Giải SGK Toán 7 Cánh diều Bài 4: Định lí

Khởi động: Bạn Ánh vẽ hai đường thẳng a, b cùng vuông góc với đường thẳng c (Hình 48) và khẳng định với bạn Ngân rằng: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì hai đường thẳng đó song song với nhau”.

Câu khẳng định có dạng “Nếu … thì …” trong toán học được gọi là gì?

Lời giải:

- Câu khẳng định có dạng “Nếu … thì …” trong toán học được gọi là một định lí.

I. Định lí

Hoạt động 1: Cho hai góc kề bù là xOy và yOz, Om và On lần lượt là tia phân giác của góc xOy và góc yOz (Hình 49).

Ta thấy ${\mathrm{mOy^\backslash widehat\{mOy\}mOy}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ và ${\mathrm{yOn^\backslash widehat\{yOn\}yOn}}^{}=\frac{1}{2}\stackrel{}{}$$\widehat{yOn}$ , suy ra:

${\mathrm{mOy^\backslash widehat\{mOy\}mOn}}^{}={\mathrm{mOy^\backslash widehat\{mOy\}mOy}}^{}+{\mathrm{yOn^\backslash widehat\{yOn\}yOn}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}+\frac{1}{2}{\mathrm{yOn^\backslash widehat\{yOn\}yOz}}^{}$

$=\frac{1}{2}\left({\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}+{\mathrm{yOn^\backslash widehat\{yOn\}yOz}}^{}\right)=\frac{1}{2}.180°={90}^o.$

Như vậy, có thể khẳng định: “Nếu một góc có hai cạnh là hai tia phân giác của hai góc kề bù thì góc đó là góc vuông”.

Hoạt động 2: Xét khẳng định “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì hai đường thẳng đó song song với nhau”, ta thấy: Khẳng định này được phát biểu ở dạng “Nếu … thì …”. Trong khẳng định đó, hãy nêu:

- Phần nằm giữa hai từ “Nếu” và từ “thì”;

- Phần nằm sau từ “thì”.

Lời giải:

+ Phần nằm giữa từ “ Nếu” và từ “ thì” là: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song

+ Phần nằm sau từ “ thì” là: hai góc so le trong bằng nhau.

Luyện tập, vận dụng 1: Viết giả thiết và kết luận của định lí: “Nếu một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng a, b song song với nhau”.

Lời giải:

- Giả thiết: một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau.

- Kết luận: hai đường thẳng a, b song song với nhau.

II. Chứng minh định lí

Hoạt động 3: Cho định lí:

“Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau”.

a) Vẽ hình minh họa nội dung định lí trên.

b) Viết giả thiết và kết luận của định lí trên.

c) Chứng tỏ định lí trên là đúng.

Lời giải:

a) Vẽ hình:

b) Viết giả thiết, kết luận

c) Chứng minh định lí:

Ta có: A1ˆ=B1ˆ (giả thiết)

A3ˆ=A1ˆ (hai góc đối đỉnh)

=>A3ˆ=B1ˆ (cùng bằng A1ˆ)

Mà A2ˆ+A3ˆ=1800; B1ˆ+B4ˆ=1800 (hai góc kề bù)

=>A2ˆ=B4ˆ

Luyện tập, vận dụng 2: Chứng minh định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng phân biệt và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì các cặp góc so le trong bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b lần lượt tại hai điểm A và B.

Ta có: ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ (hai góc đối đỉnh)

${\hat{A}}_1={\hat{B}}_1$ (GT)

Suy ra ${\hat{A}}_2={\hat{B}}_1$ (cùng bằng $\widehat{A_1}$).

Tương tự, ta chứng minh được các cặp góc so le trong còn lại bằng nhau.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài tập

Bài tập 1: Vẽ hình minh họa và viết giả thiết, kết luận cho mỗi định lí sau:

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

b) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

c) Nếu hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì hai đường thẳng đó trùng nhau.

Lời giải:

a) Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

c) Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.

Bài tập 2: Cho định lí: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì hai đường thẳng đó song song với nhau”.

a) Vẽ hình minh họa nội dung định lí trên.

b) Viết giả thiết, kết luận của định lí trên.

c) Chứng minh định lí trên.

Lời giải:

Định lí “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì hai đường thẳng đó song song với nhau”.

a) Ta có hình vẽ:

b) Giả thiết, kết luận của định lí:

c) Chứng minh định lí:

Ta có: a ⊥ c  tại A nên ${\hat{A}}_1={90}^o$; 

b ⊥ c tại B nên ${\hat{B}}_1={90}^o$

Khi đó, ${\hat{A}}_1={\hat{B}}_1={90}^o$.

Mà ${\hat{A}}_1$ và ${\hat{B}}_1$ ở vị trí đồng vị.

Do đó a // b.