Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Cấp số cộng - Giải SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khởi động: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Tính từ sân khấu, số lượng ghế của các hàng tăng dần như trong hình minh họa dưới đây.

Hoạt động khởi động trang 52 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Bạn hãy đếm và nêu nhận xét về số ghế của năm hàng đầu tiên.

Làm thế nào để biết được số ghế của một hàng bất kì và tính được tổng số ghế trong rạp hát đó?

Trả lời:

Tiến hành đếm, ta có được kết quả sau:

Hàng 1: có 14 ghế;

Hàng 2: có 17 ghế;

Hàng 3: có 20 ghế;

Hàng 4: có 23 ghế;

Hàng 5: có 26 ghế.

Dựa vào số ghế của 5 hàng ghế đầu ta thấy hàng sau hơn hàng trước 3 ghế.

Sau bài học này ta biết số ghế của mỗi hàng ghế lập thành một cấp số cộng, có công thức tổng quát là: un = u1 + (n – 1)d; trong đó u1 = 14 là số ghế của hàng đầu tiên, d = 3 là công sai.

1. Cấp số cộng

Khám phá 1: Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

a) 2; 5; 8; 11; 14

b) 2; 4; 6; 8

c) 5; 10; 15; 20; 25

d) -5; -2; 1; 4; 7; 10

Trả lời:

- Các dãy số trên có điểm giống nhau là 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau một số không đổi.

Thực hành 1: Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số (un) với un = 9n – 9.

c) Dãy số (vn) với vn = an + b, trong đó a và b là các hằng số.

Trả lời:

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng với công sai d = 4.

b) Ta có: u1 = 9.1 – 9 = 0.

un+1 = 9(n + 1) – 9 = 9n – 9 + 9 = un + 9, ∀n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 0 và công sai d = – 3.

c) Ta có: v1 = a.1 + b = a + b.

vn+1 = a(n + 1) + b = an + a + b = an + b + a = vn + a, ∀n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (vn) là cấp số cộng với số hạng đầu v1 = a + b và công sai là d = a.

Thực hành 2: Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó

Trả lời:

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, ta gọi 3 góc đó là: a; a+d; a+2d (a,d > 0)

Ta có: a+(a+d)+(a+2d)=180o⇔3a+3d=180o⇔a+d=60o (1)

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng 90o. Suy ra a+2d=90o (2)

Từ (1) và (2), ta tính được a=30o,d=30o

Vậy số đo 3 góc là 30o;60o;90o

Vận dụng 1: Mặt cắt của một tổ on có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quang vòng 2, cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.

Vận dụng 1 trang 53 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Trả lời:

Vòng 1: Có 6 ô;

Vòng 2: Có 12 ô;

Vòng 3: Có 18 ô;

...

Ta có dãy số: 6; 12; 18; ...

Từ số hạng thứ 2 trở đi số hạng sau hơn số hạng trước 6 đơn vị nên đây là một cấp số cộng có số hạng đầu là 6 và công sai là 6.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Khám phá 2: Cho cấp số cộng (un). Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của (un):

u2−u1;u3−u1;u4−u1;...;un−u1

Trả lời:

u2−u1=d

u3−u1=2d

u4−u1=3d

.....

un−u1=(n−1)d

Thực hành 3: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng (an) có a1 = 5 và d = – 5;

b) Cấp số cộng (bn) có b1 = 2 và b10 = 20.

Trả lời:

a) Cấp số cộng (an) có a1 = 5 và d = – 5

Số hạng tổng quát là: an = a1 + (n – 1).d = 5 + (n – 1).(– 5) = 5 + – 5n + 5 = – 5n + 10.

b) Cấp số cộng (bn) có b1 = 2 và b10 = 20.

Số hạng tổng quát là: bn = b1 + (n – 1)d

Khi đó b10 = 2 + (10 – 1).d = 2 + 9d = 20

⇒ d = 2

Vậy số hạng tổng quát là: bn = 2 + (n – 1).2 = 2n.

Vận dụng 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (cn) có c4=80 và c6=40

Trả lời:

c4=c1+3d⇔c1+3d=80

c6=c1+5d⇔c1+5d=40

Suy ra c1=140 và d=−20

cn=140+(n−1).(−20)=−20n+160

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là cn=−20n+160

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Khám phá 3: Cho cấp số cộng (un) có công sai d.

a) Tính các tổng un + u1; u2 + un-1; u3 + un-2; ...; uk + un-k+1 theo u1, n và d.

Hoạt động khám phá 3 trang 54 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

b) Chứng tỏ rằng 2(u1 + u2 + u3 + ... + un) = n(u1 + un).

Trả lời:

a) Ta có: un = u1 + (n – 1)d, un-1 = u1 + (n – 1 – 1)d = u1 + (n – 2)d

Khi đó:

u1 + un = u1 + u1 + (n – 1)d = 2u1 + (n – 1)d;

u2 + un-1 = u1 + d + u1 + (n – 2)d = 2u1 + (n – 1)d;

u3 + un-2 = u1 + 2d + u1 + (n – 3)d = 2u1 + (n – 1)d;

...

uk + un-k+1 = u1 + (k – 1)d + u1 + (n – k + 1 – 1)d = 2u1 + (n – 1)d;

Vậy u1 + un = u2 + un-1 = u3 + un-2 = ... = uk + un-k+1.

b) Ta có: 2(u1 + u2 + u3 + ... + un)

= 2[(u1 + un) + (u2 + un-1) + (u3 + un-2) + ... + (uk + un-k+1)]

= 2[(u1 + un) + (u1 + un) + ... + (u1 + un)]

= $2. \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$ = n(u1 + un) .

Thực hành 4:

a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên

b) Cho cấp số cộng (un) có u3+u28=100. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng (vn) có S6=18 và S10=110. Tính S20

Trả lời:

a) Tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên là:

S50=50[2.0+(50−1).2]2=2450

b) u3+u28=u1+2d+u1+27d=u1+u1+29d=u1+u30=100

S30=n(u1+u30)2=30.1002=1500

c) S6=6(2u1+5d)2=18⇔2u1+5d=6

S10=10(2u1+9d)2=110⇔2u1+9d=22

Suy ra u1=−7;d=4

S20=20(2u1+19d)2=620

Vận dụng 3: Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế, ... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).

Vận dụng 3 trang 55 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Trả lời:

Số ghế của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng, có số hạng đầu là u1 = 7, công sai d = 3. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: un = u1 + (n – 1)d = 7 + (n – 1).3.

a) Số ghế có ở hàng cuối cùng (hàng số 20) là: u20 = 17 + (20 – 1).3 = 74.

b) Tổng số ghế có trong rạp là tổng của 20 số hạng đầu trong cấp số cộng và bằng:

$S_{20} = \frac{20 (17 + 74)}{2} = 910$ .

Vậy tổng số ghế trong rạp là 910 ghế.

Bài tập

Bài tập 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; -3; -7; -11; -15

Trả lời:

Ta thấy: un+1=un+(−4)

Vậy dãy số trên là dãy số cộng có công sai bằng -4

Bài tập 2: Cho (un) là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 4 và công sai d = – 10. Viết công thức số hạng tổng quát un.

Trả lời:

Công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) có số hạng đầu u1 = 4 và công sai d = – 10 là:

un = 4 + (n – 1).10 = 10n – 6.

Bài tập 3: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1=−3 và công sai d=2

a) Tìm u12

b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Trả lời:

un=−3+2(n−1)=2n−5

a) u12=2.12−5=19

b) un=2n−5=195⇔n=100

Bài tập 4: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) un = 3 – 4n;

b) un = $\frac{n}{2} - 4$ ;

c) un = 5n;

d) un = $\frac{9 - 5 n}{3}$ .

Trả lời:

a) Ta có:

u1 = 3 – 4.1 = – 1;

un+1 = 3 – 4(n + 1) = 3 – 4n – 4 = un – 4, ∀n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu là – 1 và công sai d = – 4.

b) Ta có:

u1 = $\frac{1}{2} - 4 = \frac{- 7}{2}$ ;

un+1 = $\frac{n + 1}{2} - 4 = \frac{n}{2} - 4 + \frac{1}{2} = u_{n} + \frac{1}{2}, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Vậy (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $- \frac{7}{2}$ và công sai $d = \frac{1}{2}$ .

c) Dãy số (un) không phải cấp số cộng vì:

u1 = 51 = 5; u2 = 52 = 25; u2 = 53 = 125 và $u_{2} \neq \frac{1}{2} (u_{1} + u_{3})$ .

d) Ta có:

u1 = $\frac{9 - 5.1}{3} = \frac{4}{3}$

un+1 = $\frac{9 - 5 (n + 1)}{3} = \frac{9 - 5 n - 5}{3} = \frac{9 - 5 n}{3} - \frac{5}{3} = u_{n} - \frac{5}{3}, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Vậy (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $\frac{4}{3}$ và công sai $d = - \frac{5}{3}$ .

Bài tập 5: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết:

a) {u3−u1=20u2+u5=54

b) {u2+u3=0u2+u5=80

c) {u5−u2=3u8.u3=24

Trả lời:

a) {u3−u1=20u2+u5=54

⇔{u1+2d−u1=20u1+d+u1+4d=54

⇔{d=10u1=2

b) {u2+u3=0u2+u5=80

⇔{u1+d+u1+2d=0u1+d+u1+4d=80

⇔{2u1+3d=02u1+5d=80

⇔{d=40u1=−60

c) {u5−u2=3u8.u3=24

⇔{u1+4d−u1−d=3(u1+7d)(u1+2d)=24

⇔{d=1u1=1 hoặc {d=1u1=−10

Bài tập 6: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, ..., 31 cm.

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Trả lời:

a) Dãy số 45; 43; 41; ...; 31 là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 45 và công sai d = 2. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

un = 45 + (n – 1)(– 2) = 47 – 2n, ∀n ∈ ℕ*.

Thanh cuối cùng có độ dài là 31 cm nên để tìm thang có bao nhiêu bậc tương ứng với tìm thanh ngang cuối cùng là số hạng thứ bao nhiêu trong cấp số cộng trên.

Ta có un = 47 – 2n = 31

⇔ n = 8

Vậy cái thang có 8 bậc.

b) Chiều dài thanh gỗ cần mua là tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số cộng và bằng $S_{8} = \frac{8 (45 + 31)}{2} = 304 (c m)$ .

Bài tập 7: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144;... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng)

a) Tính công sai của cấp số cộng trên

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Trả lời:

a) Công sai của cấp số cộng trên là: d = 32

b) S10=10.[2.16+(10−1).32]2=1600

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1600 feet

Bài tập 8: Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?

Trả lời:

Chiều cao của các cây lập thành một cấp số cộng un

Cây thấp nhất có kiểu gene aabb nên u1 = 100.

Nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm do đó công sai của cấp số cộng là d = 5.

Vậy cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao là 100 + 5.4 = 120 (cm).