Giải SGK Toán 7 Cánh Diều Bài tập cuối chương II

Bài tập 1: Tìm những số vô tỉ trong các số sau đây: 

$-6,123\left(456\right);-\sqrt{4};\sqrt{\frac{4}{9}};\sqrt{11};\sqrt{15}.$

Lời giải:

Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ta có: 

–6,123(456) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 456 nên nó không là số vô tỉ.

$-\sqrt{4}=-2$ là số nguyên âm nên nó không phải số vô tỉ.

$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$ là được viết dưới dạng phân số nên nó không phải số vô tỉ.

$\sqrt{11}=\mathrm{3,31662479...}$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên nó là số vô tỉ.

$\sqrt{15}=\mathrm{3,872983346...}$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên nó là số vô tỉ.

Vậy trong các số đã cho có hai số vô tỉ là $\sqrt{11};\sqrt{15}.$

Bài tập 2: So sánh:

a) 4,9(18) và 4,928…;

b) –4,315… và –4,318...;

c) $\sqrt{3}$ và $\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Lời giải:

a) 4,9(18) và 4,928…

Ta có: 4,9(18) = 4,91818… Mà 4,91818…< 4,928… => 4,9(18) < 4,928

b) -4,315 và -4,318...

Ta có: Vì 4,315 < 4,318… => -4,315 > - 4,318…

c) 3–√ và 72−−√

Ta có: 3 < 72 => 3–√ < 72−−√

Bài tập 3:

a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: 

6; $\sqrt{35}$; $\sqrt{47}$; –1,7; $-\sqrt{3}$; 0.

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: 

$-\sqrt{\mathrm{2,3}};\sqrt{5\frac{1}{6}};0;\sqrt{\mathrm{5,3}};-\sqrt{2\frac{1}{3}};-\mathrm{1,5.}$

Lời giải:

Bài tập 4: Tính:

a) $2.\sqrt{6}.\left(-\sqrt{6}\right)$;

b) $\sqrt{\mathrm{1,44}}-2.{\left(\sqrt{\mathrm{0,6}}\right)}^2$;

c) $\mathrm{0,1.}{\left(\sqrt{7}\right)}^2+\sqrt{\mathrm{1,69}}$;

d) $\left(-\mathrm{0,1}\right).{\left(\sqrt{120}\right)}^2-\frac{1}{4}.{\left(\sqrt{20}\right)}^2$

Lời giải:

a)  $2.\sqrt{6}.\left(-\sqrt{6}\right)$

$=-2.\sqrt{6}.\sqrt{6}$

$=-2.{\left(\sqrt{6}\right)}^2$

= –2.6 

= –12

b)  $\sqrt{\mathrm{1,44}}-2.{\left(\sqrt{\mathrm{0,6}}\right)}^2$

= $\sqrt{{\mathrm{1,2}}^2}$ – 2.0,6 

= 1,2 – 1,2

= 0 

c) $\mathrm{0,1.}{\left(\sqrt{7}\right)}^2+\sqrt{\mathrm{1,69}}$ 

= 0,1.7 +  $\sqrt{{\mathrm{1,3}}^2}$

= 0,7 + 1,3 

= 2

d)  $\left(-\mathrm{0,1}\right).{\left(\sqrt{120}\right)}^2-\frac{1}{4}.{\left(\sqrt{20}\right)}^2$

= (–0,1).120 – $\frac{1}{4}.20$ 

= –12 – 5

= –17

Bài tập 5: Tìm số x không âm, biết: 

a)  $\sqrt{x}-16=0$

b) 2$\sqrt{x}=\mathrm{1,5}$ 

c) $\sqrt{x+4}-\mathrm{0,6}=\mathrm{2,4}$

Lời giải:

Bài tập 6: Tìm số x trong các tỉ lệ thức sau:

a) $\frac{x}{-3}=\frac{7}{\mathrm{0,75}}$;

b) –0,52 : x = $\sqrt{\mathrm{1,96}}:\left(-\mathrm{1,5}\right)$;

c) x :$\sqrt{5}=\sqrt{5}:x$.

Lời giải:

Bài tập 7: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ với b – d ≠ 0, b + 2d ≠ 0. Chứng tỏ rằng: $\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+2c}{b+2d}$

Lời giải:

Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$   (1)

Ta lại có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2c}{2d}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

$\frac{a}{b}=\frac{2c}{2d}=\frac{a+2c}{b+2d}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có: 

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+2c}{b+2d}$

Hay $\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+2c}{b+2d}$ (điều phải chứng minh).

Bài tập 8: Tìm ba số x; y; z, biết $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{9}$ và x – y + z = $\frac{7}{3}$.

Lời giải:

Dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x5=y7=z9=x−y+z5−7+9=737=73.17=13

=>x=5.13=53

       y=7.13=73

       z=9.13=93=3

Bài tập 9: Lớp 7A có 45 học sinh. Trong đợt sơ kết Học kỳ I, số học sinh của lớp 7A có kết quả học tập ở các mức Tốt, Khá, Đạt tỉ lệ với ba số 3; 4; 2. Tính số học sinh có kết quả học tập ở mỗi mức của lớp 7A, biết trong lớp đó không có học sinh nào ở mức Chưa đạt.

Lời giải:

Bài tập 10: Chị Phương định mua 3 kg táo với số tiền định trước. Khi vào siêu thị đúng thời điểm khuyến mại nên giá táo được giảm 25%. Với số tiền đó, chị Phương mua được bao nhiêu ki – lô – gam táo?

Lời giải:

Vì giá táo giảm 25% nên giá tạo thức tế chị Phương mua có giá bằng 75% giá táo dự định.

Ta có 75% = $\frac{3}{4}$. 

Do đó giá táo thực tế chị Phương mua bằng $\frac{3}{4}$ giá táo dự định.

Gọi số táo chị Phương thực tế mua được là x (x $\in N^{\ast }$). 

Do giá táo và số lượng táo mua được tỉ lệ nghịch với nhau nên tỉ số của số kg táo thực tế mua được với số kg táo dự định là $\frac{4}{3}$.

Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch ta có: $\frac{x}{3}=\frac{4}{3}$

Suy ra  $x=\frac{4.3}{3}=4$(kg)

Vậy chị Phương có thể mua 4 (kg) táo với số tiền dự định.

Bài tập 11: Cứ 15 phút chị Lan chạy được 2,5 km. Hỏi trong 1 giờ chị chạy được bao nhiêu ki – lô – mét? Biết rằng vận tốc chạy của chị Lan là không đổi.

Lời giải:

Bài tập 12: Một công nhân trong 30 phút làm được 20 sản phẩm. Hỏi để làm được 50 sản phẩm người đó cần bao nhiêu phút? Biết năng suất làm việc của người đó không đổi.

Lời giải:

Gọi số sản phẩm người đó làm được trong 75 phút là x (sản phẩm) (x>0)

Vì năng suất làm việc không đổi thì thời gian và số sản phẩm làm được là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

3020=75x=>20.7530=50 (thỏa mãn điều kiện)

=> Trong 75 phút, số sản phẩm người đó làm được là: 50 sản phẩm

Bài tập 13: Cứ đổi 1 158 000 đồng Việt Nam thì được 50 đô la Mỹ. Để có 750 đô la Mỹ thì cần đổi bao nhiêu đồng Việt Nam?

Lời giải:

Gọi số tiền Việt Nam cần có để đổi được 750 đô la Mỹ là x (đồng) (x>0)

Vì số tiền đô la Mỹ và số tiền Việt Nam quy đổi cho nhau là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

115800050=x750=>x=1158000.75050=17.370.000 (tmđk)

Vậy để có đươc 750 đô la Mỹ thì số tiền Việt Nam cần đổi là: 17.370.000 đồng.

Bài tập 14: Trong tháng trước, cứ 6 giờ, dây chuyền làm ra 1 000 sản phẩm. Trong tháng này, do được cải tiến nên năng suất của dây chuyền bằng 1,2 lần năng suất tháng trước. Hỏi trong tháng này, để làm ra 1 000 sản phẩm như thế thì dây chuyền đó cần bao nhiêu giờ?

Lời giải:

Vì cải tiến kỹ thuật nên năng suất tháng này bằng 1,2 lần năng suất tháng trước hay nói cách khác tỉ số của năng suất tháng này so với năng suất tháng trước là $\frac{6}{5}$ (vì 1,2 = $\frac{6}{5}$).

Mà năng suất và thời gian sản suất là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. 

Do đó tỉ số thời gian để làm 1000 sản phẩm tháng trước và thời gian để làm 1000 sản phẩm tháng này là $\frac{6}{5}$.

Gọi thời gian để làm 1000 sản phẩm tháng này là x (x > 0)

Ta có: $\frac{6}{x}=\frac{6}{5}$ suy ra $x=\frac{6.5}{6}=5$ (thoả mãn).

Vậy trong tháng này, thời gian để sản suất 1000 sản phẩm là 5 giờ.

Bài tập 15: Đồng trắng là một hợp kim của đồng và nickel . Một hợp kim đồng trắng có khối lượng của đồng và nickel tỉ lệ với 9 và 11. Tính khối lượng đồng và nickel cần dùng để tạo ra 25 kg hợp kim đó.

Lời giải:

Bài tập 16: Cho ba hình chữ nhật có cùng diện tích. Biết chiều rộng của ba hình chữ nhật tỉ lệ với ba số 1;2;3. Tính chiều dài của mỗi hình chữ nhật đó, biết tổng chiều dài của ba hình chữ nhật là 110 cm.

Lời giải:

Gọi chiều dài 3 hình chữ nhật lần lượt là x,y,z(cm)(x,y,z>0).

Do tổng chiều dài của ba hình chữ nhật là 110 cm nên x+y+z=110

Vì 3 hình chữ nhật có: chiều dài x chiều rộng= diện tích (không đổi) nên chiều rộng và chiều dài là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo tính chất 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

1.x=2.y=3.z

1.x6=2.y6=3.z6⇒x6=y3=z2

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x6=y3=z2=x+y+z6+3+2=11011=10

=>x=6.10=60

     y=3.10=30

     z=2.10=20

=> Vậy chiều dài của mỗi hình chữ nhật đó lần lượt là 60 cm, 30 cm, 20 cm.

Bài tập 17: Hình 14a mô tả hình dạng của một hộp sữa và lượng sữa chứa trong hộp đó. Hình 14b mô tả hình dạng của hộp sữa đó và lượng sữa chứa trong hộp khi đặt hộp ngược lại. Tính tỉ số của thể tích sữa có trong hộp và thể tích cả hộp.

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng đáy lớn của hình là x; y (x; y > 0)

Khi đó thể tích sữa của hình a được tính bởi công thức V1 = 6xy.

Chiều cao của phần không có sữa trên hình b là 12 – 7 = 5 cm. 

Khi đó thể tích phần không có sữa tính bởi công thức V2 = 5xy.

Vì thể tích sữa ở hai hình như nhau nên thể tích phần không có sữa ở hình b cũng là thể tích phần không có sữa ở hình a.

Do đó, thể tích cả hộp sữa là: V = 6xy + 5xy = 11xy.

Tỉ số của thể tích sữa có trong hộp và thể tích cả hộp là: 

$\frac{V_1}{V}=\frac{6xy}{11xy}=\frac{6}{11}$

Vậy tỉ số thể tích sữa có trong hộp và thể tích cả hộp là $\frac{6}{11}$