Giải SGK Toán 7 Cánh diều Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Khởi động: Đèo Hải Vân là một cung đường hiểm trở trên tuyến giao thông suốt Việt Nam. Để thuận lợi cho việc đi lại, người ta đã xây dựng hầm đường bộ xuyên đèo Hải Vân.

Hầm Hải Vân có chiều dài là 6,28 km và bằng $\frac{157}{500}$ độ dài của đèo Hải Vân. Độ dài của đèo Hải Vân là bao nhiêu ki-lô-mét?

Lời giải:

Ta đưa bài toán về tìm một số khi biết giá trị phân số $\frac{157}{500}$ của nó là 6,28 km.

Độ dài của đèo Hải Vân là:

$\mathrm{6,28}:\frac{157}{500}=\frac{628}{100}:\frac{157}{500}=\frac{157}{25}.\frac{500}{157}=\frac{500}{25}=20$ (km).

Vậy độ dài của đèo Hải Vân là 20 ki-lô-mét.

1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ. Quy tắc chuyển vế

Hoạt động 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{-2}{5}+\frac{3}{7}$;

b) 0,123 – 0,234.

Lời giải:

a. −25 + 37 = −1435 + 1535 = 135

b. 0,123 − 0,234 = - (0,234 - 0,123) = -0,111

Luyện tập, vận dụng 1: Tính:

a) $\frac{5}{7}-(-\mathrm{3,9})$;

b) $(-\mathrm{3,25})+4\frac{3}{4}$.

Lời giải:

a)  $\frac{5}{7}-(-\mathrm{3,9})=\frac{5}{7}+\frac{39}{10}$

$=\frac{50}{70}+\frac{273}{70}=\frac{323}{70}$;

b)  $(-\mathrm{3,25})+4\frac{3}{4}=\frac{-325}{100}+\frac{19}{4}$

$=\frac{-13}{4}+\frac{19}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Hoạt động 2: Nêu tính chất của phép cộng các số nguyên.

Lời giải:

• Giao hoán: Với mọi a, b ∈ ℤ : a + b = b + a;

• Kết hợp: Với mọi  a, b, c ∈ ℤ: (a + b) + c = a + (b + c);

• Cộng với số 0: Với mọi  a ∈ ℤ:  a + 0 = 0 + a = a;

• Cộng với số đối: Số đối của số nguyên a được ký hiệu là (− a): a + (− a) = (− a) + a = 0.

Luyện tập, vận dụng 2: Tính một cách hợp lí:

a) $(-\mathrm{0,4})+\frac{3}{8}+(-\mathrm{0,6})$;

b) $\frac{4}{5}-\mathrm{1,8}+\mathrm{0,375}+\frac{5}{8}$.

Lời giải:

a. (-0,4) + 38 + (-0,6) = [(-0,4) + (-0,6)] +38 = -1 + 38 = −58

b. 45 - 1,8 + 0,375 + 58 = (0,8 - 1,8) + (0,375 + 0,625) = (-1) + 1 = 0

Hoạt động 3:

a) Tìm số nguyên x, biết: x + 5 = – 3.

b) Trong tập hợp các số nguyên, nêu quy tắc tìm một số hạng của tổng hai số khi biết tổng và số hạng còn lại.

Lời giải:

a) x + 5 = – 3

x = – 3 – 5

x = – (3 + 5)

x = – 8 (thỏa mãn x là số nguyên).

Vậy x = – 8.

b) Trong tập hợp các số nguyên, muốn tìm một số hạng chưa biết ta lấy tổng của hai số trừ đi số hạng còn lại.

Luyện tập, vận dụng 3: Tìm x, biết:

a) $x-\left(-\frac{7}{9}\right)=-\frac{5}{6};$

b) $\frac{15}{-4}-x=\mathrm{0,3}$.

Lời giải:

a. x - (−79)=−56

    x + (79)=−56

    x = -56 - 79 = -1518 - 1418

    x = −2918

b. 15−4 - x = 0,3

    x = 15−4 - 0,3

    x = -3,75 - 0,3

    x = -4,05

2. Nhân, chia hai số hữu tỉ

Hoạt động 4: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{1}{8}.\frac{3}{5}$;

b) $\frac{-6}{7}:\left(-\frac{5}{3}\right)$;

c) 0,6 . (− 0,15).

Lời giải:

a) $\frac{1}{8}.\frac{3}{5}=\frac{1.3}{8.5}=\frac{3}{40}$;

b) $\frac{-6}{7}:\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{6}{7}:\frac{5}{3}=\frac{6}{7}.\frac{3}{5}=\frac{18}{35}$;

c) 0,6 . (− 0,15) = − (0,6 . 0,15) = − 0,09.

Luyện tập, vận dụng 4: Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.

Lời giải:

Ta đưa bài toán về tìm một số khi biết giá trị phân số $\frac{157}{500}$ của nó là 6,28 km.

Độ dài của đèo Hải Vân là:

$\mathrm{6,28}:\frac{157}{500}=\frac{628}{100}:\frac{157}{500}=\frac{157}{25}.\frac{500}{157}=\frac{500}{25}=20$ (km).

Vậy độ dài của đèo Hải Vân là 20 ki-lô-mét.

Luyện tập, vận dụng 5: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B. Trong 1 giờ đầu, ô tô đã đi được $\frac{2}{5}$ quãng đường. Hỏi với vận tốc đó, ô tô phải mất bao lâu để đi hết quãng đường AB?

Lời giải:

Thời gian ô tô đi hết cả quãng đường AB là: 

1 : 25 = 52 (giờ) 

Hoạt động 5: Nêu tính chất của phép nhân các số nguyên.

Lời giải:

• Tính chất giao hoán: Với mọi a, b ∈ ℤ : a . b = b . a

• Tính chất kết hợp: Với mọi a, b, c ∈ ℤ : (a . b) . c = a . (b . c)

• Nhân với số 1: Với mọi a ∈ ℤ: a . 1 = 1 . a = a

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:Với mọi a, b, c ∈ ℤ : a . (b + c) = a . b + a . c

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ:Với mọi a, b, c ∈ ℤ : a . (b – c) = a . b – a . c.

Luyện tập, vận dụng 6: Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{7}{3}.(-\mathrm{2,5}).\frac{6}{7}$ ;

b) $\mathrm{0,8}.\frac{-2}{9}-\frac{4}{5}.\frac{7}{9}-\mathrm{0,2}$.

Lời giải:

73 . (-2,5) . 67 = 73 . 67 . (-2,5) = 2. (-2,5) = -5

b)  $\mathrm{0,8}.\frac{-2}{9}-\frac{4}{5}.\frac{7}{9}-\mathrm{0,2}$

$=\frac{4}{5}.\frac{-2}{9}-\frac{4}{5}.\frac{7}{9}-\mathrm{0,2}$

$=\frac{4}{5}.\left(\frac{-2}{9}-\frac{7}{9}\right)-\mathrm{0,2}$

$=\frac{4}{5}.(-1)-\frac{1}{5}$

$=\frac{-4}{5}-\frac{1}{5}$

$=\frac{-5}{5}=-1$

Hoạt động 6: Nêu phân số nghịch đảo của phân số $\frac{m}{n}(m\ne \mathrm{0,}n\ne 0)$.

Lời giải:

Với m ≠ 0, n ≠ 0 thì phân số nghịch đảo của phân số $\frac{m}{n}$ là phân số $\frac{n}{m}$ vì $\frac{m}{n}.\frac{n}{m}=1$

Luyện tập, vận dụng 7: Tìm số nghịch đảo của mỗi số hữu tỉ sau:

a) $2\frac{1}{5}$;                            b) − 13.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Tính:

a) $\frac{-1}{6}+\mathrm{0,75}$;

b) $3\frac{1}{10}-\frac{3}{8}$;

c) $\mathrm{0,1}+\frac{-9}{17}-(-\mathrm{0,9})$.

Lời giải:

a) $\frac{-1}{6}+\mathrm{0,75}=\frac{-1}{6}+\frac{3}{4}$

$=\frac{-2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{7}{12}$.

b) $3\frac{1}{10}-\frac{3}{8}=\frac{31}{10}-\frac{3}{8}$

$=\frac{124}{40}-\frac{15}{40}=\frac{109}{40}$.

c) $\mathrm{0,1}+\frac{-9}{17}-(-\mathrm{0,9})$

$=\mathrm{0,1}+\frac{-9}{17}+\mathrm{0,9}$

$=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,9}+\frac{-9}{17}$

$=1+\frac{-9}{17}$

$=\frac{17}{17}+\frac{-9}{17}$

$=\frac{8}{17}$ .

Bài tập 2: Tính:

a) $\mathrm{5,75}.\frac{-8}{9}$;

b) $2\frac{3}{8}.(-\mathrm{0,4})$;

c) $\frac{-12}{5}:(-\mathrm{6,5})$.

Lời giải:

Bài tập 3: Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{-3}{10}-\mathrm{0,125}+\frac{-7}{10}+\mathrm{1,125}$;

b) $\frac{-8}{3}.\frac{2}{11}-\frac{8}{3}:\frac{11}{9}$.

Lời giải:

a. −310 - 0,125 + −710 + 1,125

= (−310+−710)+(1,125−0,125)

= -1 + 1 = 0

b. −83 . 211 - 83 : 119

= 83.−211−83.911

= 83.(−211−911)

= 83.(−1)=−83

Bài tập 4: Tìm x, biết:

a) $x+\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{-4}{15}$;

b) $\mathrm{3,7}-x=\frac{7}{10}$;

c) $x.\frac{3}{2}=\mathrm{2,4}$;

d) $\mathrm{3,2}:x=-\frac{6}{11}$.

Lời giải:

a) $x+\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{-4}{15}$ 

$x=\frac{-4}{15}-\left(-\frac{1}{5}\right)$

$x=\frac{-4}{15}+\frac{1}{5}$

$x=\frac{-4}{15}+\frac{3}{15}$

$x=\frac{-1}{15}$.

Vậy $x=\frac{-1}{15}$.

b)  $\mathrm{3,7}-x=\frac{7}{10}$

3,7 – x = 0,7

x = 3,7 – 0,7

x = 3.

Vậy x = 3.

c) $x.\frac{3}{2}=\mathrm{2,4}$

$x=\mathrm{2,4}:\frac{3}{2}$

$x=\frac{12}{5}.\frac{2}{3}$

$x=\frac{8}{5}$.

Vậy $x=\frac{8}{5}$.

d) $\mathrm{3,2}:x=-\frac{6}{11}$

$x=\mathrm{3,2}:\left(-\frac{6}{11}\right)$

$x=\frac{16}{5}.\left(-\frac{11}{6}\right)$

$x=-\frac{88}{15}$ .

Vậy $x=-\frac{88}{15}$ .

Bài tập 5: Bác Nhi gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 6,5%/năm. Hết kì hạn 1 năm, bác rút ra $\frac{1}{3}$ số tiền (kể cả gốc và lãi). Tính số tiền còn lại của bác Nhi trong ngân hàng.

Lời giải:

Số tiền lãi là: 60. 6,5100=3,9 (triệu đồng)

Số tiền gốc và lãi của bác Nhi sau 1 năm là: 60 + 3,9 = 63,9 (triệu đồng)

Số tiền bác Nhi rút ra là:  

13 . 63,9 = 21,3 (triệu đồng)

Số tiền còn lại của bác Nhi trong ngân hàng là: 63,9 – 21,3 = 42,6 (triệu đồng).

Bài tập 6: Tính diện tích mặt bằng của ngôi nhà được mô tả như Hình 7 (các số đo trên hình tính theo đơn vị mét):

Lời giải:

Chiều dài phòng khách là: 2,0 + 4,7 = 6,7 (m)

Diện tích phòng khách là: 6,7 . 5,8 = 38,86 (m2)

Diện tích phòng bếp là: 7,1 . 3,4 = 24,14 (m2)

Diện tích phòng ngủ là: 5,1 . 4,7 = 23,97 (m2)

Diện tích hai phòng vệ sinh là: (2,6 + 2,5) . 2,0 = 10,2 (m2)

Diện tích mặt bằng của ngôi nhà là: 38,86 + 24,14 + 23,97 + 10,2 = 97,17 (m2).

Vậy diện tích mặt bằng của ngôi nhà trong hình vẽ là 97,17 m2.

Bài tập 7: Theo yêu cầu của kiến trúc sư, ổ cắm điện và vòi nước của nhà chú Năm cách nhau tối thiểu là 60 cm. Trên bản vẽ có tỉ lệ 1 : 20 của thiết kế nhà chú Năm, khoảng cách từ ổ cắm điện đến vòi nước đo được là 2,5 cm. Khoảng cách trên bản vẽ như vậy có phù hợp với yêu cầu của kiến trúc sư không? Giải thích vì sao.<

Lời giải:

Theo bản đồ, khoảng cách thực tế từ ổ cắm điện đến vòi nước là:

2,5 : 120 = 50 (cm)

Vì 50 cm <  60 cm nên khoảng cách trên bản vẽ như vậy không phù hợp với yêu cầu của kiến trúc sư.