Giải SGK Toán 7 Cánh diều Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Khởi động: Nhiệt độ lúc 13 giờ ngày 24/01/2016 tại một số trạm đo được cho bởi bảng sau:

Các số chỉ nhiệt độ nêu trên có viết được dưới dạng phân số không?

Lời giải:

Các chỉ số nhiệt độ đã cho trong bảng trên là −1,3 oC; −0,5 oC; 0,3 oC; −3,1 oC.

Ta có -1,3 = $\frac{-13}{10}$ ; -0,5 = $\frac{\mathrm{-5}}{10}$ ;

 0,3 = $\frac{3}{10}$;  -3,1 = $\frac{-31}{10}$.

Vì các số  $\frac{-13}{10};\frac{\mathrm{-5}}{10};\frac{3}{10};\frac{-31}{10}$ là các phân số nên các số −1,3; −0,5; 0,3; −3,1 viết được dưới dạng phân số.

Vậy các số chỉ nhiệt độ −1,3 oC; −0,5 oC; 0,3 oC; −3,1 oC viết được dưới dạng phân số.

1. Số hữu tỉ

Hoạt động 1: Viết các số $-3;\mathrm{0,5};2\frac{3}{7}$ dưới dạng phân số.

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 1: Các số 21 ; −12; $\frac{-7}{-9}$ ; −4,7; −3,05 có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: 21 = 211; -12 = −121; −7−9= 79

          -4,7 = −4710; -3,05 = −305100 = −6120 

=> Các số trên đều là số hữu tỉ.

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Hoạt động 2: Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{7}{10}$ trên trục số

Lời giải:

Ta biểu diễn số hữu tỉ $\frac{7}{10}$ trên trục số như sau:

• Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm 0 đến điểm 1) thành mười phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{10}$ đơn vị cũ);

• Đi theo chiều dương của trục số, bắt đầu từ điểm 0, ta lấy ra 7 đơn vị mới đến điểm A. Điểm A biểu diễn số hữu tỉ $\frac{7}{10}$ (như hình vẽ).

Luyện tập, vận dụng 2: Biểu diễn số hữu tỉ − 0,3 trên trục số.

Lời giải:

3. Số đối của một số hữu tỉ

Hoạt động 3: Quan sát hai điểm biểu diễn các số hữu tỉ $\frac{-5}{4}$ và $\frac{5}{4}$ trên trục số sau (Hình 4):

Nêu nhận xét về khoảng cách từ hai điểm $\frac{-5}{4}$ và $\frac{5}{4}$ đến điểm gốc 0.

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 3: Tìm số đối của mỗi số sau: $\frac{2}{9};-0,5$

Lời giải:

Số đối của $\frac{2}{9}$ là $\frac{-2}{9}$.

Số đối của − 0,5 là − (−0,5) = 0,5.

4. So sánh các số hữu tỉ

Hoạt động 4: So sánh: 

a. −13 và −25       b. 0,125 và 0,13      c. -0,6 và −23

Trả lời:

a. Ta có: −13 = −515 ; −25 = −615

Vì -5 > -6 nên −515 > −615 hay −13 > −25

b. 0,125 < 0,13 vì chữ số hàng phần trăm của 0,125 là 2 nhỏ hơn chữ số hàng phần trăm của 0,13 là 3

c. Ta có: -0,6 = −610 = −35= −915

−23= −1015

Vì -9 > -10 nên −915 > −1015 hay -0,6 > −25

Luyện tập, vận dụng 4: So sánh:

a) – 3,23 và – 3,32;

b) $\frac{-7}{3}$ và – 1,25.

Lời giải:

Hoạt động 5: Giả sử hai điểm a, b lần lượt biểu diễn hai số nguyên a, b trên trục số nằm ngang. Với a < b, nêu nhận xét về vị trí của điểm a so với điểm b trên trục số đó.

Lời giải:

Hai điểm a, b lần lượt biểu diễn hai số nguyên a, b trên trục số nằm ngang.

Xét a < b.

+) Với a < 0, b < 0 và a < b.

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Khi đó, điểm a nằm bên trái điểm b.

+) Với a < 0, b > 0 và a < b.

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Khi đó, điểm a nằm bên trái điểm b.

+) Với a > 0, b > 0 và a < b.

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Khi đó, điểm a nằm bên trái điểm b.

Vậy với a < b thì điểm a nằm bên trái điểm b.

Bài tập

Bài tập 1: Các số 13; − 29; − 2,1; 2,28; $\frac{-12}{-18}$ có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Lời giải:

Bài tập 2: Chọn kí hiệu "∈", "∉" thích hợp cho $?$

a) $21?Q$;

b)  $-7?N$;

c)  $\frac{5}{-7}?Z$;

d)  $0?Q$;

e)  $-\mathrm{7,3}?Q$;

g)  $3\frac{2}{9}?Q$.

Lời giải:

Bài tập 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu a ∈ ℕ thì a ∈ ℚ

b) Nếu a ∈ ℤ thì a ∈ ℚ

c) Nếu a ∈ ℚ thì a ∈ ℕ

d) Nếu a ∈ ℚ thì a ∈ ℤ

e) Nếu a ∈ ℕ thì a ∉ ℚ

g) Nếu a ∈ ℤ thì a ∉ ℚ

Lời giải:

a) Mọi số tự nhiên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số $\frac{a}{1}$.

Khi đó, nếu a là số tự nhiên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu $\text{a}\in N$ thì $\text{a}\in Q$” là đúng.

b) Mọi số nguyên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số $\frac{a}{1}$.

Khi đó, nếu a là số nguyên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu $\text{a}\in Z$ thì $\text{a}\in Q$” là đúng.

c) Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể là số tự nhiên. 

Ví dụ: 2 vừa là số hữu tỉ vừa là số tự nhiên.

Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể không phải là số tự nhiên. 

Ví dụ: $\frac{1}{2}$ là số hữu tỉ nhưng không phải là số tự nhiên.

Khi đó, nếu a là số hữu tỉ thì a chưa chắc là số tự nhiên.

Do đó phát biểu “Nếu $\text{a}\in Q$ thì $\text{a}\in N$” là sai.

d) Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể là số nguyên. 

Ví dụ: −5 vừa là số hữu tỉ vừa là số nguyên.

Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể không phải là số nguyên. 

Ví dụ: $\frac{2}{5}$ là số hữu tỉ nhưng không phải là số nguyên.

Khi đó, nếu a là số hữu tỉ thì a chưa chắc là số nguyên.

Do đó phát biểu “Nếu $\text{a}\in Q$ thì $\text{a}\in Z$” là sai.

e) Mọi số tự nhiên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số $\frac{a}{1}$.

Khi đó, nếu a là số tự nhiên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu $\text{a}\in N$ thì $\text{a}\notin Q$” là sai.

g) Mọi số nguyên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số $\frac{a}{1}$.

Khi đó, nếu a là số nguyên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu $\text{a}\in Z$ thì $\text{a}\notin Q$” là sai.

Vậy các phát biểu đúng là: a, b và các phát biểu sai là: c, d, e, g.

Bài tập 4: Quan sát trục số sau và cho biết các điểm A, B, C, D biểu diễn những số nào:

Lời giải:

Bài tập 5: Tìm số đối của mỗi số sau: $\frac{9}{25};\frac{-8}{27};-\frac{15}{31};\frac{5}{-6};\mathrm{3,9};-\mathrm{12,5}$.

Lời giải:

Bài tập 6: Biểu diễn số đối của mỗi số cho trên trục số sau:

Lời giải:

Số đối của  $\frac{-5}{6}$ là $-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$;

Số đối của $\frac{-1}{3}$ là $-\frac{-1}{3}=\frac{1}{3}$;

Số đối của 0 là 0;

Số đối của 1 là − 1; 

Số đối của $\frac{7}{6}$ là $-\frac{7}{6}$.

Biểu diễn các số $\frac{5}{6};\frac{1}{3};0;-1;-\frac{7}{6}$ trên trục số như sau:

Bài tập 7: So sánh:

a) 2,4 và $2\frac{3}{5}$;

b) − 0,12 và $-\frac{2}{5}$;

c) $\frac{-2}{7}$ và − 0,3.

Lời giải:

a, 2,4 và 235

Ta có: 2,4 = 125

          235 = 135

Mà: 125 < 135

=> Kết luận: 2,4 < 235

b, -0,12 và -25

Ta có:  -0,12 = -325

           -25 = -1025 

Mà: -3 > -10 nên -325 > -1025

=> Kết luận: -0,12 > -25

c, −27 và -0,3

Ta có: −27 = -2070

          -0,3 = 2−310= −2170 

Mà: −2070 > −2170

=> Kết luận: −27 > -0,3

Bài tập 8:

a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $\frac{-3}{7};\mathrm{0,4};-\mathrm{0,5};\frac{2}{7}$.

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: $\frac{-5}{6};-\mathrm{0,75};-\mathrm{4,5};-1$.

Lời giải:

Bài tập 10: Bạn Linh đang cân khối lượng của mình (Hình 6), ở đó các vạch ghi 46 và 48 lần lượt ứng với các số đo 46 kg và 48 kg. Khi nhìn vị trí mà chiếc kim chỉ vào, bạn Minh đọc số đo là 47,15 kg, bạn Dương đọc số đo là 47,3 kg, bạn Quân đọc số đo là 47,65 kg. Bạn nào đã đọc đúng số đo? Vì sao?

Lời giải:

Từ vạch ghi 46 đến vạch ghi 48 lần lượt ứng với các số đo 46 kg và 48 kg thì vạch đậm chính giữa hai vạch này chỉ số đo 47 kg.

Từ vạch chỉ số đo 47 kg đến vạch chỉ số đo 48 kg được chia thành 10 đoạn nhỏ nên mỗi đoạn tương ứng với 0,1 kg.

Do đó, chiếc cân chỉ 47,3 kg.

Vậy bạn Dương đã đọc đúng số đo.

Bài tập 10: Cô Hạnh dự định xây tầng hầm cho ngôi nhà của gia đình. Một công ty tư vấn xây dựng đã cung cấp cho cô Hạnh lựa chọn một trong sáu số đo chiều cao của tầng hầm như sau: 2,3 m; 2,35 m; 2,4 m; 2,55 m; 2,5 m; 2,75 m. Cô Hạnh dự định chọn chiều cao của tầng hầm lớn hơn $\frac{13}{5}$m để đảm bảo ánh sáng, thoáng đãng, cân đối về kiến trúc và thuận tiện trong sử dụng. Em hãy giúp cô Hạnh chọn đúng số đo chiều cao của tầng hầm.

Lời giải:

Ta có $\frac{13}{5}=\mathrm{2,6}$.

Cô Hạnh dự định chọn chiều cao của tầng hầm lớn hơn $\frac{13}{5}$m hay chiều cao lớn hơn 2,6 m.

Mà trong sáu lựa chọn mà công ty tư vấn xây dựng đã đưa ra cho cô Hạnh thì chỉ có chiều cao 2,75 m lớn hơn 2,6 m.

Vậy số đo chiều cao của tầng hầm cô Hạnh cần chọn là 2,75 m.