Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Bài 10: Tứ giác

Mở đầu: Cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi đánh số bốn góc của mỗi tứ giác như tứ giác ABCD trong Hình 3.1a. Ghép bốn tứ giác giấy đó để được hình như Hình 3.1b.

- Em có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như vậy không?

- Em có nhận xét gì về bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác? Hãy cho biết tổng số đo của bốn góc đó.

Lời giải:

- Em cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi thực hiện các bước theo yêu cầu bài toán.

Ta có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như Hình 3.1b.

- Nhận xét: Bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác được ghép khít nhau.

Khi đó: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

$1.\; Tứ\; giác\; lồi$

Câu hỏi: Cho bốn điểm E, F, G, H (Hình 3.3). Kể tên một tứ giác có các đỉnh là bốn điểm đã cho.

Lời giải:

Nối EG, GF, FH, HE, ta được tứ giác EGFH như hình vẽ.

Luyện tập 1: Quan sát tứ giác ABCD trong Hình 3.4.

- Hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối nhau. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau là một đường chéo, chẳng hạn AC là một đường chéo. Kể tên đường chéo còn lại.

- Cặp cạnh AB, CD là cặp cạnh đối. Chỉ ra cặp cạnh đối còn lại.

- Cặp góc A, C là cặp góc đối. Hãy kể tên cặp góc đối còn lại.

Lời giải:

Đường chéo còn lại của tứ giác ABCD là BD.

- Cặp cạnh đối còn lại của tứ giác ABCD là cặp cạnh AD và BC.

- Cặp góc đối còn lại của tứ giác ABCD là cặp góc B và D.

2. Tổng các góc của một tứ giác

Hoạt động: Cho tứ giác ABCD. Kẻ đường chéo BD (H.3.5). Vận dụng định lí về tổng ba góc trong một tam giác đối với tam giác ABD và CBD, tính tổng $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}$ của tứ giác ABCD.

Lời giải:

Xét tam giác ABD, ta có: Aˆ+B1ˆ+D1ˆ=180∘

Xét tam giác CBD, ta có: Cˆ+B2ˆ+D2ˆ=180∘

Ta có: Aˆ+Bˆ+Cˆ+Dˆ=Aˆ+B1ˆ+D1ˆ+Cˆ+B2ˆ+D2ˆ=180+180=360∘

Luyện tập 2: Cho tứ giác EFGH như Hình 3.7. Hãy tính góc F.

Lời giải:

Xét tứ giác EFGH có:

$\hat{E}+\hat{F}+\hat{G}+\hat{H}=360°$ (định lí tổng các góc trong một tứ giác).

Hay $90°+\hat{F}+90°+55°=360°$

Suy ra $\hat{F}+235°=360°$

Do đó $\hat{F}=360°-235°=125°$ .

Vậy $\hat{F}=125°$.

Vận dụng: Giải bài toán mở đầu.

Cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi đánh số bốn góc của mỗi tứ giác như tứ giác ABCD trong Hình 3.1a. Ghép bốn tứ giác giấy đó để được hình như Hình 3.1b.

- Em có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như vậy không?

- Em có nhận xét gì về bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác? Hãy cho biết tổng số đo của bốn góc đó.

Lời giải:

- Em cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi thực hiện các bước theo yêu cầu bài toán.

Ta có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như Hình 3.1b.

- Nhận xét: Bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác được ghép khít nhau.

Khi đó: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$ .

Thử thách nhỏ: Trong một tứ giác, hỏi số góc tù nhiều nhất là bao nhiêu và số góc nhọn nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?

Lời giải:

• Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (mỗi góc nhỏ hơn 90o).

Khi đó, tổng 4 góc nhỏ hơn: 4 . 90o = 360o (vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng 360o).

• Nếu tứ giác có 3 góc nhọn (nhỏ hơn 90o); 1 góc tù (góc lớn hơn 90o).

Khi đó, tổng 3 góc nhọn nhỏ hơn: 3 . 90o = 270o;

Số đo góc còn lại lớn hơn: 360o – 270o = 90o (thỏa mãn).

Do đó, một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn.

• Nếu 4 góc tứ giác đều tù (mỗi góc lớn hơn 90o).

Khi đó, tổng 4 góc lớn hơn: 4 . 90o = 360o (vô lí vì tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360o).

• Nếu tứ giác có 3 góc tù và 1 góc nhọn.

Tổng 3 góc tù lớn hơn: 3.90o = 270o;

Số đo góc còn lại của tứ giác nhỏ hơn: 360o – 270o = 90o (thỏa mãn).

Do đó, một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù.

Vậy một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn; một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù.

Bài tập

Bài 3.1: Tính góc chưa biết của các tứ giác trong Hình 3.8.

Lời giải:

• Hình 3.8a)

Xét tứ giác ABCD có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$ .

Hay $90°+90°+\hat{C}+90°=360°$ .

Khi đó $\hat{C}+270°=360°$ .

Do đó $\hat{C}=360°-270°=90°$ .

Vậy $\hat{C}=90°$ .

• Hình 3.8b)

Vì ${\mathrm{VUS^\backslash widehat\{VUS\}VUS}}^{}$ và ${\mathrm{VUx^\backslash widehat\{VUx\}VUx}}^{}$ là hai góc kề bù nên ta có: ${\mathrm{VUS^\backslash widehat\{VUS\}VUS}}^{}+{\mathrm{VUx^\backslash widehat\{VUx\}VUx}}^{}=180°$

Hay $VUS^\backslash widehat\{VUS\}VUS+60°=180°$ .

Suy ra ${\mathrm{VUS^\backslash widehat\{VUS\}VUS}}^{}=180°-60°=120°$ .

Vì ${\mathrm{USR^\backslash widehat\{USR\}USR}}^{}$ và ${\mathrm{VUx^\backslash widehat\{VUx\}VUy}}^{}$ là hai góc kề bù nên ta có: ${\mathrm{USR^\backslash widehat\{USR\}USR}}^{}+VUx^\backslash widehat\{VUx\}VUy=180°$

Hay ${\mathrm{USR^\backslash widehat\{USR\}USR}}^{}+110°=180°$ .

Suy ra ${\mathrm{USR^\backslash widehat\{USR\}USR}}^{}=180°-110°=70°$ .

Do đó ${\mathrm{USR^\backslash widehat\{USR\}USR}}^{}=70°$ .

Xét tứ giác VUSR có: $\hat{V}+{\mathrm{VUx^\backslash widehat\{VUx\}VUS}}^{}+{\mathrm{USR^\backslash widehat\{USR\}USR}}^{}+\hat{R}=360°$ .

Hay $90°+120°+70°+\hat{R}=360°$

Khi đó $280°+\hat{R}=360°$

Do đó $\hat{R}=360°-280°=80°$ .

Vậy $\hat{R}=80°$ .

Bài 3.2: Tính góc chưa biết của tứ giác trong Hình 3.9. Biết rằng $\hat{H}=\hat{E}+10°$ .

Lời giải:

Ta có: Hˆ+Eˆ=360∘−Gˆ+Fˆ=360∘−50∘−60∘=250∘ (1)

Lại có: Hˆ=Eˆ+10∘⇒Hˆ−Eˆ=10∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra Hˆ=80∘;Eˆ=70∘

Bài 3.3: Tứ giác ABCD trong Hình 3.10 có AB = AD, CB = CD, được gọi là hình “cái diều”.

a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

b) Tính các góc B, D biết rằng $\hat{A}=100°,\hat{C}=60°$ .

Lời giải:

a) Nối AC, BD (như hình vẽ

Ta có AB = AD hay hai điểm A cách đều hai đầu mút B và D;

CB = CD hay hai điểm C cách đều hai đầu mút B và D;

Do đó, hai điểm A và C cách đều hai đầu mút B và D.

Vậy AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AC ⊥ BD.