Giải SGK Toán 7 Cánh diều Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Khởi động:

Khối lượng Trái Đất khoảng 5,9724 . 1024 kg.

Khối lượng Sao Hỏa khoảng 6,417 . 1023 kg.

(Nguồn: https://www.nasa.gov)

Khối lượng Sao Hỏa bằng khoảng bao nhiêu lần khối lượng Trái Đất?

Lời giải:

Ta có: 6,417.10235,9724.1024=6,417.102359,724.1023=6,41759,724≈0,11 (lần)

=> Khối lượng Sao Hỏa bằng khoảng số lần khối lượng Trái Đất gần 0,11 lần.

1. Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên

Hoạt động 1: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa và nêu cơ số, số mũ của chúng:

a) 7 . 7 . 7 . 7. 7;

b)  

Lời giải:

a) 7.7.7.7.7 = 75

b) 12.12….12 = 12n ( n thừa số 12)

Luyện tập, vận dụng 1: Tính thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là 1,8 m.

Lời giải:

Thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là 1,8 m là:

1,8 . 1,8 . 1,8 = 1,83 = 5,832 (m3)

Vậy thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là 1,8 m là 5,832 m3.

Luyện tập, vận dụng 2: Tính:

${\left(\frac{-3}{4}\right)}^3;{\left(\frac{1}{2}\right)}^5$ .

Lời giải:

(−34)3=(−34).(−34).(−34)=(−3).(−3).(−3)4.4.4=−2764

(12)5=12.12.12.12.12=1.1.1.1.12.2.2.2.2=132

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

Hoạt động 2: Viết kết quả của mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 2m . 2n;

b) 3m : 3n với m ≥ n.

Lời giải:

a) Phép tính 2m . 2n là phép nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

Do đó: 2m . 2n = 2m + n.

b) Phép tính 3m : 3n (với m ≥ n) là phép chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.

Do đó: 3m : 3n = 3m – n  (với m ≥ n).

Luyện tập, vận dụng 3: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $\frac{6}{5}.{\left(\mathrm{1,2}\right)}^8$;

b) ${\left(\frac{-4}{9}\right)}^7:\frac{16}{81}$.

Lời giải:

a. 65.(1,2)8=65.(1,2)8=1,2(1,2)8=(1,2)1+8=(1,2)9

b. (−49)7:1681=(−49)7:1681=(−49)7:(−49)2=(−49)7−2=(−49)5

3. Lũy thừa của một lũy thừa

Hoạt động 3: So sánh:${\left({15}^3\right)}^2$ và ${15}^{3.2}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left({15}^3\right)}^2={15}^3.{15}^3={15}^{3+3}={15}^{3.2}$.

Vậy ${\left({15}^3\right)}^2={15}^{3.2}$.

Luyện tập, vận dụng 4:Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa của a:

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3\right]}^4$ với $a=-\frac{1}{6}$;

b) ${\left[{\left(-\mathrm{0,2}\right)}^4\right]}^5$ với a = − 0,2.

Lời giải:

Với a = −16 ta có: [(−16)3]4=(a3)4=a3.4=a12

Với a = - 0,2 ta  có: [(−0,2)4]5=(a4)5=a4.5=a20

Bài tập

Bài tập 1: Tìm số thích hợp cho $?$ trong bảng sau:

Lời giải:

+) Lũy thừa ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4$

Ta có: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4=\left(-\frac{3}{2}\right).\left(-\frac{3}{2}\right).\left(-\frac{3}{2}\right).\left(-\frac{3}{2}\right)$

$=\frac{(-3).(-3).(-3).(-3)}{2.2.2.2}$

 .$=\frac{{(-3)}^4}{2^4}=\frac{81}{16}$

Do đó, lũy thừa ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4$ có cơ số là $-\frac{3}{2}$; số mũ là 4 và có giá trị là $\frac{81}{16}$.

+) Lũy thừa (0,1)3.

Ta có: (0,1)3 = 0,001.

Lũy thừa (0,1)3 có cơ số là 0,1; số mũ là 3 và có giá trị là 0,001.

+) Lũy thừa có cơ số là 1,5 và số mũ là 2 thì có lũy thừa là 1,52.

Ta có: 1,52 = 2,25.

Do đó, lũy thừa có cơ số là 1,5; số mũ là 2 thì có lũy thừa là 1,52 và có giá trị là 2,25.

+) Lũy thừa có cơ số là $\frac{1}{3}$ và số mũ là 4 thì có lũy thừa là ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$.

Ta có: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{3}\right)$

$=\frac{1.1.1.1}{3.3.3.3}=\frac{1^4}{3^4}=\frac{1}{81}$.

Do đó, lũy thừa có cơ số là $\frac{1}{3}$ và số mũ là 4 thì có lũy thừa là ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$ và có giá trị là $\frac{1}{81}$.

+) Lũy thừa có cơ số là 2, giá trị là 1 thì có số mũ là 0.

Khi đó, lũy thừa cần tìm là 20.

Vậy ta có bảng sau:

Bài tập 2: So sánh:

a) (− 2)4 . (− 2)5 và (− 2)12 : (− 2)3;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^6$ và ${\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right]}^2$;

c) (0,3)8 : (0,3)2 và ${\left[{\left(\mathrm{0,3}\right)}^2\right]}^3$;

d) ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^5:{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2$ và ${\left(\frac{3}{2}\right)}^3$.

Lời giải:

Bài tập 3: Tìm x, biết:

a) (1,2)3 . x = (1,2)5;

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^7:x={\left(\frac{2}{3}\right)}^6$.

Lời giải:

a) (1,2)3 . x = (1,2)5;

x = (1,2)5 : (1,2)3

x = (1,2)5 – 3

x = (1,2)2

x = 1,44.

Vậy x = 1,44.

b)  ${\left(\frac{2}{3}\right)}^7:x={\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

$x={\left(\frac{2}{3}\right)}^7:{\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

$x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{7-6}$

$x=\frac{2}{3}$.

Vậy $x=\frac{2}{3}$.

Bài tập 4: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa của a:

a) ${\left(\frac{8}{9}\right)}^3.\frac{4}{3}.\frac{2}{3}$ với $a=\frac{8}{9}$;

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^7.\mathrm{0,25}$ với a = 0,25;

c) ${(-\mathrm{0,125})}^6:\frac{-1}{8}$ với $a=-\frac{1}{8}$;

d) ${\left[{\left(\frac{-3}{2}\right)}^3\right]}^2$ với $a=\frac{-3}{2}$.

Lời giải:

a. (89)3.43.23

=(89)3.89=(89)4

b. (14)7.0,25

=(0,25)7.0,25=(0,25)8

c. (−0,125)6:−186:−18

=(−18)5

d. [(−32)3]2

=(−32)3.2=(−32)6

Bài tập 5: Cho x là số hữu tỉ. Viết x12 dưới dạng:

a) Lũy thừa của x2;

a) Lũy thừa của x3.

Lời giải:

a) Ta có $x^{12}=x^{2.6}={\left(x^2\right)}^6$.

Vậy x12 viết dưới dạng lũy thừa của x2 là ${\left(x^2\right)}^6$.

b) Ta có $x^{12}=x^{3.4}={\left(x^3\right)}^4$.

Vậy x12 viết dưới dạng lũy thừa của x3 là ${\left(x^3\right)}^4$ .

Bài tập 6: Trên bản đồ có tỉ lệ 1 : 100 000, một cánh đồng lúa có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 0,7 cm. Tính diện tích thực tế theo đơn vị mét vuông của cánh đồng lúa đó (viết kết quả dưới dạng a . 10n với 1 ≤ a < 10)

Lời giải:

Độ dài cạnh cánh đồng lúa có dạng hình vuông là:

   0,7.100000=70000(cm)=700(m)

Diện tích cánh đồng lúa hình vuông là:

   (700)2=490000(m2)=4,9.105(m2)

Bài tập 7: Biết vận tốc ánh sáng xấp xỉ bằng 299 792 458 m/s và ánh sáng Mặt Trời cần khoảng 8 phút 19 giây mới đến được Trái Đất. (Nguồn: https://vi.wikipedia.org).

Khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng bao nhiêu ki-lô-mét?

Lời giải:

Đổi 8 phút 19 giây = 499 giây.

Khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng: 299 792 458 . 499 ≈ 1,495 964 365 . 1011 = 149 596 436,5 . 103 (m)

≈ 149 596 437 (km).

Vậy khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng 149 596 437 km.

Bài tập 8: Hai mảnh vườn có dạng hình vuông. Mảnh vườn thứ nhất có độ dài cạnh là 19,5 m. Mảnh vườn thứ hai có độ dài cạnh là 6,5 m. Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp bao nhiêu lần mảnh vườn thứ hai?

Lời giải:

Diện tích hình vuông thứ nhất là:

   (19,5)2 = 380,25 (m2)

Diện tích hình vuông thứ hai là: 

   (6,5)2 = 42,25 (m2)

Ta có: 380,25 : 42,25 = 9380,25 : 42,25 = 9

=> Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp 9 lần diện tích mảnh vườn thứ hai.

Bài tập 9: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ uranium 238 là 4,468 . 109 năm (nghĩa là sau 4,468 . 109 năm, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa).

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

a) Ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ đó là bao nhiêu năm?

b) Sau ba chu kì bán rã, khối lượng của nguyên tố phóng xạ còn lại bằng bao nhiêu phần khối lượng ban đầu?

Lời giải:

a) Thời gian ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ là:

3 . 4,468 . 109 = 13,404 . 109 (năm)

Vậy ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ là 13,404 . 109 năm.

b) Gọi m0 là khối lượng ban đầu của nguyên tố phóng xạ uranium 238.

m1, m2, m3 lần lượt là khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại sau một, hai, ba chu kì.

Sau một chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại là: 

$m_1=\frac{1}{2}{m}_0$.

Sau hai chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại là: 

$m_2=\frac{1}{2}{m}_1=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{m}_0=\frac{1}{4}{m}_0$.

Sau ba chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại là: 

$m_3=\frac{1}{2}{m}_2=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}{m}_0=\frac{1}{8}{m}_0$.

Vậy sau ba chu kì bán rã, khối lượng của nguyên tố phóng xạ còn lại bằng $\frac{1}{8}$ khối lượng ban đầu.

Bài tập 10: Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên dương để biểu thị những số rất lớn. Ta gọi một số hữu tỉ dương được viết theo kí hiệu khoa học (hay theo dạng chuẩn) nếu nó có dạng a . 10n với 1 ≤ a < 10 và n là một số nguyên dương. Ví dụ, khối lượng của Trái Đất viết theo kí hiệu khoa học là 5,9724 . 1024 kg.

Viết các số sau theo kí hiệu khoa học (với đơn vị đã cho):

a) Khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất khoảng 384 400 km;

b) Khối lượng của Mặt Trời khoảng 1 989 . 1027 kg;

c) Khối lượng của Sao Mộc khoảng 1 898 . 1024 kg.

(Nguồn: https://www.nasa.gov)

Lời giải:

a. 384400=3,844.105 km

b. 1989.1027=1,989.1030kg

c. 1898.1024=1,898.1027 km

Bài tập 11: Sử dụng máy tính cầm tay

Nút lũy thừa   (ở một số máy tính nút lũy thừa còn có dạng  ).

Nút phân số 

Nút dấu phẩy ngăn cách phần số nguyên và phần thập phân của số thập phân: 

Nút chuyển xuống để ghi số hoặc dấu 

Nút chuyển sang phải để ghi số hoặc dấu 

Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) (3,147)3;

b) (− 23,457)5;

c) ${\left(\frac{4}{-5}\right)}^4$;

d) ${\left(\mathrm{0,12}\right)}^2.{\left(\frac{-13}{28}\right)}^5$.

Lời giải:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

a) (3,147)3 = 31,16665752;

b) (− 23,457)5 = − 7101700,278;

c) ${\left(\frac{4}{-5}\right)}^4=\frac{256}{625}$;

d) ${\left(\mathrm{0,12}\right)}^2.{\left(\frac{-13}{28}\right)}^5=-\mathrm{3,106626889}.{10}^{-4}$.