C’C) = AC

Suy ra A’C’ // A1C1 // AC và $A\text{'}{A}_1\frac{A\text{'}{A}_1}{A{A}_1}=\frac{C\text{'}{C}_1}{C{C}_1}=6\Rightarrow C\text{'}{C}_1=6C{C}_1$

Ta lại có: AA’ = CC’ = 70 cm

Suy ra C’C1 + CC1 = 70

Vì vậy CC1 = 10 cm và C’C1 = 60 cm.

Bài tập 6: Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về mặt phẳng song song trong thực tế.

Trả lời:

- Hình a: Các tấm pin năng lượng mặt trời song song với nhau.

- Hình b: Các bức tường đối diện nhau của toà nhà song song với nhau.

=> Một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế: Các bậc cầu thang, mặt bàn và mặt phẳng sàn nhà, hai bức tường đối diện nhau.