Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Bài 12: Hình bình hành

Mở đầu: Hai con đường lớn a và b cắt nhau tạo thành một góc. Bên trong góc đó có một điểm dân cư O. Phải mở một con đường thẳng đi qua O cắt a tại A, cắt b tại B như thế nào để hai đoạn đường OA và OB bằng nhau (các con đường đều là đường thẳng) (H.3.27)?

Lời giải:

Gọi điểm giao nhau giữa hai đường thẳng a và b là điểm C.

– Vẽ tia Cx đi qua điểm O. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho OC = OD (hay O là trung điểm của CD).

– Qua D vẽ tia Dy // a cắt tia b tại B; vẽ Dz // b cắt a tại A.

Khi đó tứ giác ACBD có AC // BD; AD // BC nên là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo AB, CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm CD nên O là trung điểm của AB, hay OA = OB.

Vậy con đường đi qua O sao cho OA = OB được mở như trên.

1. Hình bình hành và tính chất

Hoạt động 1: Trong Hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào? Em có thể giải thích tại sao không?

Lời giải:

- Hình c) là hình bình hành, bởi có các cặp cạnh song song

Thực hành 1: Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng 3 cm, 4 cm và góc xen giữa hai cạnh đó bằng 60°. Hãy mô tả cách vẽ và giải thích tại sao hình vẽ được là hình bình hành.

Lời giải:

Giả sử hình bình hành ABCD có AD = 3cm, AB = 4 cm và ${\mathrm{BAx^\backslash widehat\{BAx\}BAD}}^{}=60°$ .

Cách vẽ:

– Vẽ cạnh AB = 4 cm.

– Vẽ ${\mathrm{BAx^\backslash widehat\{BAx\}BAx}}^{}=60°$ . Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3cm.

– Kẻ By // AD, Dz // AB. Hai tia By và Dz cắt nhau tại C, ta được hình bình hành ABCD.

Hình vẽ được là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song (AB // CD, AD // BC).

Hoạt động 2: Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết.

Lời giải:

Các tính chất của hình bình hành mà em đã được học ở lớp 6:

– Các cạnh đối song song;

– Các cạnh đối bằng nhau;

– Các góc đối bằng nhau;

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hoạt động 3: Cho hình bình hành ABCD (H.3.30).

a) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA.

Từ đó suy ra AB = CD, AD = BC và ${\mathrm{BAx^\backslash widehat\{BAx\}ABC}}^{}={\mathrm{BAx^\backslash widehat\{BAx\}CDA}}^{}$ .

b) Chứng minh ∆ABD = ∆CDB. Từ đó suy ra ${\mathrm{BAx^\backslash widehat\{BAx\}DAB}}^{}={\mathrm{BAx^\backslash widehat\{BAx\}BCD}}^{}$ .

c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O. Chứng minh ∆AOB = ∆COD. Từ đó suy ra OA = OC, OB = OD.

Lời giải:

Luyện tập 1: Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Lời giải:

Xét tứ giác APMN có:

• MN // AP (vì MN // AB)

• MP // AN (vì MP // AC)

Do đó tứ giác APMN là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo AM, NP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của đoạn NP, nên I là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Tranh luận: Tròn khẳng định: Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau. Ngược lại, hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình thang cân.

Vuông lại cho rằng: Tròn sai rồi!

Có trường hợp hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình thang cân.

Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?

Lời giải:

Khẳng định của bạn Vuông là đúng.

Trường hợp 1: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song với nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Hình minh họa:

Trường hợp 2: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau và song song với nhau thì hình thang đó là hình bình hành.

Hình minh họa:

2. Dấu hiệu nhận biết

Câu hỏi: Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 2.

Lời giải:

Giả thiết, kết luận của Định lí 2:

Luyện tập 2: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32).

a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

Thực hành 2: Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

Đoạn dây xích được chia thành:

• Hai đoạn dài có độ dài bằng nhau, tức là AB = CD;

• Hai đoạn ngắn có độ dài bằng nhau, tức là AD = BC.

Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Câu hỏi: Hãy biết giả thiết, kết luận của Định lí 3.

Lời giải:

Giả thiết, kết luận của Định lí 3:

Luyện tập 3: Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A’, B’ là các điểm sao cho O là trung điểm của AA’, BB’. Chứng minh rằng A’B’ = AB và đường thẳng A’B’ song song với đường thẳng AB.

Lời giải: