Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Mở đầu: Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt chéotheo đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?

Lời giải:

• Hình 3.46a)

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

• Hình 3.46b)

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.

1. Hình thoi

Câu hỏi: Hình thoi có phải là hình bình hành không? Nếu có, từ tính chất đã biết của hình bình hành, hãy suy ra những tính chất tương ứng của hình thoi.

Lời giải:

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên ta suy ra hai cặp cạnh đối bằng nhau.

Do đó hình thoi cũng là hình bình hành.

Ta suy ra tính chất hình thoi dựa vào tính chất của hình bình hành như sau:

- Hình thoi có hai góc đối bằng nhau.

- Hình thoi có các cặp cạnh đối song song.

- Hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hoạt động 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O (H.3.48).

a) ∆ABD có cân tại A không?

b) AC có vuông góc với BD không và AC có là đường phân giác của góc A không? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có AB = AD nên ABD là tam giác cân tại A

b) Ta có O là trung điểm của BD (do ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành) ⇒OB=OD

Xet tam giác AOB và AOD ta có:

AO chung

OB = OD

AB = AD

⇒ΔAOB=ΔAOD (c.c.c) ⇒A1ˆ=A2ˆ

Suy ra AC là phân giác Aˆ

Mà tam giác ABD cân suy ra AC vuông góc với BD

Câu hỏi: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.

Lời giải:

Giả thiết, kết luận của câu cĐịnh lí 2.

Ta có thể viết giả thiết tương tự đối với tia phân giác góc B hoặc góc C hoặc góc D.

Luyện tập 1: Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Lời giải:

Hình a) Vì là hình bình hành (có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường) có hai đường chéo vuông góc với nhau

2. Hình vuông

Hoạt động 2: Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Lời giải:

Hình vuông cũng là hình thoi, hình chữ nhật.

Mà hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau còn hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Do đó, hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Câu hỏi: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Lời giải:

Ta có thể viết giả thiết đối với cặp cạnh kề khác như: AB = BC; BC = CD; CD = AD.

Luyện tập 2: Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Lời giải:

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

b) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

c) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

Vận dụng: Trở lại tình huống mở đầu.

Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt chéotheo đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?

Hãy giải thích tại sao.

- Trong trường hợp a, ta được hình thoi.

- Trong trường hợp b, ta được hình vuông.

Lời giải:

- Trong trường hợp a:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

- Trong trường hợp b:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.

Bài tập

Bài 3.29: Tìm hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.

Lời giải:

Xét tứ giác EFGH ta có: hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường ⇒EFGH là hình bình hành

Lại có EG⊥FH⇒EFGH là hình thoi

Xét tứ giác MNPQ ta có: các góc đều bằng 90∘⇒MNPQ là hình chữ nhật

Lại có MP⊥NQ⇒ MNPQ là hình vuông

Bài 3.30: Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Lời giải:

a) Tứ giác AEDF có AE // DF; AF // DE (giả thiết).

Suy ra tứ giác AEDF là hình bình hành.

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A.

Mà tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của BC.

Ngược lại, nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC cân tại A thì hình bình hành AEDF có đường chéo AD là đường phân giác của góc A nên AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).

d) Tam giác ABC vuông cân tại A tức là vừa vuông tại A vừa cân tại A.

Theo câu c, nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì tức nó cũng là hình thoi.

Theo câu b, AEDF là hình thoi nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì để AEDF là hình vuông thì điểm D là trung điểm của BC.

Bài 3.31: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Lời giải:

* Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD

=> EH là đường trung bình của tam giác

⇒EH=BD2 (1)

* Chứng minh tương tự, ta có:

FG=BD2;EF=AC2;HG=AC2 (2)

* Lại có, ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: EF = FG = GH= HE

=> tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài 3.32: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Giả sử có hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật. Thật vậy:

Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Do E, H lần lượt là trung điểm của AB, AD nên AH = DH = AE = BE.

Tam giác AHE có AH = AE nên là tam giác cân tại A, suy ra ${\mathrm{AHE^\backslash widehat\{AHE\}AHE}}^{}={\mathrm{AEH^\backslash widehat\{AEH\}AEH}}^{}$ .

Mà ${\mathrm{AHE^\backslash widehat\{AHE\}AHE}}^{}+{\mathrm{DHG^\backslash widehat\{DHG\}DHG}}^{}+\widehat{EHG}=180°$

Suy ra $\widehat{EHG}=180°-\left({\mathrm{AHE^\backslash widehat\{AHE\}AHE}}^{}+{\mathrm{DHG^\backslash widehat\{DHG\}DHG}}^{}\right)=180°-90°=90°$

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có ${\mathrm{HEF^\backslash widehat\{HEF\}HEF}}^{}={\mathrm{HEF^\backslash widehat\{HEF\}EFG}}^{}={\mathrm{HEF^\backslash widehat\{HEF\}FGH}}^{}=90°$.

Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Bài 3.33: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng MA ⊥ MD. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56).

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AD

⇒MI=AD2 (do ΔAMD vuông tại M)

Mà M là trung điểm BC nên :

MI = AB

⇒AB=AD2

Mà AB + AD = 362= 18 (cm)

Suy ra : AB=181+2=6 (cm)

AD=181+2×2=12(cm)