Giải SGK Toán 7 Cánh Diều Bài 8: Đại lượng tỉ lệ nghịch - Giải SGK Toán 7 - Cánh Diều

Khởi động: Khi tham gia thi công dự án đường cao tốc Nội Bài – Lào Cai, một đội công nhân gồm 18 người dự định hoàn thành công việc được giao trong 12 ngày. Nhưng khi bắt đầu công việc, đội công nhân được bổ sung thêm thành 27 người. Giả sử năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.

* Khi số công nhân tăng lên thì thời gian hoàn thành công việc sẽ tăng lên hay giảm đi?

* 27 công nhân hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Lời giải:

I. Khái niệm

Hoạt động 1: Giả sử một xe ô tô chuyển động đều trên quãng đường AB dài 240km, Vận tốc v (km/h) và thời gian t (h) của xe ô tô khi đi từ A đến B được liên hệ theo công thức v = $\frac{240}{t}$ . Tìm số thích hợp cho $?$ trong bảng sau:

Lời giải:

Áp dụng công thức v = 240t ta có bảng sau:

Luyện tập, vận dụng 1: Một công nhân theo kế hoạch cần phải làm 1 000 sản phẩm.

a) Gọi x (h) là thời gian người công nhân đó làm và y là số sản phẩm làm được trong 1 giờ. Viết công thức tính y theo x.

b) x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ.

c) Tính giá trị của y khi x = 10; x = 20; x = 25.

Lời giải:

a) Công thức tính y theo x là: y = $\frac{1000}{x}$ .

b) x; y là hai đại lượng tỉ nghịch với nhau vì khi x tăng thì y giảm và y liên hệ với x theo công thức y = $\frac{a}{x}$ với hệ số tỉ lệ là a = 1000.

c) Công thức y = $\frac{a}{x}$ với hệ số tỉ lệ a = 1000.

+) Với x = 10 thì y = $\frac{1000}{10} = 100$

+) Với x = 20 thì y = $\frac{1000}{20} = 50$

+) Với x = 25 thì y = $\frac{1000}{25} = 40$ .

II. Tính chất

Hoạt động 2: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau:

a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ.

b) Tìm số thích hợp cho $?$ trong bảng trên.

c) So sánh các tích: x1.y1; x2.y2; x3.y3; x4.y4.

d) So sánh các tỉ số: $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ và $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ ; $\frac{x_{1}}{x_{3}}$ và $\frac{y_{3}}{y_{1}}$ ; $\frac{x_{3}}{x_{4}}$ và $\frac{y_{4}}{y_{3}}$ .

Lời giải:

Luyện tập, vận dụng 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 6 giờ. Nhưng thực tế ô tô đi với vận tốc gấp $\frac{4}{3}$ vận tốc dự định. Tính thời gian ô tô đã đi quãng đường AB.

Lời giải:

Gọi t là thời gian ô tô đã đi (t > 0) (giờ).

Vì vận tốc thực tế gấp $\frac{4}{3}$ vận tốc dự định nên tỉ lệ giữa vận tốc thực tế và vận tốc dự định là $\frac{4}{3}$ .

Mà vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên tỉ lệ thời gian dự định với thời gian thực tế là $\frac{4}{3}$ . Ta có: $\frac{6}{t} = \frac{4}{3}$

Do đó: t = $\frac{6.3}{4} = 4,5$ (giờ).

Vậy thời gian ô tô đã đi thực tế là 4,5 giờ.

III. Một số bài toán

Luyện tập, vận dụng 3: Một xưởng may có 56 công nhân dự định hoàn thành một hợp đồng trong 21 ngày. Nhưng bên đặt hàng muốn nhận hàng sớm nên xưởng may cần phải hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày. Hỏi xưởng may cần phải tăng thêm bao nhiêu công nhân? Giả sử năng suất lao động của mỗi người là như nhau.

Lời giải:

Gọi số công nhân cần để hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày là x(x>0)

Vì khối lượng công việc không đổi và năng suất của mỗi người là như nhau nên số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

56.21=x.14 => x=56.2114=84

Số công nhân cần tăng thêm là: 84 – 56 = 28 (người)

Luyện tập, vận dụng 4: Có ba bánh răng a, b, c ăn khớp nhau (Hình 13). Cho biết mỗi phút bánh răng c quay được 18 vòng. Tính số vòng quay trong một phút của mỗi bánh răng a và b.

Luyện tập 4 trang 67 Toán 7 Tập 1 Cánh diều

Lời giải:

Vì quãng đường quay được của 3 bánh răng là như nhau nên số răng và số vòng quay được của bánh răng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Gọi số vòng quay được trong 1 phút của bánh răng a và b lần lượt là x, y (vòng) (x,y >0)

Theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

24 . x = 18 . y = 12. 18

Nên x = 12.18:24 = 9 (vòng)

y = 12.18 : 18 = 12 (vòng)

Vậy số vòng quay trong một phút của mỗi bánh răng a và b lần lượt là: 9 vòng và 12 vòng

Bài tập

Bài tập 1: Giá trị của hai đại lượng x; y được cho bởi bảng sau:

Lời giải:

Ta có:

x1.y1 = 3.32 = 96;

x2.y2 = 4.24 = 96;

x3.y3 = 6.16 = 96;

x4.y4 = 8.12 = 96;

x5.y5 = 48.2 = 96.

Ta thấy x1.y1 = x2.y2 = x3.y3 = x4.y4 = x5.y5 = 96 nên hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

Bài tập 2: Cho biết x; y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 36 thì y = 15.

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Viết công thức tính y theo x.

c) Tính giá trị của y khi x = 12; x = 18; x = 60.

Lời giải:

a. Hệ số tỉ lệ là: a=x.y=36.15=540

b. Công thức tính y theo x là: y=ax=540x

c. Tính giá trị của x:

x=12=>y=54012=45

x=18=>y=54018=30

x=60=>y=54060=9

Bài tập 3: Theo dự định, một nhóm thợ có 35 người sẽ xây một tòa nhà hết 168 ngày. Nhưng khi bắt đầu làm, có một số người không tham gia được nên nhóm thợ chỉ còn 28 người. Hỏi khi đó nhóm thợ phải mất bao nhiêu lâu để xây xong tòa nhà? Giả sử năng suất làm việc của mỗi người như nhau.

Lời giải:

Gọi thời gian để nhóm thợ hoàn thành công việc là x (ngày) (x > 0)

Vì khối lượng công việc không đổi và năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số thợ và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: 35 . 168 = 28 . x nên x = 35 . 168 : 28 = 210 (thỏa mãn)

Vậy nhóm thợ phải mất 210 ngày để xây xong tòa nhà.

Bài tập 4: Chị Lan định mua 10 bông hoa với số tiền định trước. Nhưng do vào dịp lễ nên giá hoa tăng 25%. Hỏi với số tiền đó, chị Lan mua được bao nhiêu bông hoa.

Lời giải:

Vì giá hoa tăng lên 25% nên giá hoa mới sẽ bằng 125% giá hoa gốc.

Ta có 125% = $\frac{5}{4}$ , do đó giá hoa mới bằng $\frac{5}{4}$ giá hoa gốc.

Gọi số bông hoa mà chị Lan sẽ mua được là x (bông).

Vì số bông hoa mua được tỉ lệ nghịch với giá tiền một bông hoa nên tỉ số của số bông hoa mua dự định với số bông hoa mua thực tế là $\frac{5}{4}$ .

Do đó ta có: $\frac{10}{x} = \frac{5}{4}$ .

Vậy số hoa mà chị lan mua được là: x = $\frac{10.4}{5} = 8$ (bông).

Vậy chị Lan sẽ mua được 8 bông hoa.

Bài tập 5: Ở nội dung bơi 400m nữ tại vòng loại Thế vận hội mùa hè năm 2016, vận động viên Nguyễn Thị Ánh Viên đã về đích với thành tích 4 phút 36 giây 85 (tức là 4 phút và 36,85 giây).

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

Cũng ở nội dung bơi 400m nữ tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015, Ánh Viên đạt thành tích là 4 phút 38 giây 78 (tức là 4 phút và 38,78 giây).

(Nguồn: https://cand.com.vn)

Tính tỉ số giữa tốc độ bơi trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015.

Lời giải:

Đổi: 4 phút 36 giây 85 = 276,85 giây

4 phút 38 giây 78 = 278,78 giây

Do quãng đường không đổi nên vận tốc (v) và thời gian (t) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Theo tính chất 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

v1v2=t1t2=278,78276,85≈1,007

Như vậy, tỉ số giữa tốc độ trung bình của Ánh Viên trong hai mùa giải 2015 và 2016 là: 1,007

Bài tập 6: Một loại tàu cao tốc hiện nay ở Nhật Bản có thể di chuyển với tốc độ trung bình là 300km/h nhanh gấp 1,43 lần so với thế hệ tàu cao tốc đầu tiên. Nếu tàu cao tốc loại đó chạy một quãng đường trong 4 giờ thì tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong bao nhiêu giờ.

Lời giải:

Bài tập 7: Một bánh răng có 40 răng, quay mỗi phút được 15 vòng, nó khớp với một bánh răng thứ hai. Giả sử bánh răng thứ hai quay một phút được 20 vòng. Hỏi bánh răng thứ hai có bao nhiêu răng.

Lời giải:

Gọi x (số răng) và y (vòng quay) lần lượt là số răng và số vòng quay của bánh răng (x $\in ℕ^{*}$ ; y > 0).

Vì số vòng quay và số răng của bánh răng tỉ lệ nghịch với nhau nên x tỉ lệ nghịch với y.

Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch ta có: x1.y1 = x2.y2.

Thay x1 = 40; y1 = 15; y2 = 20 ta được: 40.15 = 20.x2

Suy ra $x_{2} = \frac{40.15}{20} = 30$

Vậy bánh răng thứ hai có 30 răng.